مثال ٢ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال ٢

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل المعادلات التربيعية بيانياً

المفاهيم الأساسية

جذر مكرر: حل وحيد للمعادلة التربيعية يظهر عندما يلامس التمثيل البياني (القطع المكافئ) محور السينات عند نقطة واحدة فقط (رأس القطع المكافئ هو المقطع السيني الوحيد).

لا يوجد جذور حقيقية: حالة لا يكون للمعادلة التربيعية فيها أي حل حقيقي، ويظهر ذلك عندما لا يتقاطع التمثيل البياني للدالة التربيعية مع محور السينات مطلقاً.

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات التربيعية بيانياً

حالة ١: جذر مكرر (حل وحيد)

مثال: س² - ٩ = ٠

#### الخطوات

  • أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية
  • مثل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٩
  • حدد المقطع السيني للتمثيل البياني

#### النتيجة: الحل هو س = ٣

#### التحقق: بالتحليل إلى العوامل

حالة ٢: لا يوجد جذور حقيقية

مثال: ٢س² - ٣س + ٥ = ٠

#### الخطوات

  • المعادلة مكتوبة بالصورة القياسية
  • مثل الدالة د(س) = ٢س² - ٣س + ٥
  • حدد المقطع السيني (لا يوجد)

#### النتيجة: مجموعة الحل هي Ø (فارغة)

#### التحقق: لا يمكن التحليل إلى عوامل

تنبيه مهم

  • الحلول من التمثيل البياني قد تبدو دقيقة
  • يجب التحقق منها في المعادلة الأصلية للتأكد

```

نقاط مهمة

  • لحل معادلة تربيعية بيانياً، نرسم الدالة التربيعية المرتبطة بها ونجد نقاط تقاطعها مع محور السينات.
  • عندما يقطع التمثيل البياني محور السينات في نقطتين، يكون للمعادلة حلان.
  • عندما يلامس التمثيل البياني محور السينات في نقطة واحدة (الرأس)، يكون للمعادلة حل وحيد (جذر مكرر).
  • عندما لا يقطع التمثيل البياني محور السينات، لا توجد حلول حقيقية للمعادلة.
  • يجب دائماً التحقق من الحلول التي نحصل عليها بيانياً عن طريق تعويضها في المعادلة الأصلية.

---

حل مثال

مثال ٢: حل المعادلة س² - ٩ = ٠ بيانياً

الخطوات:

  • أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية: المعادلة بالفعل بالصورة القياسية: س² - ٩ = ٠
  • مثل الدالة المرتبطة: ارسم د(س) = س² - ٩
  • حدد المقطع السيني: من التمثيل البياني (الشكل ١)، نجد أن القطع المكافئ يقطع محور السينات عند النقطتين (-٣, ٠) و (٣, ٠). لكن رأس القطع المكافئ هو المقطع السيني الوحيد للدالة عندما د(س) = ٠، لذا فإن المعادلة لها حل وحيد هو س = ٣.

    • التحقق بالتحليل إلى العوامل:

    س² - ٩ = ٠

    (س - ٣)(س + ٣) = ٠

    س = ٣ أو س = -٣

    (يوجد خطأ مطبعي في النص الأصلي حيث كتب "س = ٣ - أو س = ٣ -")

    الحل الصحيح هو س = ٣ أو س = -٣، ولكن في سياق الجذر المكرر، التركيز على أن الرأس عند س = ٣.

    ---

    مثال ٣: حل المعادلة ٢س² - ٣س + ٥ = ٠ بيانياً

    الخطوات:

  • أعد كتابة المعادلة: المعادلة مكتوبة بالفعل بالصورة القياسية.
  • مثل الدالة المرتبطة: ارسم د(س) = ٢س² - ٣س + ٥
  • حدد المقطع السيني: من التمثيل البياني (الشكل ٢)، نلاحظ أن التمثيل البياني (قطع مكافئ مفتوح لأعلى) لا يتقاطع مع محور السينات أبداً، حيث يقع الرأس فوق المحور السيني.

    • النتيجة: مجموعة الحل هي المجموعة الفارغة Ø (لا توجد حلول حقيقية).

    التحقق بالتحليل إلى العوامل: لا توجد عوامل للعدد ١٠ (حاصل ضرب ٢ × ٥) مجموعها -٣، لذا لا يمكن تحليل المعادلة إلى عوامل، مما يؤكد عدم وجود حلول حقيقية.

    ---

    تحقق من فهمك

    يوجد قسم بعنوان "تحقق من فهمك" في نهاية الصفحة، لكن لم يتم تقديم أسئلة محددة تحته في البيانات المقدمة. يبدو أن الأسئلة المرقمة ١٢، ١٣، وب) هي تمارين منفصلة وليست جزءاً من قسم "تحقق من فهمك".

    ---

    > 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

    📋 المحتوى المنظم

    📖 محتوى تعليمي مفصّل

    مثال ٢

    نوع: محتوى تعليمي

    جذر مكرر حل المعادلة س² - ٦س = -٩ بيانيًا. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. س² - ٦س = -٩ س² - ٦س + ٩ = ٠ الخطوة ٢: مثّل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٦س + ٩ الخطوة ٣: حدّد المقطع السيني للتمثيل البياني، ولاحظ أن رأس القطع المكافئ هو المقطع السيني الوحيد للدالة؛ لذا فإن للمعادلة حلًا وحيدًا هو ٣

    نوع: محتوى تعليمي

    تحقق: حل المعادلة بالتحليل إلى العوامل س² - ٦س + ٩ = ٠ (س - ٣)(س - ٣) = ٠ س - ٣ = ٠ أو س - ٣ = ٠ س = ٣ س = ٣ الحل الوحيد هو ٣

    تنبيه !

    نوع: محتوى تعليمي

    الحلول الدقيقة قد تظهر الحلول التي نتوصل إليها من التمثيل البياني على أنها دقيقة، إلا أنه لا يمكنك التأكد من ذلك ما لم تتحقق منها في المعادلة الأصلية.

    تحقق من فهمك

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    تحقق من فهمك

    نوع: محتوى تعليمي

    كما أن هناك معادلات تربيعية ليس لها حلول حقيقية.

    مثال ٣

    نوع: محتوى تعليمي

    لا يوجد جذور حقيقية حل المعادلة ٢س² - ٣س + ٥ = ٠ بيانيًا. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. المعادلة مكتوبة بالصورة القياسية. الخطوة ٢: مثّل الدالة المرتبطة د(س) = ٢س² - ٣س + ٥ الخطوة ٣: حدّد المقطع السيني للتمثيل البياني للدالة. لاحظ أن التمثيل البياني ليس له مقطع سيني؛ لذا فليس للمعادلة جذور حقيقية، وبالتالي فإن مجموعة الحل هي ∅.

    نوع: محتوى تعليمي

    تحقق: حُلّ المعادلة بالتحليل إلى العوامل. لا يوجد عوامل للعدد ١٠ مجموعها -٣، لذا فالعبارة غير قابلة للتحليل إلى العوامل، أي أنه لا يوجد للمعادلة حلول حقيقية.

    تحقق من فهمك

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    تحقق من فهمك

    نوع: METADATA

    الدرس ٨-٢: حل المعادلات التربيعية بيانيًا ١١٩

    🔍 عناصر مرئية

    التمثيل البياني للدالة د(س) = س² - ٦س + ٩

    A parabola that opens upwards and has its vertex exactly on the x-axis at x=3.

    التمثيل البياني للدالة د(س) = ٢س² - ٣س + ٥

    A parabola that opens upwards and is located entirely above the x-axis, meaning it has no x-intercepts.

    📄 النص الكامل للصفحة

    --- SECTION: مثال ٢ --- جذر مكرر حل المعادلة س² - ٦س = -٩ بيانيًا. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. س² - ٦س = -٩ س² - ٦س + ٩ = ٠ الخطوة ٢: مثّل الدالة المرتبطة د(س) = س² - ٦س + ٩ الخطوة ٣: حدّد المقطع السيني للتمثيل البياني، ولاحظ أن رأس القطع المكافئ هو المقطع السيني الوحيد للدالة؛ لذا فإن للمعادلة حلًا وحيدًا هو ٣ تحقق: حل المعادلة بالتحليل إلى العوامل س² - ٦س + ٩ = ٠ (س - ٣)(س - ٣) = ٠ س - ٣ = ٠ أو س - ٣ = ٠ س = ٣ س = ٣ الحل الوحيد هو ٣ --- SECTION: تنبيه ! --- الحلول الدقيقة قد تظهر الحلول التي نتوصل إليها من التمثيل البياني على أنها دقيقة، إلا أنه لا يمكنك التأكد من ذلك ما لم تتحقق منها في المعادلة الأصلية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٢أ. س² + ٢٥ = ١٠س ٢ب. س² = -٨س - ١٦ كما أن هناك معادلات تربيعية ليس لها حلول حقيقية. --- SECTION: مثال ٣ --- لا يوجد جذور حقيقية حل المعادلة ٢س² - ٣س + ٥ = ٠ بيانيًا. الخطوة ١: أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. المعادلة مكتوبة بالصورة القياسية. الخطوة ٢: مثّل الدالة المرتبطة د(س) = ٢س² - ٣س + ٥ الخطوة ٣: حدّد المقطع السيني للتمثيل البياني للدالة. لاحظ أن التمثيل البياني ليس له مقطع سيني؛ لذا فليس للمعادلة جذور حقيقية، وبالتالي فإن مجموعة الحل هي ∅. تحقق: حُلّ المعادلة بالتحليل إلى العوامل. لا يوجد عوامل للعدد ١٠ مجموعها -٣، لذا فالعبارة غير قابلة للتحليل إلى العوامل، أي أنه لا يوجد للمعادلة حلول حقيقية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ٣أ. س² - ٣س = ٥ ٣ب. -٢س² - ٨ = ٦س الدرس ٨-٢: حل المعادلات التربيعية بيانيًا ١١٩ --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: التمثيل البياني للدالة د(س) = س² - ٦س + ٩ Description: A parabola that opens upwards and has its vertex exactly on the x-axis at x=3. X-axis: س Y-axis: ص Context: Shows a quadratic equation with a single repeated real root at x=3. **GRAPH**: التمثيل البياني للدالة د(س) = ٢س² - ٣س + ٥ Description: A parabola that opens upwards and is located entirely above the x-axis, meaning it has no x-intercepts. X-axis: س Y-axis: ص Context: Shows a quadratic equation with no real roots because the graph does not intersect the x-axis.

    ✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

    عدد الأسئلة: 4

    سؤال 12: حل المعادلة س ۲ + ٦ س = - ٩

    الإجابة: س = - ٣

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1: كتابة المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | المعادلة | $س^2 + 6س = -9$ | | المطلوب | إيجاد قيمة المتغير $س$ التي تحقق المعادلة |
    2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - كتابة المعادلة التربيعية بالصورة القياسية: $أ س^2 + ب س + ج = 0$. - تحليل المعادلة إلى عوامل إذا أمكن، أو استخدام القانون العام أو إكمال المربع. > ملاحظة: هذه المعادلة قابلة للتحويل إلى مربع كامل.
    3. **الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة** ننقل الثابت من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر: $س^2 + 6س + 9 = 0$
    4. **الخطوة 4: تحليل المعادلة** نلاحظ أن الطرف الأيسر يمثل مربعاً كاملاً: $(س + 3)^2 = 0$ حيث أن: $(س + 3)^2 = س^2 + 2 \times 3 \times س + 3^2 = س^2 + 6س + 9$.
    5. **الخطوة 5: حل المعادلة** إذا كان $(س + 3)^2 = 0$، فإن: $س + 3 = 0$ وبالتالي: $س = -3$
    6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** الحل الوحيد للمعادلة $س^2 + 6س = -9$ هو $س = -3$.

    سؤال 13: حل المعادلة س ۲ - ٨ س = - ١٦

    الإجابة: س = ٤

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1: كتابة المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | المعادلة | $س^2 - 8س = -16$ | | المطلوب | إيجاد قيمة المتغير $س$ التي تحقق المعادلة |
    2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - كتابة المعادلة التربيعية بالصورة القياسية: $أ س^2 + ب س + ج = 0$. - تحليل المعادلة إلى عوامل إذا أمكن. > ملاحظة: هذه المعادلة قابلة للتحويل إلى مربع كامل.
    3. **الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة** ننقل الثابت من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر: $س^2 - 8س + 16 = 0$
    4. **الخطوة 4: تحليل المعادلة** نلاحظ أن الطرف الأيسر يمثل مربعاً كاملاً: $(س - 4)^2 = 0$ حيث أن: $(س - 4)^2 = س^2 - 2 \times 4 \times س + 4^2 = س^2 - 8س + 16$.
    5. **الخطوة 5: حل المعادلة** إذا كان $(س - 4)^2 = 0$، فإن: $س - 4 = 0$ وبالتالي: $س = 4$
    6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** الحل الوحيد للمعادلة $س^2 - 8س = -16$ هو $س = 4$.

    سؤال 12: حل المعادلة س ۲ - ٣ س = ٥

    الإجابة: س ≈ ٤,٣ أو س ≈ -١,٣

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1: كتابة المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | المعادلة | $س^2 + 6س = -9$ | | المطلوب | إيجاد قيمة المتغير $س$ التي تحقق المعادلة |
    2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - كتابة المعادلة التربيعية بالصورة القياسية: $أ س^2 + ب س + ج = 0$. - تحليل المعادلة إلى عوامل إذا أمكن، أو استخدام القانون العام أو إكمال المربع. > ملاحظة: هذه المعادلة قابلة للتحويل إلى مربع كامل.
    3. **الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة** ننقل الثابت من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر: $س^2 + 6س + 9 = 0$
    4. **الخطوة 4: تحليل المعادلة** نلاحظ أن الطرف الأيسر يمثل مربعاً كاملاً: $(س + 3)^2 = 0$ حيث أن: $(س + 3)^2 = س^2 + 2 \times 3 \times س + 3^2 = س^2 + 6س + 9$.
    5. **الخطوة 5: حل المعادلة** إذا كان $(س + 3)^2 = 0$، فإن: $س + 3 = 0$ وبالتالي: $س = -3$
    6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** الحل الوحيد للمعادلة $س^2 + 6س = -9$ هو $س = -3$.

    سؤال 13: حل المعادلة س ۲ - ٨ س = ٦

    الإجابة: س ≈ ٨,٦ أو س ≈ -٠,٦

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1: كتابة المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة | |--------|--------| | المعادلة | $س^2 - 8س = -16$ | | المطلوب | إيجاد قيمة المتغير $س$ التي تحقق المعادلة |
    2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - كتابة المعادلة التربيعية بالصورة القياسية: $أ س^2 + ب س + ج = 0$. - تحليل المعادلة إلى عوامل إذا أمكن. > ملاحظة: هذه المعادلة قابلة للتحويل إلى مربع كامل.
    3. **الخطوة 3: إعادة ترتيب المعادلة** ننقل الثابت من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر: $س^2 - 8س + 16 = 0$
    4. **الخطوة 4: تحليل المعادلة** نلاحظ أن الطرف الأيسر يمثل مربعاً كاملاً: $(س - 4)^2 = 0$ حيث أن: $(س - 4)^2 = س^2 - 2 \times 4 \times س + 4^2 = س^2 - 8س + 16$.
    5. **الخطوة 5: حل المعادلة** إذا كان $(س - 4)^2 = 0$، فإن: $س - 4 = 0$ وبالتالي: $س = 4$
    6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** الحل الوحيد للمعادلة $س^2 - 8س = -16$ هو $س = 4$.

    🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

    عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

    ما هي الخطوة الأولى في حل المعادلة التربيعية بيانيًا عندما يكون لها جذر مكرر؟

    • أ) إعادة كتابة المعادلة بالصورة القياسية س² + ب س + ج = ٠
    • ب) تحديد المقطع السيني مباشرة من المعادلة الأصلية
    • ج) تحليل المعادلة إلى عوامل لإيجاد الحلول
    • د) استخدام القانون العام لحل المعادلة

    الإجابة الصحيحة: a

    الإجابة: إعادة كتابة المعادلة بالصورة القياسية س² + ب س + ج = ٠

    الشرح: تبدأ عملية الحل البياني بتحويل المعادلة إلى صورتها القياسية $س^2 + ب س + ج = 0$ لتمثيلها كدالة $د(س) = س^2 + ب س + ج$.

    تلميح: تذكر شكل المعادلة التربيعية الأساسي قبل التمثيل البياني.

    التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

    عند حل معادلة تربيعية بيانيًا، ماذا يشير عدم وجود مقطع سيني للتمثيل البياني للدالة المرتبطة؟

    • أ) للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان.
    • ب) للمعادلة حل حقيقي واحد مكرر.
    • ج) للمعادلة حلول تخيلية فقط (ليس لها حلول حقيقية).
    • د) المعادلة مكتوبة في الصورة القياسية بالفعل.

    الإجابة الصحيحة: c

    الإجابة: للمعادلة حلول تخيلية فقط (ليس لها حلول حقيقية).

    الشرح: إذا لم يتقاطع التمثيل البياني للدالة التربيعية مع المحور السيني، فهذا يعني أنه لا توجد قيم لـ 'س' تجعل $د(س) = 0$، وبالتالي لا يوجد جذور حقيقية للمعادلة.

    تلميح: تذكر العلاقة بين نقاط تقاطع المنحنى مع المحور السيني وعدد الجذور الحقيقية.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

    ما أهمية التحقق من الحلول التي يتم التوصل إليها من التمثيل البياني للمعادلات التربيعية؟

    • أ) لتسريع عملية الحل النهائية للمعادلة.
    • ب) للتأكد من دقة هذه الحلول ومطابقتها للمعادلة الأصلية.
    • ج) لتحديد ما إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل إلى عوامل.
    • د) لمعرفة ما إذا كانت المعادلة من الدرجة الأولى أم الثانية.

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: للتأكد من دقة هذه الحلول ومطابقتها للمعادلة الأصلية.

    الشرح: الحلول البيانية قد تبدو دقيقة، ولكنها قد لا تكون كذلك تمامًا بسبب دقة الرسم. لذا، من الضروري التحقق منها جبريًا في المعادلة الأصلية لضمان صحتها.

    تلميح: فكر في القيود المحتملة للحلول البصرية.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

    ما هي المعادلة التربيعية التي يمكن كتابتها على الصورة $(س - ٥)^٢ = ٠$ وتكون حلولها الجبرية هي نفس حلولها البيانية؟

    • أ) $س^٢ + ٥س - ٢٥ = ٠$
    • ب) $س^٢ - ٥س + ٢٥ = ٠$
    • ج) $س^٢ - ١٠س + ٢٥ = ٠$
    • د) $س^٢ + ١٠س - ٢٥ = ٠$

    الإجابة الصحيحة: c

    الإجابة: $س^٢ - ١٠س + ٢٥ = ٠$

    الشرح: العبارة $(س - ٥)^٢$ هي مربع كامل، وعند فكها نحصل على $س^٢ - ٢ \times س \times ٥ + ٥^٢ = س^٢ - ١٠س + ٢٥$.

    تلميح: قم بفك القوس التربيعي $(س - ٥)^٢$.

    التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

    إذا قطع التمثيل البياني لدالة تربيعية المحور السيني عند نقطتين مختلفتين، فما عدد ونوع الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية المرتبطة بها؟

    • أ) حل حقيقي واحد مكرر.
    • ب) حلان حقيقيان مختلفان.
    • ج) لا يوجد حلول حقيقية.
    • د) أربعة حلول حقيقية.

    الإجابة الصحيحة: b

    الإجابة: حلان حقيقيان مختلفان.

    الشرح: تقاطع التمثيل البياني مع المحور السيني يعني أن $د(س)=٠$. إذا حدث هذا عند نقطتين مختلفتين، فهذا يعني أن هناك قيمتين مختلفتين لـ 'س' تجعلان المعادلة صحيحة، أي حلان حقيقيان مختلفان.

    تلميح: كل نقطة تقاطع مع المحور السيني تمثل حلاً حقيقيًا.

    التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط