لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: لماذا؟

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدرب و حل المسائل من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: NON_EDUCATIONAL

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

نوع: METADATA

٨-٢

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلات التربيعية بيانياً

لماذا؟

نوع: محتوى تعليمي

يعبر عن المسار المنحني لكرة قدم رُكلت داخل ملعب بالدالة ص = -س٢ + ١٨س؛ حيث (س) المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة بالأمتار، (ص) ارتفاع الكرة فوق سطح الأرض بالأمتار. ويمكن استعمال المقاطع السينية للتمثيل البياني لهذه الدالة لتحديد المسافة الأفقية التي ستقطعها الكرة حتى تلمس الأرض.

فيما سبق

نوع: محتوى تعليمي

درست حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى العوامل.

والآن

نوع: محتوى تعليمي

• أحل المعادلات التربيعية بيانياً. • أقدر حلول المعادلات التربيعية من تمثيلها البياني.

المفردات

نوع: محتوى تعليمي

الجذر المكرر

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلة التربيعية بالتمثيل البياني؛ الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هي: أس٢ + بس + جـ = ٠، حيث أ ≠ ٠، ولكتابة الدالة التربيعية على صورة معادلة، استبدل ص أو د(س) بصفر، وتذكّر أن حلول المعادلة أو جذورها يمكن تحديدها بإيجاد المقاطع السينية للتمثيل البياني للدالة المرتبطة، ويوجد للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان أو حل حقيقي واحد، أو لا يوجد لها حلول حقيقية.

مفهوم أساسي: حلول المعادلات التربيعية

نوع: محتوى تعليمي

يوضح هذا المفهوم الحالات الثلاث لعدد حلول المعادلة التربيعية: ١. حلان حقيقيان مختلفان: عندما يقطع التمثيل البياني المحور السيني في نقطتين. ٢. حل حقيقي وحيد: عندما يمس التمثيل البياني المحور السيني في نقطة واحدة (الرأس). ٣. لا يوجد حلول حقيقية: عندما لا يقطع التمثيل البياني المحور السيني.

مثال ١: جذران حقيقيان مختلفان

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلة س٢ - ٢س - ٨ = ٠ بيانياً. مثّل الدالة د(س) = س٢ - ٢س - ٨ المرتبطة بالمعادلة بيانياً. تظهر المقاطع السينية للتمثيل البياني عند -٢، ٤؛ لذا فالحلول هي -٢، ٤ تحقق؛ تحقق من صحة كل حل بالتعويض في المعادلة الأصلية. المعادلة الأصلية: س٢ - ٢س - ٨ = ٠ عند س = -٢: (-٢)٢ - ٢(-٢) - ٨ = ٠ -> ٤ + ٤ - ٨ = ٠ -> ٠ = ٠ ✓ عند س = ٤: (٤)٢ - ٢(٤) - ٨ = ٠ -> ١٦ - ٨ - ٨ = ٠ -> ٠ = ٠ ✓

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حل كل معادلة مما يأتي بيانياً:

نوع: محتوى تعليمي

حلول المعادلة في مثال ١ عددان حقيقيان مختلفان، إلا أنه أحياناً يكون الجذران هما العدد نفسه، ويسمّى عندها جذراً مكرراً.

نوع: METADATA

١١٨ الفصل ٨: الدوال التربيعية

🔍 عناصر مرئية

QR code for digital lesson access.

صورة فوتوغرافية لولد يرتدي ملابس رياضية بيضاء وهو يركل كرة قدم، توضح مسار الكرة المنحني.

تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأسفل يقطع المحور السيني في نقطتين مختلفتين، مما يدل على وجود حلين حقيقيين.

تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأعلى يمس المحور السيني في نقطة واحدة فقط (الرأس)، مما يدل على وجود حل حقيقي واحد.

تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأعلى يقع بالكامل فوق المحور السيني ولا يقطعه، مما يدل على عدم وجود حلول حقيقية.

📄 النص الكامل للصفحة

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ٨-٢ حل المعادلات التربيعية بيانياً --- SECTION: لماذا؟ --- يعبر عن المسار المنحني لكرة قدم رُكلت داخل ملعب بالدالة ص = -س٢ + ١٨س؛ حيث (س) المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة بالأمتار، (ص) ارتفاع الكرة فوق سطح الأرض بالأمتار. ويمكن استعمال المقاطع السينية للتمثيل البياني لهذه الدالة لتحديد المسافة الأفقية التي ستقطعها الكرة حتى تلمس الأرض. --- SECTION: فيما سبق --- درست حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى العوامل. --- SECTION: والآن --- • أحل المعادلات التربيعية بيانياً. • أقدر حلول المعادلات التربيعية من تمثيلها البياني. --- SECTION: المفردات --- الجذر المكرر حل المعادلة التربيعية بالتمثيل البياني؛ الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هي: أس٢ + بس + جـ = ٠، حيث أ ≠ ٠، ولكتابة الدالة التربيعية على صورة معادلة، استبدل ص أو د(س) بصفر، وتذكّر أن حلول المعادلة أو جذورها يمكن تحديدها بإيجاد المقاطع السينية للتمثيل البياني للدالة المرتبطة، ويوجد للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان أو حل حقيقي واحد، أو لا يوجد لها حلول حقيقية. --- SECTION: مفهوم أساسي: حلول المعادلات التربيعية --- يوضح هذا المفهوم الحالات الثلاث لعدد حلول المعادلة التربيعية: ١. حلان حقيقيان مختلفان: عندما يقطع التمثيل البياني المحور السيني في نقطتين. ٢. حل حقيقي وحيد: عندما يمس التمثيل البياني المحور السيني في نقطة واحدة (الرأس). ٣. لا يوجد حلول حقيقية: عندما لا يقطع التمثيل البياني المحور السيني. --- SECTION: مثال ١: جذران حقيقيان مختلفان --- حل المعادلة س٢ - ٢س - ٨ = ٠ بيانياً. مثّل الدالة د(س) = س٢ - ٢س - ٨ المرتبطة بالمعادلة بيانياً. تظهر المقاطع السينية للتمثيل البياني عند -٢، ٤؛ لذا فالحلول هي -٢، ٤ تحقق؛ تحقق من صحة كل حل بالتعويض في المعادلة الأصلية. المعادلة الأصلية: س٢ - ٢س - ٨ = ٠ عند س = -٢: (-٢)٢ - ٢(-٢) - ٨ = ٠ -> ٤ + ٤ - ٨ = ٠ -> ٠ = ٠ ✓ عند س = ٤: (٤)٢ - ٢(٤) - ٨ = ٠ -> ١٦ - ٨ - ٨ = ٠ -> ٠ = ٠ ✓ --- SECTION: تحقق من فهمك --- حل كل معادلة مما يأتي بيانياً: ١أ. -س٢ - ٣س + ١٨ = ٠ ١ب. س٢ - ٤س + ٣ = ٠ حلول المعادلة في مثال ١ عددان حقيقيان مختلفان، إلا أنه أحياناً يكون الجذران هما العدد نفسه، ويسمّى عندها جذراً مكرراً. ١١٨ الفصل ٨: الدوال التربيعية --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson access. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لولد يرتدي ملابس رياضية بيضاء وهو يركل كرة قدم، توضح مسار الكرة المنحني. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأسفل يقطع المحور السيني في نقطتين مختلفتين، مما يدل على وجود حلين حقيقيين. X-axis: س Y-axis: ص **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأعلى يمس المحور السيني في نقطة واحدة فقط (الرأس)، مما يدل على وجود حل حقيقي واحد. X-axis: س Y-axis: ص **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأعلى يقع بالكامل فوق المحور السيني ولا يقطعه، مما يدل على عدم وجود حلول حقيقية. X-axis: س Y-axis: ص **GRAPH**: Untitled Description: No description X-axis: س Y-axis: ص Context: يوضح كيفية إيجاد حلول المعادلة التربيعية من خلال تحديد نقاط تقاطع المنحنى مع المحور السيني.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال أ: حل المعادلة س٢ - ٦س + ٨ = ٠ بيانيًا.

الإجابة: س = ٢ أو س = ٤

خطوات الحل:

  1. | المعطيات | القيمة / الوصف | |-----------|----------------| | المعادلة | $س^2 - ٦س + ٨ = ٠$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة (الجذور) باستخدام التمثيل البياني للدالة $ص = س^2 - ٦س + ٨$ |
  2. **المبدأ المستخدم:** لحل معادلة تربيعية بيانيًا: 1. نُمثِّل الدالة التربيعية المرتبطة بالمعادلة، أي $ص = س^2 - ٦س + ٨$. 2. **حلول المعادلة** هي قيم $س$ التي يتقاطع عندها منحنى الدالة مع محور السينات (محور $س$)، أي عندما تكون $ص = ٠$.
  3. **خطوات الحل التفصيلية:** 1. **إنشاء جدول لقيم الدالة:** نختار مجموعة من قيم $س$ القريبة من المحتمل أن تكون جذورًا ونحسب قيم $ص$ المناظرة. | $س$ | $ص = س^2 - ٦س + ٨$ | |-----|---------------------| | ٠ | ٨ | | ١ | ٣ | | ٢ | ٠ | | ٣ | -١ | | ٤ | ٠ | | ٥ | ٣ | > **ملاحظة:** نختار القيم التي تجعل $ص$ موجبة وسالبة وصفرًا لتحديد نقاط التقاطع بدقة. 2. **رسم النقاط والمنحنى:** - نرسم النقاط من الجدول في المستوى الإحداثي. - نصل النقاط بمنحنى سلس (قطع مكافئ) مفتوح إلى أعلى (لأن معامل $س^٢$ موجب). 3. **تحديد نقاط التقاطع مع محور $س$:** من الرسم البياني (أو من الجدول) نلاحظ أن المنحنى: - يقطع محور $س$ عند النقطة حيث $س = ٢$، $ص = ٠$. - يقطع محور $س$ مرة أخرى عند النقطة حيث $س = ٤$، $ص = ٠$. 4. **تفسير النتائج:** بما أن تقاطع المنحنى مع محور $س$ يعني أن $ص = ٠$، فإن قيم $س$ عند هذه النقاط تحقق المعادلة الأصلية $س^2 - ٦س + ٨ = ٠$.
  4. **الإجابة النهائية:** قيم المتغير $س$ التي تكون حلولاً للمعادلة هي **س = ٢** و **س = ٤**.

سؤال ب: حل المعادلة س٢ + ٤س + ٣ = ٠ بيانيًا.

الإجابة: س = -١ أو س = -٣

خطوات الحل:

  1. | المعطيات | القيمة / الوصف | |-----------|----------------| | المعادلة | $س^2 + ٤س + ٣ = ٠$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة (الجذور) باستخدام التمثيل البياني للدالة $ص = س^2 + ٤س + ٣$ |
  2. **المبدأ المستخدم:** لحل معادلة تربيعية بيانيًا: 1. نُمثِّل الدالة التربيعية المرتبطة بالمعادلة، أي $ص = س^2 + ٤س + ٣$. 2. **حلول المعادلة** هي قيم $س$ التي يتقاطع عندها منحنى الدالة مع محور السينات (محور $س$)، أي عندما تكون $ص = ٠$.
  3. **خطوات الحل التفصيلية:** 1. **إنشاء جدول لقيم الدالة:** نختار مجموعة من قيم $س$ حول القيم المتوقعة للجذور (قيم سالبة غالبًا لأن المعاملات موجبة) ونحسب قيم $ص$. | $س$ | $ص = س^2 + ٤س + ٣$ | |-----|---------------------| | -٤ | ٣ | | -٣ | ٠ | | -٢ | -١ | | -١ | ٠ | | ٠ | ٣ | | ١ | ٨ | > **ملاحظة:** نلاحظ تغير إشارة $ص$ بين القيم، مما يدل على وجود جذرين. 2. **رسم النقاط والمنحنى:** - نرسم النقاط من الجدول في المستوى الإحداثي. - نصل النقاط بمنحنى سلس (قطع مكافئ) مفتوح إلى أعلى (لأن معامل $س^٢$ موجب). 3. **تحديد نقاط التقاطع مع محور $س$:** من الرسم البياني (أو من الجدول) نلاحظ أن المنحنى: - يقطع محور $س$ عند النقطة حيث $س = -٣$، $ص = ٠$. - يقطع محور $س$ مرة أخرى عند النقطة حيث $س = -١$، $ص = ٠$. 4. **تفسير النتائج:** بما أن تقاطع المنحنى مع محور $س$ يعني أن $ص = ٠$، فإن قيم $س$ عند هذه النقاط تحقق المعادلة الأصلية $س^2 + ٤س + ٣ = ٠$.
  4. **الإجابة النهائية:** قيم المتغير $س$ التي تكون حلولاً للمعادلة هي **س = -٣** و **س = -١**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 2 بطاقة لهذه الصفحة

حل المعادلة -س² - ٣س + ١٨ = ٠ بيانياً.

  • أ) س = -٦ أو س = ٣
  • ب) س = ٦ أو س = -٣
  • ج) س = -٩ أو س = ٢
  • د) س = ٩ أو س = -٢

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = -٦ أو س = ٣

الشرح: ١. لتمثيل المعادلة بيانياً، نكتبها على صورة دالة: ص = -س² - ٣س + ١٨. ٢. ننشئ جدول قيم ونرسم المنحنى (قطع مكافئ). ٣. نحدد نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات. ٤. نقاط التقاطع هي س = -٦ و س = ٣.

تلميح: تذكر أن حلول المعادلة التربيعية بيانياً هي المقاطع السينية لمنحنى الدالة المرتبطة (عندما ص = ٠).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة س² - ٤س + ٣ = ٠ بيانياً.

  • أ) س = -١ أو س = -٣
  • ب) س = ١ أو س = ٣
  • ج) س = ٠ أو س = ٤
  • د) س = -٣ أو س = ٤

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ١ أو س = ٣

الشرح: ١. لتمثيل المعادلة بيانياً، نكتبها على صورة دالة: ص = س² - ٤س + ٣. ٢. ننشئ جدول قيم ونرسم المنحنى (قطع مكافئ). ٣. نحدد نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات. ٤. نقاط التقاطع هي س = ١ و س = ٣.

تلميح: تذكر أن حلول المعادلة التربيعية بيانياً هي المقاطع السينية لمنحنى الدالة المرتبطة (عندما ص = ٠).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل