إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ٤: حل المعادلة س٢ + ٦س = -٣ بيانيًا، وإذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة، فقدرها إلى أقرب جزء من عشرة.

الإجابة: الجذران تقريبًا: 3.4 ~ س، و 0.4 ~ س

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية وكتابة المعطيات.** | الوصف | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | المعادلة الأصلية | $س^2 + 6س = -3$ | | الصورة القياسية للمعادلة التربيعية | $س^2 + 6س + 3 = 0$ | | الدالة البيانية المقابلة | $ص(س) = س^2 + 6س + 3$ | | **المطلوب** | إيجاد قيم $س$ التي تجعل $ص(س)=0$ (تقاطع المنحنى مع محور السينات) وتقريبها لأقرب جزء من عشرة. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم.** حل المعادلة $أس^2 + ب س + ج = 0$ **بيانيًا** يتم عن طريق: 1. رسم منحنى الدالة التربيعية $ص = أس^2 + ب س + ج$. 2. تحديد نقاط تقاطع هذا المنحنى مع محور **السينات** ($ص=0$). 3. **إحداثيات س** لهذه النقاط هي جذور المعادلة.
3. **الخطوة 3: تحليل الدالة وتحديد شكل الرسم.** - معامل $س^2$ موجب (1)، لذا المنحنى **مفتوح لأعلى**. - يمكن إيجاد إحداثيات الرأس للمساعدة في الرسم: - $س_{الرأس} = \frac{-ب}{2أ} = \frac{-6}{2(1)} = -3$ - $ص_{الرأس} = (-3)^2 + 6(-3) + 3 = 9 - 18 + 3 = -6$ - إذن الرأس عند النقطة $(-3, -6)$. - **مقطع المحور الصادي**: عندما $س=0$، فإن $ص=3$. النقطة $(0, 3)$.
4. **الخطوة 4: التقدير البياني للجذور.** عند رسم المنحنى $ص = س^2 + 6س + 3$ بدقة، نلاحظ ما يلي: - المنحنى يقطع محور السينات ($ص=0$) عند **نقطتين**. - بالنظر إلى موقع الرأس $(-3, -6)$ وإحداثيات أخرى، نجد أن الجذور (قيم س عند التقاطع) ليست أعدادًا صحيحة. - من الرسم البياني الدقيق (أو باستخدام جدول قيم مجاور للجذور)، يمكن تقدير القيم: | قيمة $س$ المقربة | قيمة $ص(س)$ المحسوبة | الدلالة | |-------------------|-----------------------|---------| | -5.0 | $25 - 30 + 3 = -2$ | سالب، تحت المحور | | **-5.5** | $30.25 - 33 + 3 = 0.25$ | **موجب قريب من الصفر** | | -5.6 | $31.36 - 33.6 + 3 = 0.76$ | موجب | | **-5.4** | $29.16 - 32.4 + 3 = -0.24$ | **سالب قريب من الصفر** | > يظهر الجدول أن أحد الجذور يقع بين $-5.5$ و $-5.4$. وبمقارنة قيم $ص$، نجد أن $ص(-5.5)=0.25$ و$ص(-5.4)=-0.24$. القيمة الأقرب للصفر هي عند $-5.4$ (بمقدار 0.24) مقارنة بــ 0.25، لذا الجذر **الأقرب** هو $س \approx -5.4$. - بنفس الطريقة للجذر الآخر: | قيمة $س$ المقربة | قيمة $ص(س)$ المحسوبة | الدلالة | |-------------------|-----------------------|---------| | -0.5 | $0.25 - 3 + 3 = 0.25$ | موجب قريب من الصفر | | **-0.6** | $0.36 - 3.6 + 3 = -0.24$ | **سالب قريب من الصفر** | > إذن الجذر الثاني يقع بين $-0.6$ و $-0.5$، وبالمقارنة $ص(-0.5)=0.25$، $ص(-0.6)=-0.24$، فيكون $س \approx -0.6$ أقرب.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية.** بناءً على التقدير البياني لأقرب جزء من عشرة، فإن جذور المعادلة $س^2 + 6س + 3 = 0$ هي: - $س \approx -5.4$ - $س \approx -0.6$ > ملاحظة: الإجابة الأصلية (٠٫٤ ~ س و ٣٫٤ ~ س) تبدو غير متسقة مع الإشارات. بعد التحقق، جذور $س^2+6س+3=0$ هي $س = -3 \pm \sqrt{6}$، وحسابها يعطي تقريبًا $س \approx -0.551$ و $س \approx -5.449$، مما يؤكد أن التقريب الصحيح هو **-0.6 و -5.4**. ربما حدث خطأ مطبعي في الإجابة المرجعية.

سؤال ٥: إذا ركل سعد الكرة من ارتفاع قدمين من الأرض إلى أعلى بسرعة ٥٥ قدمًا / ثانية. فكم تبقى الكرة في الهواء تقريبًا؟

الإجابة: تبقى الكرة في الهواء تقريبًا 3.5 ثانية.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب.** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الارتفاع الابتدائي | $h_0$ | 2 | قدم (ft) | | السرعة الابتدائية | $v_0$ | 55 | قدم/ثانية (ft/s) | | عجلة الجاذبية | $g$ | 32 | قدم/ثانية² (ft/s²) | | **المطلوب** | الزمن الكلي $t$ الذي تبقى فيه الكرة في الهواء (حتى تعود إلى الأرض حيث الارتفاع = 0). |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم.** معادلة **الارتفاع** لجسم يُقذف رأسياً إلى أعلى في مجال الجاذبية الأرضية (باتجاه لأعلى موجب): $$ h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 $$ حيث: - $h(t)$: الارتفاع عن الأرض عند الزمن $t$. - نطرح $\frac{1}{2}gt^2$ لأن تسارع الجاذبية ($g$) يكون باتجاه الأسفل (معاكس للحركة الأولية).
3. **الخطوة 3: صياغة المعادلة الرياضية للمسألة.** نريد الزمن $t$ عندما تعود الكرة إلى الأرض، أي عندما $h(t) = 0$. $$ 0 = 2 + 55t - \frac{1}{2} (32) t^2 $$ نبسط المعادلة: $$ 0 = 2 + 55t - 16t^2 $$
4. **الخطوة 4: إعادة ترتيب المعادلة وحلها.** نرتب المعادلة التربيعية بالصورة القياسية $أ س^2 + ب س + ج = 0$: $$ -16t^2 + 55t + 2 = 0 $$ نضرب المعادلة بـ (-1) لتسهيل الحل: $$ 16t^2 - 55t - 2 = 0 $$ نستخدم **الصيغة التربيعية** لحل المعادلة $أ t^2 + ب t + ج = 0$: $$ t = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ} $$ حيث $أ = 16$، $ب = -55$، $ج = -2$.
5. **الخطوة 5: التعويض في الصيغة التربيعية.** 1. نحسب **المميز**: $\Delta = ب^2 - 4أج = (-55)^2 - 4(16)(-2) = 3025 + 128 = 3153$. 2. نجد الجذر التربيعي للمميز تقريباً: $\sqrt{3153} \approx 56.15$ (لأن $56.15^2 = 3152.8225$). 3. نعوض في الصيغة: $$ t = \frac{-(-55) \pm 56.15}{2(16)} = \frac{55 \pm 56.15}{32} $$ 4. نحسب القيمتين: - **القيمة الأولى** (بالإشارة الموجبة): $t_1 = \frac{55 + 56.15}{32} = \frac{111.15}{32} \approx 3.473$ ثانية. - **القيمة الثانية** (بالإشارة السالبة): $t_2 = \frac{55 - 56.15}{32} = \frac{-1.15}{32} \approx -0.036$ ثانية.
6. **الخطوة 6: تفسير النتائج واختيار الإجابة المنطقية.** - الزمن $t$ يجب أن يكون **قيمة موجبة**. - $t_2 \approx -0.036$ ثانية هي قيمة سالبة لا معنى فيزيائياً في هذا السياق (تمثل زمناً قبل الركلة). - إذن الحل المقبول هو $t_1 \approx 3.473$ ثانية. > يمكننا التحقق: عند $t \approx 3.473$، يكون $h(t) \approx 0$، أي أن الكرة تصل إلى الأرض.
7. **الخطوة 7: الإجابة النهائية.** بالتقريب لأقرب جزء من عشرة (كما هو مطلوب في السؤال السابق أو في السياق العام)، فإن: $$ t \approx 3.5 \text{ ثانية} $$ أي أن **مدة بقاء الكرة في الهواء تقريباً ثلاث ثوانٍ ونصف**.

ما الطريقة الأساسية لتقدير الجذور غير الصحيحة لمعادلة تربيعية باستخدام جدول القيم؟

• أ) البحث عن أكبر قيمة مطلقة للدالة (ص) في الجدول.
• ب) البحث عن قيمتين متساويتين لـ س حيث تكون قيمة ص صفرًا.
• ج) تحديد نقطة رأس المنحنى من الجدول فقط.
• د) البحث عن تغير في إشارة قيمة الدالة (ص) وتحديد قيمة س الأقرب إلى الصفر عند هذا التغير.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: البحث عن تغير في إشارة قيمة الدالة (ص) وتحديد قيمة س الأقرب إلى الصفر عند هذا التغير.

الشرح: يتم تقدير الجذور غير الصحيحة للمعادلة التربيعية بيانيًا أو باستخدام الجداول. في الجدول، يتم البحث عن قيم س التي يحدث عندها تغير في إشارة قيمة الدالة (ص)، ثم تُختار قيمة س التي تكون عندها قيمة الدالة (ص) الأقرب إلى الصفر كتقريب للجذر.

تلميح: تذكر كيف تُظهر الجداول وجود جذر عندما تنتقل قيمة الدالة من الموجب إلى السالب أو العكس.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ماذا تعني ملاحظة قيمتين متعاكستين في الإشارة للدالة (ص) بين قيمتي س متتاليتين في جدول الدوال التربيعية؟

• أ) أن الدالة لها قيمتان عظمى أو صغرى في تلك الفترة.
• ب) أن المنحنى يتقاطع مع محور السينات في نقطة واحدة فقط.
• ج) وجود جذر (صفر للدالة) بين قيمتي س هاتين، لأن الدوال التربيعية دوال متصلة.
• د) عدم وجود أي جذور للدالة في تلك الفترة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: وجود جذر (صفر للدالة) بين قيمتي س هاتين، لأن الدوال التربيعية دوال متصلة.

الشرح: بما أن الدوال التربيعية دوال متصلة، فإن تغير إشارة قيمة الدالة (ص) من موجب إلى سالب أو العكس بين قيمتي س متتاليتين يعني بالضرورة أن المنحنى قد عبر محور السينات، وبالتالي يوجد جذر (صفر للدالة) في تلك الفترة.

تلميح: فكر في طبيعة الدوال المتصلة وكيف تمر عبر محور السينات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند ركل كرة من ارتفاع 2 قدم بسرعة ابتدائية 55 قدم/ثانية، ما هي المعادلة التربيعية التي تستخدم لإيجاد الزمن (t) حتى تعود الكرة إلى الأرض؟

• أ) $16t^2 + 55t + 2 = 0$
• ب) $-16t^2 - 55t + 2 = 0$
• ج) $16t^2 - 55t - 2 = 0$
• د) $32t^2 - 55t - 2 = 0$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $16t^2 - 55t - 2 = 0$

الشرح: 1. المعادلة العامة للارتفاع هي $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$. 2. نعوض $h_0 = 2$ قدم، $v_0 = 55$ قدم/ثانية، و $g = 32$ قدم/ثانية². وعند العودة للأرض، $h(t) = 0$. 3. فتصبح $0 = 2 + 55t - \frac{1}{2}(32)t^2$. 4. بالتبسيط: $0 = 2 + 55t - 16t^2$. 5. بإعادة الترتيب للصورة القياسية $أت^2 + بت + ج = 0$: $16t^2 - 55t - 2 = 0$.

تلميح: تذكر صيغة معادلة الارتفاع القياسية $h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$ وعجلة الجاذبية (g=32 قدم/ثانية²).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بناءً على المعادلة $16t^2 - 55t - 2 = 0$ التي تصف حركة كرة ركلت من ارتفاع قدمين بسرعة 55 قدم/ثانية، كم تبقى الكرة في الهواء تقريبًا حتى تعود للأرض؟

• أ) 0.036 ثانية
• ب) 3.5 ثانية
• ج) 3.0 ثوانٍ
• د) 4.0 ثوانٍ

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3.5 ثانية

الشرح: 1. نستخدم الصيغة التربيعية $t = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}$ للمعادلة $16t^2 - 55t - 2 = 0$ حيث $أ=16, ب=-55, ج=-2$. 2. المميز $\Delta = (-55)^2 - 4(16)(-2) = 3025 + 128 = 3153$. 3. $t = \frac{-(-55) \pm \sqrt{3153}}{2(16)} = \frac{55 \pm 56.15}{32}$. 4. القيمتان هما $t_1 \approx \frac{55 + 56.15}{32} \approx 3.473$ و $t_2 \approx \frac{55 - 56.15}{32} \approx -0.036$. 5. الزمن لا يمكن أن يكون سالبًا، لذا نختار $t \approx 3.473$ ثانية. بتقريبها لأقرب جزء من عشرة تصبح 3.5 ثانية.

تلميح: استخدم القانون العام لحل المعادلات التربيعية ($t = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}$) واختر الحل الموجب المنطقي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الخطوة الأولى عند حل معادلة تربيعية مثل $2س^2 + 6س - 3 = 0$ بيانيًا لتقدير جذورها؟

• أ) تحليل المعادلة إلى عوامل خطية.
• ب) إيجاد قيمة المميز للمعادلة.
• ج) تمثيل الدالة المرتبطة $ص = 2س^2 + 6س - 3$ بيانيًا.
• د) تحديد نقاط تقاطع المنحنى مع المحور الصادي فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تمثيل الدالة المرتبطة $ص = 2س^2 + 6س - 3$ بيانيًا.

الشرح: 1. لتحليل المعادلة التربيعية بيانيًا، يجب أولاً تحويلها إلى دالة. 2. يتم ذلك بإنشاء الدالة المرتبطة $ص = أس^2 + بس + ج$. 3. في هذه الحالة، المعادلة هي $2س^2 + 6س - 3 = 0$ فتكون الدالة المرتبطة هي $ص = 2س^2 + 6س - 3$. 4. الخطوة الأولى هي رسم هذه الدالة على المستوى الإحداثي.

تلميح: قبل البحث عن الجذور، يجب أن يكون لديك تمثيل مرئي للدالة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل