صفحة 121 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 8: حل كل معادلة فيما يأتي بيانياً: ٨) س + ٧ = ١٤

الإجابة: س = ٧

سؤال 9: ٩) س + ٤ = ٢٤

الإجابة: س = ٥

سؤال 10: ١٠) س - ٢ = ١٠

الإجابة: س = ١٢

سؤال 11: حل كل معادلة فيما يأتي بيانياً، وإذا لم تكن الجذور أعداداً صحيحة، فقدرها إلى أقرب جزء من عشرة: ١١) س + ٩ = ٤

الإجابة: لا توجد حلول حقيقية.

سؤال 12: ١٢) س - ٤ = ٢٠

الإجابة: س = ٦، س = -٢

سؤال 13: ١٣) س + ٨ = ١٨

الإجابة: س = ٨، س = -٢

سؤال 14: أهوانية: ترتفع أهوانية براكينها إلى الأعلى، ثم تنزل بهم إلى الأسفل وفق المعادلة: ع = - ٥ ت٢ + ١٨ ت + ٥٠، حيث (ع) الارتفاع بالأقدام بعد (ت) ثانية. فكم ثانية تستغرق الأهوانية للعودة إلى الأسفل؟

الإجابة: ٢,٢ ثانية، ٤,٢ ثانية

سؤال 15: استعمل التحليل إلى العوامل لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني محور السينات في كل دالة مما يأتي، ثم حدد أصفار كل منها: ١٥) س = ٨ - س + ١٦

الإجابة: س = ٤، س = ٤

سؤال 16: ١٦) س = ٤ - س + ٤

الإجابة: س = ٢

سؤال 17: ١٧) س = س + ١٢ + ٣٢

الإجابة: س = -٤، س = -٨

سؤال 18: نظرية الأعداد: استعمل معادلة تربيعية لإيجاد عددين مجموعهما ٩، وناتج ضربهما ٢٠.

الإجابة: العددان هما: ٤ و ٥

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: -٩ = -س²

• أ) س = 3
• ب) س = 3، س = -3
• ج) س = ±9
• د) س = ±81

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = 3، س = -3

الشرح: ١. أعد ترتيب المعادلة بقسمة الطرفين على -١: س² = ٩. ٢. أوجد الجذر التربيعي للطرفين: س = ±√٩. ٣. وبالتالي، س = ٣ أو س = -٣.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة لتصبح س² = عدد، ثم أوجد الجذر التربيعي للطرفين مع الأخذ في الاعتبار الجذور الموجبة والسالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: س² = ٢٥

• أ) س = 5
• ب) س = 12.5
• ج) س = 5، س = -5
• د) س = 625

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = 5، س = -5

الشرح: ١. أوجد الجذر التربيعي للطرفين. ٢. س = ±√٢٥. ٣. وبالتالي، س = ٥ أو س = -٥.

تلميح: تذكر أن الجذر التربيعي لعدد له قيمتان، إحداهما موجبة والأخرى سالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: س² = ٢س - ١

• أ) س = -١ (جذر مكرر)
• ب) س = ١ (جذر مكرر)
• ج) س = ٠ أو س = ١
• د) لا توجد حلول حقيقية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ١ (جذر مكرر)

الشرح: ١. أعد ترتيب المعادلة لتصبح س² - ٢س + ١ = ٠. ٢. هذه المعادلة هي مربع كامل ويمكن تحليلها إلى (س - ١)² = ٠. ٣. بوضع س - ١ = ٠، نحصل على س = ١. هذا جذر مكرر.

تلميح: ابدأ بإعادة ترتيب المعادلة لتكون في الصورة القياسية للتربيعية. هل يمكنك التعرف على شكل المربع الكامل؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا، وإذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة، فقَدّرها إلى أقرب جزء من عشرة: -س² - ٥س + ١ = ٠

• أ) س ≈ -٥,٢ أو س ≈ ٠,٢
• ب) س ≈ ٥,٢ أو س ≈ -٠,٢
• ج) س ≈ -٥,٧ أو س ≈ ٠,٧
• د) س ≈ -٠,٢ أو س ≈ ٥,٢

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س ≈ -٥,٢ أو س ≈ ٠,٢

الشرح: ١. لتحديد الجذور، نستخدم القانون العام: س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² - ٤أج)] / ٢أ. ٢. في المعادلة -س² - ٥س + ١ = ٠، أ = -١، ب = -٥، ج = ١. ٣. نحسب المميز: (-٥)² - ٤(-١)(١) = ٢٥ + ٤ = ٢٩. ٤. نحسب الجذور: س = [٥ ± الجذر التربيعي(٢٩)] / -٢. ٥. الجذر التربيعي(٢٩) ≈ ٥,٣٨٥. ٦. س1 = (٥ + ٥,٣٨٥) / -٢ ≈ -٥,٢. ٧. س2 = (٥ - ٥,٣٨٥) / -٢ ≈ ٠,٢.

تلميح: تذكر صيغة القانون العام لحل المعادلات التربيعية والتقريب لأقرب جزء من عشرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: س² + ٧س + ١٤ = ٠

• أ) س = -٧ أو س = ٧
• ب) س = -٣,٥
• ج) س = -٧ ± الجذر التربيعي(٧)
• د) لا توجد حلول حقيقية.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لا توجد حلول حقيقية.

الشرح: ١. لحل المعادلة بيانيًا، نجد جذورها وهي نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات. ٢. يمكن تحديد وجود الجذور من خلال المميز (Δ = ب² - ٤أج). ٣. في المعادلة س² + ٧س + ١٤ = ٠، أ = ١، ب = ٧، ج = ١٤. ٤. نحسب المميز: (٧)² - ٤(١)(١٤) = ٤٩ - ٥٦ = -٧. ٥. بما أن المميز سالب (Δ < ٠)، فلا توجد حلول حقيقية للمعادلة، أي لا يقطع التمثيل البياني محور السينات.

تلميح: تذكر دور المميز (Δ = ب² - ٤أج) في تحديد عدد ونوع الجذور للمعادلة التربيعية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: س² + ٢س - ٢٤ = ٠

• أ) س = -٤ أو س = ٦
• ب) س = ٤ أو س = -٦
• ج) س = -٢ أو س = ١٢
• د) س = ٢ أو س = -١٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ٤ أو س = -٦

الشرح: ١. لحل المعادلة س² + ٢س - ٢٤ = ٠، يمكننا التحليل إلى العوامل. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -٢٤ ومجموعهما ٢. ٣. العددان هما ٦ و -٤. ٤. نكتب المعادلة على الصورة: (س + ٦)(س - ٤) = ٠. ٥. إما س + ٦ = ٠ ← س = -٦، أو س - ٤ = ٠ ← س = ٤.

تلميح: حاول تحليل المعادلة التربيعية إلى عاملين. ابحث عن عددين حاصل ضربهما الحد الثابت ومجموعهما معامل س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا، وإذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة، فقَدّرها إلى أقرب جزء من عشرة: س² + ٢س - ٩ = ٠

• أ) س ≈ -٢,٢ أو س ≈ ٤,٢
• ب) س ≈ ٠,٨ أو س ≈ -٢,٨
• ج) س ≈ ٢,٢ أو س ≈ -٤,٢
• د) س ≈ ١,٨ أو س ≈ -٣,٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س ≈ ٢,٢ أو س ≈ -٤,٢

الشرح: ١. لتحديد الجذور، نستخدم القانون العام: س = [-ب ± الجذر التربيعي(ب² - ٤أج)] / ٢أ. ٢. في المعادلة س² + ٢س - ٩ = ٠، أ = ١، ب = ٢، ج = -٩. ٣. نحسب المميز: (٢)² - ٤(١)(-٩) = ٤ + ٣٦ = ٤٠. ٤. نحسب الجذور: س = [-٢ ± الجذر التربيعي(٤٠)] / ٢. ٥. الجذر التربيعي(٤٠) ≈ ٦,٣٢. ٦. س1 = (-٢ + ٦,٣٢) / ٢ ≈ ٢,٢. ٧. س2 = (-٢ - ٦,٣٢) / ٢ ≈ -٤,٢.

تلميح: استخدم القانون العام لحل المعادلات التربيعية، ثم قرب الناتج لأقرب جزء من عشرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: س² + ٣س - ١٠ = ٠

• أ) س = -٢ أو س = ٥
• ب) س = ١ أو س = -١٠
• ج) س = ٢ أو س = -٥
• د) س = -١ أو س = ١٠

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = ٢ أو س = -٥

الشرح: ١. يمكن تحليل المعادلة س² + ٣س - ١٠ = ٠ إلى عوامل (س + ٥)(س - ٢) = ٠. ٢. بوضع كل عامل يساوي صفرًا، نحصل على س + ٥ = ٠ أو س - ٢ = ٠. ٣. من هنا، س = -٥ أو س = ٢.

تلميح: لإيجاد الجذور بيانيًا، ابحث عن نقاط تقاطع التمثيل البياني للدالة ص = س² + ٣س - ١٠ مع محور السينات (حيث ص = ٠). يمكنك أيضًا تحليل المعادلة إلى عوامل لإيجاد الجذور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: ٢س² - ٨س = ٠

• أ) س = ٨ أو س = -٨
• ب) س = ٠ أو س = ٤
• ج) س = ٢ أو س = ٤
• د) س = ٨ أو س = ٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ٠ أو س = ٤

الشرح: ١. يمكن إخراج العامل المشترك ٢س من المعادلة ٢س² - ٨س = ٠ لتصبح ٢س(س - ٤) = ٠. ٢. بوضع كل عامل يساوي صفرًا، نحصل على ٢س = ٠ أو س - ٤ = ٠. ٣. من هنا، س = ٠ أو س = ٤.

تلميح: ابحث عن عامل مشترك في المعادلة، ثم ساوي كل عامل بالصفر لإيجاد الجذور. بيانيًا، ابحث عن نقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور السينات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا: س² + ٤س = -٤

• أ) س = ٤ أو س = -٤
• ب) لا توجد حلول حقيقية
• ج) س = -٢ (جذر مكرر)
• د) س = ٢ أو س = -٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = -٢ (جذر مكرر)

الشرح: ١. أعد ترتيب المعادلة لتصبح س² + ٤س + ٤ = ٠. ٢. لاحظ أن الطرف الأيسر هو مربع كامل: (س + ٢)² = ٠. ٣. بوضع س + ٢ = ٠، نحصل على س = -٢. هذا جذر مكرر.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة لتكون في الصورة القياسية للدالة التربيعية (أ س² + ب س + ج = ٠)، ثم حاول تحليلها أو استخدم القانون العام. بيانيًا، ابحث عن نقاط التقاطع مع محور السينات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أفعوانية: ترتفع أفعوانية براكبيها إلى الأعلى، ثم تنزل بهم إلى الأسفل وفق المعادلة: ع = -١٦ ن² + ١٨٥ ن، حيث (ع) الارتفاع بالأقدام بعد (ن) ثانية، فكم ثانية تستغرق الأفعوانية للعودة إلى الأسفل؟

• أ) 0 ثانية
• ب) 11.6 ثانية
• ج) 16 ثانية
• د) 185 ثانية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 11.6 ثانية

الشرح: ١. للعودة إلى الأسفل، يكون الارتفاع ع = ٠: ٠ = -١٦ن² + ١٨٥ن. ٢. أخرج ن عاملًا مشتركًا: ٠ = ن(-١٦ن + ١٨٥). ٣. إما ن = ٠ (وقت الانطلاق) أو -١٦ن + ١٨٥ = ٠. ٤. حل المعادلة الثانية: ١٦ن = ١٨٥، إذن ن = ١٨٥ / ١٦ ≈ ١١.٥٦٢٥. ٥. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، يكون الزمن ١١.٦ ثانية.

تلميح: عندما تعود الأفعوانية إلى الأسفل، يكون الارتفاع (ع) مساويًا للصفر. استخدم التحليل لإيجاد قيمة (ن) الأكبر من الصفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل التحليل إلى العوامل لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني محور السينات للدالة: ص = س² - ٨س + ١٦، ثم حدّد أصفارها.

• أ) يقطع مرتين عند س = 4 وس = -4
• ب) يقطع مرة واحدة عند س = 4
• ج) لا يقطع محور السينات
• د) يقطع مرة واحدة عند س = -4

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يقطع مرة واحدة عند س = 4

الشرح: ١. لحديد الأصفار، نساوي الدالة بالصفر: س² - ٨س + ١٦ = ٠. ٢. هذه الدالة هي مربع كامل: (س - ٤)² = ٠. ٣. إذن س - ٤ = ٠، وبالتالي س = ٤. ٤. بما أن الجذر س = ٤ هو جذر مكرر، فإن التمثيل البياني يقطع محور السينات مرة واحدة فقط عند س = ٤.

تلميح: حاول تحليل الدالة التربيعية كـ(س - أ)² أو (س + أ)²، ثم أوجد قيمة س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل التحليل إلى العوامل لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني محور السينات للدالة: ص = س² + ٣س + ٤، ثم حدّد أصفارها.

• أ) يقطع مرتين عند س = -1 وس = -4
• ب) يقطع مرة واحدة عند س = -2
• ج) لا يقطع محور السينات (لا توجد أصفار حقيقية)
• د) يقطع مرتين عند س = 1 وس = 4

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يقطع محور السينات (لا توجد أصفار حقيقية)

الشرح: ١. لحل س² + ٣س + ٤ = ٠، نحسب المميز Δ = ب² - ٤أج. ٢. في هذه الدالة: أ=١، ب=٣، ج=٤. ٣. المميز Δ = (٣)² - ٤(١)(٤) = ٩ - ١٦ = -٧. ٤. بما أن المميز سالب (Δ < ٠)، لا توجد جذور حقيقية للمعادلة، وبالتالي لا يقطع التمثيل البياني محور السينات.

تلميح: إذا لم تتمكن من التحليل بسهولة، استخدم المميز (Δ = ب² - ٤أج) لتحديد طبيعة الجذور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

نظرية الأعداد: استعمل معادلة تربيعية لإيجاد عددين مجموعهما ٩، وناتج ضربهما ٢٠.

• أ) العددان هما ٦ و ٣
• ب) العددان هما ٢ و ٧
• ج) العددان هما ٤ و ٥
• د) العددان هما ١٠ و -١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: العددان هما ٤ و ٥

الشرح: ١. افرض العددين س، ص. لدينا س + ص = ٩ و س × ص = ٢٠. ٢. من المعادلة الأولى، ص = ٩ - س. عوض في الثانية: س(٩ - س) = ٢٠. ٣. بفك الأقواس وترتيب المعادلة: ٩س - س² = ٢٠ => س² - ٩س + ٢٠ = ٠. ٤. بتحليل المعادلة: (س - ٤)(س - ٥) = ٠. إذن، س = ٤ أو س = ٥. ٥. إذا كان س = ٤، فإن ص = ٩ - ٤ = ٥. إذا كان س = ٥، فإن ص = ٩ - ٥ = ٤. العددان هما ٤ و ٥.

تلميح: افترض أن العددين هما س و ص. اكتب معادلتين بناءً على المعلومات المعطاة (المجموع والضرب)، ثم استخدم التعويض لتكوين معادلة تربيعية واحدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل التحليل إلى العوامل لتحديد عدد المرات التي يقطع فيها التمثيل البياني محور السينات في الدالة: ص = س² + ١٢س + ٣٢، ثم حدّد أصفار كل منها:

• أ) يقطع مرة واحدة، أصفار الدالة هي س = ٤
• ب) لا يقطع محور السينات
• ج) يقطع مرتين، أصفار الدالة هي س = -٤ أو س = -٨
• د) يقطع مرتين، أصفار الدالة هي س = ٤ أو س = ٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يقطع مرتين، أصفار الدالة هي س = -٤ أو س = -٨

الشرح: ١. لإيجاد أصفار الدالة، نضع ص = ٠ فتصبح س² + ١٢س + ٣٢ = ٠. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٣٢ ومجموعهما ١٢، وهما ٤ و ٨. ٣. نحلل المعادلة إلى عوامل: (س + ٤)(س + ٨) = ٠. ٤. إما س + ٤ = ٠ ← س = -٤، أو س + ٨ = ٠ ← س = -٨. ٥. بما أن هناك جذرين حقيقيين مختلفين، فإن التمثيل البياني يقطع محور السينات مرتين.

تلميح: لتحليل دالة تربيعية على الصورة س² + ب س + ج، ابحث عن عددين حاصل ضربهما ج ومجموعهما ب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا، وإذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة، فقَدّرها إلى أقرب جزء من عشرة: س² - ٤س = ٢٠

• أ) س ≈ ٧.٢، س ≈ -٣.٢
• ب) س ≈ ٦.٩، س ≈ -٢.٩
• ج) س ≈ ٦، س ≈ -٢
• د) س ≈ ٥.٥، س ≈ -١.٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س ≈ ٦.٩، س ≈ -٢.٩

الشرح: ١. أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية: س² - ٤س - ٢٠ = ٠. ٢. استخدم القانون العام: س = [ -ب ± √(ب² - ٤أج) ] / ٢أ. ٣. عوض القيم: س = [ ٤ ± ((-٤)² - ٤(١)(-٢٠))^½ ] / ٢(١). ٤. بسط: س = [ ٤ ± (١٦ + ٨٠)^½ ] / ٢ = [ ٤ ± (٩٦)^½ ] / ٢. ٥. احسب الجذور: س ≈ [ ٤ ± ٩.٨ ] / ٢. ٦. س1 ≈ (٤ + ٩.٨) / ٢ = ٦.٩، س2 ≈ (٤ - ٩.٨) / ٢ = -٢.٩.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة إلى الصورة القياسية أ س² + ب س + ج = ٠، ثم استخدم القانون العام أو الرسم البياني لتقدير الجذور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية بيانيًا، وإذا لم تكن الجذور أعدادًا صحيحة، فقَدّرها إلى أقرب جزء من عشرة: س² + ٣س = ١٨

• أ) س = ٦، س = -٣
• ب) س = ٩، س = -٢
• ج) س = ٨، س = -٢
• د) س = ٣، س = -٦

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س = ٣، س = -٦

الشرح: ١. أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية: س² + ٣س - ١٨ = ٠. ٢. حلل المعادلة التربيعية إلى عاملين: (س + ٦)(س - ٣) = ٠. ٣. ساوي كل عامل بالصفر: س + ٦ = ٠ أو س - ٣ = ٠. ٤. احسب الجذور: س = -٦ أو س = ٣.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة إلى الصورة القياسية أ س² + ب س + ج = ٠، ثم حاول التحليل إلى العوامل أو استخدم الرسم البياني.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط