مفهوم أساسي: ضرب القوى

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 ضرب القوى وقوة القوة

المفاهيم الأساسية

ضرب القوى: لضرب قوتين لهما الأساس نفسه، اجمع أُسيهما.

قوة القوة: لإيجاد قوة القوة، اضرب الأسس.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل ٦: كثيرات الحدود

ضرب وحدات الحد

تعريف وحدة الحد

#### تتكون من حد واحد

#### أمثلة: عدد، متغير، حاصل ضرب عدد في متغير

#### ليس وحدة حد: العبارة التي تتضمن جمع أو قسمة على متغير

الثابت

#### وحدة حد تمثل عدداً حقيقياً

القوة (الأس)

#### الأساس × نفسه ن مرات = الأساس^ن

#### مثال: ٨١ = ٣ × ٣ × ٣ × ٣ = ٣^٤

ضرب القوى

#### القاعدة: أ^م × أ^ن = أ^(م + ن)

#### مثال: ب^٣ × ب^٥ = ب^(٥ + ٣) = ب^٨

قوة القوة

#### القاعدة: (أ^م)^ن = أ^(م × ن)

#### مثال: (ب^٣)^٥ = ب^(٣ × ٥) = ب^١٥

تطبيق من الحياة

#### صيغة قوة محرك السيارة: ق = ك (ع)³

##### ق: قوة المحرك بالحصان

##### ك: كتلة السيارة

##### ع: السرعة

```

نقاط مهمة

عند ضرب قوى لها نفس الأساس، نجمع الأسس.
عند رفع قوة إلى قوة أخرى، نضرب الأسس.
إذا لم يظهر أس المتغير أو معامله، يمكن افتراض أن كليهما يساوي ١ (س = ١ س^١).
خطوات تبسيط العبارات: ١) جمع المعاملات والمتغيرات، ٢) ضرب القوى، ٣) التبسيط.

---

حل مثال

مثال ٢: بسّط كل عبارة مما يأتي:

أ) (ن^٢)(ن^٧)

* الخطوات:

1. لدينا قوتان لهما الأساس نفسه (ن).

2. نطبق قاعدة ضرب القوى: نجمع الأسس.

3. الحل: (ن^٢)(ن^٧) = ن^(٢ + ٧) = ن^٩.

ب) (ب^٣ هـ^٤)(ب^٣ هـ^٤)

* الخطوات:

1. نرتب المتغيرات المتشابهة مع بعضها.

2. نضرب القوى ذات الأساس (ب) معًا: ب^٣ × ب^٣ = ب^(٣ + ٣) = ب^٦.

3. نضرب القوى ذات الأساس (هـ) معًا: هـ^٤ × هـ^٤ = هـ^(٤ + ٤) = هـ^٨.

4. الحل: (ب^٣ هـ^٤)(ب^٣ هـ^٤) = ب^٦ هـ^٨.

---

تحقق من فهمك

٢) بسّط العبارة: (ص^٤)(ع^٧)(ص^٢)(ع^٤)

* الخطوات:

1. نرتب المتغيرات المتشابهة: (ص^٤ × ص^٢) و (ع^٧ × ع^٤).

2. نطبق قاعدة ضرب القوى على كل أساس:

* أساس (ص): ٤ + ٢ = ٦ ← ص^٦

* أساس (ع): ٧ + ٤ = ١١ ← ع^١١

3. الحل النهائي: ص^٦ ع^١١.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

ويمكنك إيجاد حاصل ضرب القوى في المثالين الآتيين بتطبيق تعريف القوة، انظر نمط الأسس في المثالين الآتيين:
2^4 × 2^2 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2^6
4^3 × 4^2 = (4 × 4 × 4) × (4 × 4) = 4^5
يوضح المثالان السابقان خاصية ضرب القوى.

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: لضرب قوتين لهما الأساس نفسه، اجمع أسيهما.
الرموز: لأي عدد حقيقي أ؛ وأي عددين صحيحين م، ن فإن: أ^م × أ^ن = أ^(م + ن).
أمثلة: ب^3 × ب^5 = ب^(3 + 5) = ب^8 ، ج^4 × ج^6 = ج^(4 + 6) = ج^10

مثال ٢: ضرب القوى

نوع: محتوى تعليمي

بسّط كل عبارة مما يأتي:

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

العدد ١ معاملًا وقوة: عندما لا يظهر أس المتغير أو معامله، يمكن افتراض أن كليهما يساوي ١؛ أي أن س = ١س^١.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

٢أ

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢أ) (3ص^4)(7ص^5)

٢ب

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢ب) (-4ر س^2 ن^3)(-6ر^5 س^2 ن)

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك استعمال خاصية ضرب القوى لإيجاد قوة القوة، انظر نمط الأسس في المثالين الآتيين:
(2^3)^4 = (2^3)(2^3)(2^3)(2^3) = 2^(3 + 3 + 3 + 3) = 2^12
(ر^4)^3 = (ر^4)(ر^4)(ر^4) = ر^(4 + 4 + 4) = ر^12
يوضح المثالان السابقان خاصية قوة القوة.

مفهوم أساسي: قوة القوة

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: لإيجاد قوة القوة، اضرب الأسس.
الرموز: لأي عدد حقيقي أ؛ وأي عددين صحيحين م، ن فإن: (أ^م)^ن = أ^(م × ن).
أمثلة: (ب^3)^5 = ب^(3 × 5) = ب^15 ، (ج^6)^7 = ج^(6 × 7) = ج^42

نوع: METADATA

الدرس ٦-١: ضرب وحيدات الحد ١٣

🔍 عناصر مرئية

إطار أزرق يحتوي على قاعدة ضرب القوى مع التعبير اللفظي والرموز والأمثلة.

إطار أزرق يحتوي على قاعدة قوة القوة مع التعبير اللفظي والرموز والأمثلة.

مربع جانبي أصفر يحتوي على ملاحظة حول المعامل والأس عندما لا يظهران.

توضيح رياضي لفك الأسس وجمعها في عملية الضرب لأساسات متشابهة.

توضيح رياضي لفك قوة القوة إلى حاصل ضرب قوى متكررة ثم جمع الأسس.

📄 النص الكامل للصفحة

ويمكنك إيجاد حاصل ضرب القوى في المثالين الآتيين بتطبيق تعريف القوة، انظر نمط الأسس في المثالين الآتيين:
2^4 × 2^2 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2^6
4^3 × 4^2 = (4 × 4 × 4) × (4 × 4) = 4^5
يوضح المثالان السابقان خاصية ضرب القوى.

--- SECTION: مفهوم أساسي: ضرب القوى ---
التعبير اللفظي: لضرب قوتين لهما الأساس نفسه، اجمع أسيهما.
الرموز: لأي عدد حقيقي أ؛ وأي عددين صحيحين م، ن فإن: أ^م × أ^ن = أ^(م + ن).
أمثلة: ب^3 × ب^5 = ب^(3 + 5) = ب^8 ، ج^4 × ج^6 = ج^(4 + 6) = ج^10

--- SECTION: مثال ٢: ضرب القوى ---
بسّط كل عبارة مما يأتي:
أ. (6ن^3)(2ن^7)
ب. (3ب هـ^3)(ب^3 هـ^4)

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
العدد ١ معاملًا وقوة: عندما لا يظهر أس المتغير أو معامله، يمكن افتراض أن كليهما يساوي ١؛ أي أن س = ١س^١.

تحقق من فهمك

--- SECTION: ٢أ ---
٢أ) (3ص^4)(7ص^5)

--- SECTION: ٢ب ---
٢ب) (-4ر س^2 ن^3)(-6ر^5 س^2 ن)

يمكنك استعمال خاصية ضرب القوى لإيجاد قوة القوة، انظر نمط الأسس في المثالين الآتيين:
(2^3)^4 = (2^3)(2^3)(2^3)(2^3) = 2^(3 + 3 + 3 + 3) = 2^12
(ر^4)^3 = (ر^4)(ر^4)(ر^4) = ر^(4 + 4 + 4) = ر^12
يوضح المثالان السابقان خاصية قوة القوة.

--- SECTION: مفهوم أساسي: قوة القوة ---
التعبير اللفظي: لإيجاد قوة القوة، اضرب الأسس.
الرموز: لأي عدد حقيقي أ؛ وأي عددين صحيحين م، ن فإن: (أ^م)^ن = أ^(م × ن).
أمثلة: (ب^3)^5 = ب^(3 × 5) = ب^15 ، (ج^6)^7 = ج^(6 × 7) = ج^42

الدرس ٦-١: ضرب وحيدات الحد ١٣

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: إطار أزرق يحتوي على قاعدة ضرب القوى مع التعبير اللفظي والرموز والأمثلة.
Context: يوضح قاعدة أ^م × أ^ن = أ^(م+ن)

**FIGURE**: Untitled
Description: إطار أزرق يحتوي على قاعدة قوة القوة مع التعبير اللفظي والرموز والأمثلة.
Context: يوضح قاعدة (أ^م)^ن = أ^(م×ن)

**SIDEBAR**: Untitled
Description: مربع جانبي أصفر يحتوي على ملاحظة حول المعامل والأس عندما لا يظهران.
Context: تذكير بأن س تعني 1س^1

**DIAGRAM**: Untitled
Description: توضيح رياضي لفك الأسس وجمعها في عملية الضرب لأساسات متشابهة.
Key Values: 2^4 * 2^2 = 2^6, 4^3 * 4^2 = 4^5

**DIAGRAM**: Untitled
Description: توضيح رياضي لفك قوة القوة إلى حاصل ضرب قوى متكررة ثم جمع الأسس.
Key Values: (2^3)^4 = 2^12, (r^4)^3 = r^12

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 5

سؤال أ: بسط كل عبارة مما يأتي: أ) (ن^٧) (ن^٣)

الإجابة: أ) ن^(٧ + ٣) = ن^١٠

خطوات الحل:

| المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (ن^٧) (ن^٣) | تبسيط العبارة |
**القانون المستخدم:** عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
**الخطوات:** 1. الأساس هو 'ن' في كلتا القوتين. 2. نجمع الأسس: 7 + 3 = 10. 3. إذن، (ن^٧) (ن^٣) = ن^(٧ + ٣) = ن^١٠
> **تنبيه:** هذا القانون ينطبق فقط عندما يكون الأساس هو نفسه في كلتا القوتين.
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (ن^٧) (ن^٣) هو ن^١٠.

سؤال ب: ب) (ب^هـ) (ب^أ)

الإجابة: ب) ب^(هـ + أ)

خطوات الحل:

| المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (ب^هـ) (ب^أ) | تبسيط العبارة |
**القانون المستخدم:** عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
**الخطوات:** 1. الأساس هو 'ب' في كلتا القوتين. 2. نجمع الأسس: هـ + أ. 3. إذن، (ب^هـ) (ب^أ) = ب^(هـ + أ)
> **تنبيه:** لا يمكن تبسيط هـ + أ أكثر من ذلك لأنهما متغيران.
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (ب^هـ) (ب^أ) هو ب^(هـ + أ).

سؤال ١٢: ١٢) (ص^٤) (ص^٧)

الإجابة: ص^(٤ + ٧) = ص^١١

خطوات الحل:

| المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (ص^٤) (ص^٧) | تبسيط العبارة |
**القانون المستخدم:** عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
**الخطوات:** 1. الأساس هو 'ص' في كلتا القوتين. 2. نجمع الأسس: 4 + 7 = 11. 3. إذن، (ص^٤) (ص^٧) = ص^(٤ + ٧) = ص^١١
> **تنبيه:** تأكد من أن الأساس هو نفسه قبل جمع الأسس.
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (ص^٤) (ص^٧) هو ص^١١.

سؤال ١٣: ١٣) (٤ س^٦) (-٦ ر^٥ س^٢)

الإجابة: -٢٤ ر^٥ س^(٦ + ٢) = -٢٤ ر^٥ س^٨

خطوات الحل:

| المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (٤ س^٦) (-٦ ر^٥ س^٢) | تبسيط العبارة |
**القوانين المستخدمة:** 1. عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس، نجمع الأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 2. خاصية التجميع والتبديل في الضرب.
**الخطوات:** 1. نضرب المعاملات العددية: 4 × (-6) = -24. 2. نضرب المتغيرات التي لها نفس الأساس (س): س^٦ × س^٢ = س^(٦ + ٢) = س^٨. 3. المتغير 'ر' ليس له متغير مماثل، لذا يبقى كما هو: ر^٥. 4. إذن، (٤ س^٦) (-٦ ر^٥ س^٢) = -٢٤ ر^٥ س^٨
> **تنبيه:** يجب ضرب المعاملات العددية أولاً ثم التعامل مع المتغيرات.
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (٤ س^٦) (-٦ ر^٥ س^٢) هو -٢٤ ر^٥ س^٨.

سؤال ١٤: ١٤) بسط كل عبارة مما يأتي: أ) (٢^٣)^٤ ب) (س^٢)^٥ ج) (ص^٤)^٣

الإجابة: أ) ٢^(٣ × ٤) = ٢^١٢ = ٤٠٩٦ ب) س^(٢ × ٥) = س^١٠ ج) ص^(٤ × ٣) = ص^١٢

خطوات الحل:

**أ) (٢^٣)^٤** | المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (٢^٣)^٤ | تبسيط العبارة |
**القانون المستخدم:** عند رفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
**الخطوات:** 1. نضرب الأسس: 3 × 4 = 12. 2. إذن، (٢^٣)^٤ = ٢^(٣ × ٤) = ٢^١٢. 3. نحسب قيمة ٢^١٢: ٢^١٢ = ٤٠٩٦
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (٢^٣)^٤ هو ٤٠٩٦. **ب) (س^٢)^٥** | المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (س^٢)^٥ | تبسيط العبارة |
**القانون المستخدم:** عند رفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
**الخطوات:** 1. نضرب الأسس: 2 × 5 = 10. 2. إذن، (س^٢)^٥ = س^(٢ × ٥) = س^١٠
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (س^٢)^٥ هو س^١٠. **ج) (ص^٤)^٣** | المعطيات | المطلوب | |---|---| | العبارة: (ص^٤)^٣ | تبسيط العبارة |
**القانون المستخدم:** عند رفع قوة إلى قوة، نضرب الأسس: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
**الخطوات:** 1. نضرب الأسس: 4 × 3 = 12. 2. إذن، (ص^٤)^٣ = ص^(٤ × ٣) = ص^١٢
**الجواب النهائي:** تبسيط العبارة (ص^٤)^٣ هو ص^١٢.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما الصيغة الرياضية لقاعدة قوة القوة لأي عدد حقيقي أ وأي عددين صحيحين م، ن؟

أ) أ^م × أ^ن = أ^(م + ن)
ب) (أ^م)^ن = أ^(م × ن)
ج) أ^م ÷ أ^ن = أ^(م - ن)
د) أ^م + أ^ن = أ^(م × ن)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (أ^م)^ن = أ^(م × ن)

الشرح: تمثل هذه الصيغة قاعدة قوة القوة، حيث يتم ضرب الأسس (م ون) معًا عندما تكون القوة مرفوعة لقوة أخرى.

تلميح: فكّر في كيفية تمثيل تكرار القوة باستخدام الضرب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند إيجاد قوة القوة، ما العملية التي نُجريها على الأسس؟

أ) نجمع الأسس.
ب) نطرح الأسس.
ج) نقسم الأسس.
د) نضرب الأسس.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: نضرب الأسس.

الشرح: تُعرّف قاعدة قوة القوة بأنه لتبسيط عبارة مرفوعة لقوتين (مثل (أ^م)^ن)، فإننا نضرب الأسين (م ون) معًا.

تلميح: تذكّر أن قوة القوة تعني تكرار ضرب القوة نفسها عدة مرات.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

لضرب قوتين لهما الأساس نفسه، ما العملية التي نُجريها على أسيهما؟

أ) تُجمع أسسهما.
ب) تُضرب أسسهما.
ج) تُطرح أسسهما.
د) تُقسم أسسهما.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: تُجمع أسسهما.

الشرح: وفقًا لقاعدة ضرب القوى، إذا كان الأساس واحدًا في عمليتي ضرب، فإننا نجمع الأسس للحصول على الأس الكلي للناتج.

تلميح: فكّر في خاصية الضرب المتكرر للقوى ذات الأساس المشترك.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الصيغة الرياضية لقاعدة ضرب القوى لأي عدد حقيقي أ وأي عددين صحيحين م، ن؟

أ) (أ^م)^ن = أ^(م × ن)
ب) أ^م ÷ أ^ن = أ^(م - ن)
ج) أ^م + أ^ن = أ^(م + ن)
د) أ^م × أ^ن = أ^(م + ن)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أ^م × أ^ن = أ^(م + ن)

الشرح: تمثل هذه الصيغة قاعدة ضرب القوى، حيث يتم جمع الأسس (م ون) عندما يكون الأساس (أ) هو نفسه في كلتا القوتين المضروبتين.

تلميح: تذكّر أن الأساس يجب أن يكون واحدًا في عمليتي الضرب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما تبسيط العبارة (٤ س^٦) (-٦ ر^٥ س^٢)؟

أ) -٢ ر^٥ س^٨
ب) -٢٤ ر^٥ س^١٢
ج) ٢٤ ر^٥ س^٨
د) -٢٤ ر^٥ س^٨

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: -٢٤ ر^٥ س^٨

الشرح: 1. اضرب المعاملات: ٤ × (-٦) = -٢٤. 2. اجمع أسس س: س^٦ × س^٢ = س^(٦+٢) = س^٨. 3. ر^٥ تبقى كما هي. 4. الناتج: -٢٤ ر^٥ س^٨.

تلميح: اضرب المعاملات العددية أولاً، ثم اجمع أسس المتغيرات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط