📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
تدرب وحل المسائل
مثال 1
نوع: QUESTION_HOMEWORK
مثال 1 حدد إذا كانت كل من العبارات الآتية وحيدة حد، اكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك:
المثالان 2، 3
نوع: QUESTION_HOMEWORK
المثالان 2، 3 بسّط كل عبارة مما يأتي:
مثال 4
نوع: QUESTION_HOMEWORK
مثال 4 هندسة: عبّر عن مساحة كل من المثلثين الآتيين على صورة وحيدة حد:
مثال 5
نوع: QUESTION_HOMEWORK
مثال 5 بسّط كل عبارة مما يأتي:
هندسة
نوع: QUESTION_HOMEWORK
هندسة: عبّر عن حجم كل مجسم مما يأتي على صورة وحيدة حد:
نوع: METADATA
16 الفصل 6: كثيرات الحدود
🔍 عناصر مرئية
رسم توضيحي لمثلث بقاعدة وارتفاع محددين بمتغيرات جبرية.
رسم توضيحي لمثلث قائم الزاوية بقاعدة وارتفاع محددين بمتغيرات جبرية.
رسم توضيحي لأسطوانة دائرية قائمة بنصف قطر وارتفاع محددين بمتغيرات جبرية.
رسم توضيحي لمنشور مستطيلي (متوازي مستطيلات) بأبعاد محددة بمتغيرات جبرية.
رسم توضيحي لمنشور مستطيلي بأبعاد محددة بمتغيرات جبرية.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 20 بطاقة لهذه الصفحة
بسّط العبارة `[(-2س ص^2)^2]^3`.
- أ) 64س^6 ص^12
- ب) -64س^6 ص^12
- ج) 64س^5 ص^7
- د) 12س^6 ص^12
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: 64س^6 ص^12
الشرح: 1. نطبق قاعدة قوة القوة: `[(-2س ص^2)^2]^3 = (-2س ص^2)^(2×3) = (-2س ص^2)^6`.
2. نطبق قاعدة قوة حاصل الضرب: `(-2س ص^2)^6 = (-2)^6 * س^6 * (ص^2)^6`.
3. نحسب القوى: `(-2)^6 = 64` (الأس زوجي، فالناتج موجب).
4. نطبق قوة القوة مرة أخرى: `(ص^2)^6 = ص^(2×6) = ص^12`.
5. الناتج النهائي: `64س^6 ص^12`.
تلميح: تذكر أن `(أ^م)^ن = أ^(م×ن)` وأن `(أب)^ن = أ^ن ب^ن`. انتبه لإشارة الأساس عند الرفع لقوة زوجية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
حدد إذا كانت العبارة `6م + 3ن` وحيدة حد، واكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك.
- أ) نعم، لأنها تحتوي على متغيرات.
- ب) لا، لأنها تحتوي على عملية جمع.
- ج) نعم، لأن كل جزء منها يعتبر وحيدة حد.
- د) لا، لأن المتغيرات مختلفة.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لا
الشرح: 1. وحيدة الحد هي عدد أو متغير أو حاصل ضرب عدد ومتغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة.
2. العبارة `6م + 3ن` هي مجموع حدين (`6م` و `3ن`)، وليست حاصل ضرب.
3. لذلك، هي ليست وحيدة حد.
تلميح: ما هي العمليات المسموح بها داخل وحيدة الحد؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
بسّط العبارة `(ص^6 ع^9)(6ص^4 ع^4)`.
- أ) 6ص^10 ع^13
- ب) 6ص^24 ع^36
- ج) 6ص^2 ع^5
- د) ص^10 ع^13
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: 6ص^10 ع^13
الشرح: 1. اضرب المعاملات: `1 × 6 = 6`.
2. اضرب القوى ذات الأساس المتشابه بجمع الأسس: `ص^6 × ص^4 = ص^(6+4) = ص^10`.
3. اضرب القوى ذات الأساس المتشابه بجمع الأسس: `ع^9 × ع^4 = ع^(9+4) = ع^13`.
4. الناتج النهائي: `6ص^10 ع^13`.
تلميح: عند ضرب وحيدات الحد، اضرب المعاملات واجمع أسس المتغيرات المتشابهة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسّط العبارة `(14ن ج^2 هـ^2)(-3ن^4 ج^2 هـ^2)`.
- أ) -42ن^5 ج^4 هـ^4
- ب) 42ن^5 ج^4 هـ^4
- ج) -42ن^4 ج^2 هـ^2
- د) -11ن^5 ج^4 هـ^4
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: -42ن^5 ج^4 هـ^4
الشرح: 1. اضرب المعاملات: `14 × (-3) = -42`.
2. اجمع أسس المتغير `ن`: `ن^1 × ن^4 = ن^(1+4) = ن^5`.
3. اجمع أسس المتغير `ج`: `ج^2 × ج^2 = ج^(2+2) = ج^4`.
4. اجمع أسس المتغير `هـ`: `هـ^2 × هـ^2 = هـ^(2+2) = هـ^4`.
5. الناتج النهائي: `-42ن^5 ج^4 هـ^4`.
تلميح: تذكر قواعد ضرب الأعداد الصحيحة (خاصة الإشارات) وقواعد جمع الأسس للمتغيرات المتشابهة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسّط العبارة `(ل^5 ك^7)^4`.
- أ) ل^9 ك^11
- ب) ل^20 ك^28
- ج) ل^125 ك^2401
- د) ل^5 ك^7
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: ل^20 ك^28
الشرح: 1. لتطبيق قوة على قوة، اضرب الأسس: `(ل^5)^4 = ل^(5×4) = ل^20`.
2. طبق نفس القاعدة على المتغير الثاني: `(ك^7)^4 = ك^(7×4) = ك^28`.
3. الناتج النهائي: `ل^20 ك^28`.
تلميح: تذكر قاعدة "قوة القوة": `(أ^م)^ن = أ^(م×ن)`.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
حدد إذا كانت العبارة "2ج + 2" وحيدة حد، واكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك.
- أ) نعم، لأنها تحتوي على متغير.
- ب) لا، لأنها تتكون من مجموع حدين.
- ج) نعم، لأن الأسس فيها أعداد صحيحة غير سالبة.
- د) لا، لأن الثابت لا يمثل وحيدة حد.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لا، لأنها تتكون من مجموع حدين.
الشرح: وحيدة الحد هي ثابت أو متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة، أو حاصل ضربهم. العبارة "2ج + 2" هي مجموع حدين "2ج" و "2"، وليست وحيدة حد.
تلميح: تذكر أن وحيدة الحد لا تتضمن عمليات جمع أو طرح بين المتغيرات أو الثوابت.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
حدد إذا كانت العبارة "-2ج / 4هـ" وحيدة حد، واكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك.
- أ) نعم، لأنها حاصل قسمة عددين.
- ب) لا، لأن المتغير "هـ" يقع في المقام.
- ج) نعم، لأنه لا يوجد أس سالب واضح.
- د) لا، لأنها تتكون من أكثر من متغير.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: لا، لأن المتغير "هـ" يقع في المقام.
الشرح: وحيدة الحد لا يمكن أن تحتوي على متغيرات في المقام. وجود المتغير "هـ" في المقام يعني أن له أساً سالباً عند كتابته في البسط (-2ج * 4هـ^-1)، وهذا لا يجعلها وحيدة حد.
تلميح: تذكر أن الأسس في وحيدة الحد يجب أن تكون أعداداً صحيحة غير سالبة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
بسّط العبارة `(ب^2 ر^5)^4(-7ب^3 ر^4)^2(6ب ر^3)`.
- أ) 294ب^15 ر^31
- ب) 294ب^13 ر^31
- ج) -294ب^15 ر^31
- د) 42ب^15 ر^31
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: 294ب^15 ر^31
الشرح: 1. نطبق قوة القوة: `(ب^2 ر^5)^4 = ب^8 ر^20`.
2. نطبق قوة حاصل الضرب: `(-7ب^3 ر^4)^2 = 49ب^6 ر^8`.
3. الحد الأخير هو `6ب ر^3`.
4. نضرب المعاملات: `1 × 49 × 6 = 294`.
5. نجمع أسس المتغير `ب`: `ب^(8+6+1) = ب^15`.
6. نجمع أسس المتغير `ر`: `ر^(20+8+3) = ر^31`.
7. الناتج النهائي: `294ب^15 ر^31`.
تلميح: تذكر قواعد القوى: `(أ^م)^ن = أ^(م×ن)`، `أ^م × أ^ن = أ^(م+ن)`، وانتبه لإشارة المعامل عند الرفع لقوة زوجية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسّط العبارة `(4/7 م)^2(49م)(17ب)(1/34 ب^5)`.
- أ) 16م^3 ب^6
- ب) 8م^2 ب^6
- ج) 4م^3 ب^6
- د) 8م^3 ب^6
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: 8م^3 ب^6
الشرح: 1. نطبق قوة حاصل الضرب: `(4/7 م)^2 = (4/7)^2 * م^2 = (16/49) م^2`.
2. نجمع جميع الأجزاء: `(16/49) م^2 * (49م) * (17ب) * (1/34 ب^5)`.
3. نضرب المعاملات العددية: `(16/49) × 49 × 17 × (1/34) = 16 × (1/2) = 8`.
4. نجمع أسس المتغير `م`: `م^2 × م^1 = م^(2+1) = م^3`.
5. نجمع أسس المتغير `ب`: `ب^1 × ب^5 = ب^(1+5) = ب^6`.
6. الناتج النهائي: `8م^3 ب^6`.
تلميح: بسّط كل جزء على حدة ثم اضرب المعاملات واجمع أسس المتغيرات المتشابهة. تذكر تبسيط الكسور.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
حدد إذا كانت العبارة "122" وحيدة حد، واكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك.
- أ) لا، لأنها لا تحتوي على متغير.
- ب) نعم، لأنها عدد حقيقي (ثابت).
- ج) لا، لأنها عدد كبير.
- د) نعم، لأنها عدد صحيح.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: نعم، لأنها عدد حقيقي (ثابت).
الشرح: ١. وحيدة الحد هي عدد حقيقي، أو متغير، أو حاصل ضرب عدد حقيقي في متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة.
٢. العدد 122 هو عدد حقيقي، وبالتالي يعتبر وحيدة حد.
تلميح: تذكر تعريف وحيدة الحد، وهل يشمل الأعداد الثابتة؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
حدد إذا كانت العبارة "5ك / 10" وحيدة حد، واكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك.
- أ) لا، لأنها عبارة عن كسر.
- ب) لا، لأن القسمة غير مسموح بها في وحيدات الحد.
- ج) نعم، لأنها تبسط إلى 0.5ك وهي حاصل ضرب عدد حقيقي في متغير بأس صحيح غير سالب.
- د) نعم، لأنها تحتوي على متغير.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: نعم، لأنها تبسط إلى 0.5ك وهي حاصل ضرب عدد حقيقي في متغير بأس صحيح غير سالب.
الشرح: ١. العبارة 5ك / 10 يمكن تبسيطها بقسمة المعاملات إلى 0.5ك.
٢. 0.5ك هي حاصل ضرب عدد حقيقي (0.5) في متغير (ك) مرفوع للأس 1 (الذي هو عدد صحيح غير سالب).
٣. لذلك، 5ك / 10 هي وحيدة حد.
تلميح: هل يمكن تبسيط العبارة إلى شكل وحيدة الحد؟
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
بسّط العبارة `(ك^2)(ك^2)(ك^4)`.
- أ) ك^16
- ب) 3ك^8
- ج) ك^8
- د) ك^6
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: ك^8
الشرح: ١. لتّبسيط العبارة، نجمع أسس المتغير ك، لأن الأساسات متطابقة.
٢. الأسس هي 2، 2، و 4.
٣. مجموع الأسس = 2 + 2 + 4 = 8.
٤. لذا، العبارة المبسطة هي ك^8.
تلميح: تذكر قاعدة ضرب القوى: عند ضرب القوى التي لها الأساس نفسه، اجمع الأسس.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
بسّط العبارة `[(2^2)^2]^2`.
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: 256
الشرح: ١. نبدأ من الداخل: (2^2)^2 = 2^(2×2) = 2^4.
٢. ثم نطبق القاعدة مرة أخرى على الناتج: (2^4)^2 = 2^(4×2) = 2^8.
٣. نحسب قيمة 2^8 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256.
تلميح: تذكر قاعدة قوة القوة: (أ^م)^ن = أ^(م×ن).
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسّط العبارة `(3^2)^4(3^4)^3`.
- أ) 3^96
- ب) 3^20
- ج) 9^20
- د) 3^14
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 3^20
الشرح: ١. بسّط الجزء الأول: (3^2)^4 = 3^(2×4) = 3^8.
٢. بسّط الجزء الثاني: (3^4)^3 = 3^(4×3) = 3^12.
٣. اضرب الناتجين: 3^8 × 3^12 = 3^(8+12) = 3^20.
تلميح: استخدم قاعدة قوة القوة أولاً، ثم قاعدة ضرب القوى.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
حدد إذا كانت العبارة `4^3` وحيدة حد، واكتب "نعم" أو "لا"، وفسر إجابتك.
- أ) نعم، لأنها عدد ثابت.
- ب) لا، لأنها تتكون من عدد وأس.
- ج) لا، لأنها ليست متغيراً.
- د) نعم، لأنها تحتوي على عملية رفع لقوة.
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: نعم
الشرح: 1. `4^3` تعني 4 مضروبة في نفسها 3 مرات، أي 4 × 4 × 4 = 64.
2. بما أن 64 هو ثابت عددي، فهو يعتبر وحيدة حد.
تلميح: تذكر تعريف وحيدة الحد، وهل الثوابت العددية تقع ضمن هذا التعريف.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
بسّط العبارة (ج^3)^2(-3ج^2)^2.
- أ) -9ج^10
- ب) 9ج^10
- ج) 9ج^24
- د) 9ج^8
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 9ج^10
الشرح: 1. بسّط (ج^3)^2 = ج^(3×2) = ج^6.
2. بسّط (-3ج^2)^2 = (-3)^2 × (ج^2)^2 = 9ج^(2×2) = 9ج^4.
3. اضرب الناتجين: ج^6 × 9ج^4 = 9ج^(6+4) = 9ج^10.
تلميح: تذكر قاعدة رفع القوة لقوة: (أ^م)^ن = أ^(م×ن)، وقاعدة ضرب وحيدات الحد بجمع الأسس للمتغيرات المتشابهة. انتبه لإشارة الأساس عند رفعه لقوة زوجية.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسّط العبارة (2ج هـ^4)^3[(-2ج هـ^4)^3]^2.
- أ) -512ج^9 هـ^36
- ب) 512ج^18 هـ^36
- ج) 512ج^9 هـ^36
- د) 512ج^9 هـ^24
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: 512ج^9 هـ^36
الشرح: 1. بسّط (2ج هـ^4)^3 = 2^3 ج^3 (هـ^4)^3 = 8ج^3 هـ^12.
2. بسّط [(-2ج هـ^4)^3]^2: أولاً ارفع القوة الداخلية بالخارجية: (-2ج هـ^4)^(3×2) = (-2ج هـ^4)^6.
3. ثم بسّط (-2ج هـ^4)^6 = (-2)^6 ج^6 (هـ^4)^6 = 64ج^6 هـ^24.
4. اضرب الناتجين: (8ج^3 هـ^12) × (64ج^6 هـ^24) = (8×64) ج^(3+6) هـ^(12+24) = 512ج^9 هـ^36.
تلميح: طبق قاعدة رفع القوة لأسّ، ثم قاعدة ضرب وحيدات الحد. انتبه جيداً لإشارة الأساس عند رفعه لقوة زوجية، فالسالب يصبح موجباً.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
بسّط العبارة (5ك^2 م)^3[(4ك م^4)^2]^2.
- أ) 2000ك^8 م^11
- ب) 32000ك^10 م^48
- ج) 32000ك^24 م^19
- د) 32000ك^10 م^19
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: 32000ك^10 م^19
الشرح: 1. بسّط (5ك^2 م)^3 = 5^3 (ك^2)^3 م^3 = 125ك^6 م^3.
2. بسّط [(4ك م^4)^2]^2: ارفع القوة الداخلية بالخارجية: (4ك م^4)^(2×2) = (4ك م^4)^4.
3. ثم بسّط (4ك م^4)^4 = 4^4 ك^4 (م^4)^4 = 256ك^4 م^16.
4. اضرب الناتجين: (125ك^6 م^3) × (256ك^4 م^16) = (125×256) ك^(6+4) م^(3+16) = 32000ك^10 م^19.
تلميح: ابدأ بتبسيط كل حد على حدة باستخدام قوانين الأسس (خاصة رفع القوة لقوة)، ثم اجمع أسس المتغيرات المتشابهة واضرب المعاملات.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
بسّط العبارة (15أ^2 ب^3 ج^4)^2(3أ^6 ب^4 ج^2).
- أ) 675أ^10 ب^10 ج^10
- ب) 675أ^24 ب^24 ج^16
- ج) 45أ^10 ب^10 ج^10
- د) 675أ^24 ب^10 ج^10
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: 675أ^10 ب^10 ج^10
الشرح: 1. بسّط (15أ^2 ب^3 ج^4)^2: 15^2 (أ^2)^2 (ب^3)^2 (ج^4)^2 = 225أ^4 ب^6 ج^8.
2. اضرب الناتج في (3أ^6 ب^4 ج^2):
- اضرب المعاملات: 225 × 3 = 675.
- اجمع أسس أ: أ^(4+6) = أ^10.
- اجمع أسس ب: ب^(6+4) = ب^10.
- اجمع أسس ج: ج^(8+2) = ج^10.
3. الناتج هو 675أ^10 ب^10 ج^10.
تلميح: وزّع الأس 2 على جميع عوامل الحد الأول، ثم اضرب المعاملات واجمع أسس المتغيرات المتشابهة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
بسّط العبارة (3أ ب^2 ج)(-2أ ب^2)^4(4ج^2)^3(أ ب^2 ج^5)^2(3أ^2 ب^2 ج^4)^3.
- أ) -82944أ^13 ب^20 ج^29
- ب) 82944أ^13 ب^20 ج^29
- ج) 82944أ^13 ب^20 ج^24
- د) 27648أ^13 ب^20 ج^29
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: 82944أ^13 ب^20 ج^29
الشرح: 1. بسّط كل حد:
- (3أ ب^2 ج) = 3أ^1 ب^2 ج^1
- (-2أ ب^2)^4 = 16أ^4 ب^8
- (4ج^2)^3 = 64ج^6
- (أ ب^2 ج^5)^2 = أ^2 ب^4 ج^10
- (3أ^2 ب^2 ج^4)^3 = 27أ^6 ب^6 ج^12
2. اضرب المعاملات: 3 × 16 × 64 × 1 × 27 = 82944.
3. اجمع أسس أ: 1+4+2+6 = 13.
4. اجمع أسس ب: 2+8+4+6 = 20.
5. اجمع أسس ج: 1+6+10+12 = 29.
6. الناتج: 82944أ^13 ب^20 ج^29.
تلميح: هذه مسألة طويلة تتطلب الدقة. بسّط كل وحيدة حد على حدة أولاً بتطبيق قوانين الأسس، ثم اضرب جميع المعاملات واجمع أسس المتغيرات المتشابهة (أ، ب، ج) بحذر.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب