فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تبسيط العبارات الجذرية

المفاهيم الأساسية

العبارة الجذرية: مصطلح ورد في قائمة المفردات دون تعريف صريح في النص المقدم.

إنطاق المقام: مصطلح ورد في قائمة المفردات دون تعريف صريح في النص المقدم.

المرافق: مصطلح ورد في قائمة المفردات دون تعريف صريح في النص المقدم.

خريطة المفاهيم

```markmap

تبسيط العبارات الجذرية

الأهداف

استعمال خاصية ضرب الجذور التربيعية

استعمال خاصية قسمة الجذور التربيعية

شروط أبسط صورة للعبارة الجذرية

لا يكون أي من عوامله مربعاً كاملاً عدا ١

لا يتضمن كسوراً

لا يظهر أي جذر في مقام الكسر

خاصية ضرب الجذور التربيعية

الصيغة الرمزية

#### \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} حيث a \ge 0, b \ge 0

التعبير اللفظي

#### الجذر التربيعي لعددين حقيقيين غير سالبين يساوي حاصل ضرب جذريهما التربيعيين

تطبيق واقعي

حساب السرعة المدارية للأقمار الاصطناعية

#### ع = 1410 \times 10^4 \sqrt{\frac{1}{نق}}

```

نقاط مهمة

• العبارة الجذرية تكون في أبسط صورة عند استيفاء الشروط الثلاثة المذكورة.
• خاصية الضرب \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} هي الأداة الأساسية للتبسيط.
• خطوات تبسيط عبارة مثل \sqrt{80} تشمل تحليل العدد إلى عوامله الأولية، ثم تطبيق خاصية الضرب، ثم تبسيط الجذور التربيعية للمربعات الكاملة.
• هناك علاقة رياضية تربط سرعة القمر الاصطناعي (ع) بنصف قطر مداره (نق).

---

حل مثال

مثال ١: بسط العبارة \sqrt{80}

تحليل العدد إلى عوامله الأولية: 80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = (4 \times 4) \times 5

تطبيق خاصية ضرب الجذور: \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5}

التبسيط: \sqrt{16} = 4 ، إذن \sqrt{80} = 4\sqrt{5}

---

تحقق من فهمك

أوجد ناتج كل مما يأتي في أبسط صورة:

(أ) \sqrt{54}

التحليل: 54 = 9 \times 6 = 3^2 \times 6

التبسيط: \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = \sqrt{9} \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}

(ب) \sqrt{48}

التحليل: 48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3

التبسيط: \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

١-٩ تبسيط العبارات الجذرية

درست إيجاد الجذور التربيعية.

• أستعمل خاصية ضرب الجذور التربيعية في تبسيط العبارات الجذرية. • أستعمل خاصية قسمة الجذور التربيعية في تبسيط العبارات الجذرية.

العبارة الجذرية إنطاق المقام المرافق

تؤدي الأقمار الاصطناعية العديد من المهام، منها: دراسة الكون والتنبؤ بالطقس، والاتصالات بأنواعها، وتيسير الملاحة البحرية والجوية... إلى غير ذلك، حيث تدور هذه الأقمار بسرعات محددة في مدارات خاصة بها حول الأرض، يمكن حسابها بالعلاقة: ع = √(٤ × ١٠^١٤ / نق) حيث تمثل (ع) السرعة المدارية للقمر الاصطناعي بوحدة المتر/ ثانية، (نق) نصف قطر المدار ويساوي بعد القمر عن مركز الأرض. ويُذكر أن المملكة العربية السعودية أطلقت منظومة أقمار اصطناعية تجارية صغيرة يصل عددها إلى ٢٤ قمرًا.

تتضمن العبارة الجذرية جذرًا، كالجذر التربيعي مثلاً، وتكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا تحققت الشروط التالية في العبارة التي تحت الجذر: • لا يكون أي من عوامله مربعًا كاملاً عدا ١. • لا يتضمن كسورًا. • لا يظهر أي جذر في مقام الكسر. ويمكنك استعمال الخاصية الآتية لتبسيط الجذور التربيعية.

التعبير اللفظي: الجذر التربيعي للمقدار أ ب لأي عددين حقيقيين غير سالبين أ، ب، الجذر التربيعي للمقدار أ ب يساوي الجذر التربيعي للمقدار أ مضروبًا في الجذر التربيعي للمقدار ب. الرموز: √أب = √أ × √ب ، إذا كانت أ ≥ ٠ ، ب ≥ ٠. أمثلة: √٤ × ٩ = √٤ × √٩ = ٢ × ٣ = ٦

بسّط العبارة: √٨٠. الحل: √٨٠ = √(٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٥) (حلّل ٨٠ إلى عوامله الأولية) = √(٢^٢) × √(٢^٢) × √٥ (خاصية ضرب الجذور) = ٢ × ٢ × √٥ = ٤√٥ (بسّط)

تحقق من فهمك

١٤٢ الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ١-٩ تبسيط العبارات الجذرية --- SECTION: فيما سبق --- درست إيجاد الجذور التربيعية. --- SECTION: والآن --- • أستعمل خاصية ضرب الجذور التربيعية في تبسيط العبارات الجذرية. • أستعمل خاصية قسمة الجذور التربيعية في تبسيط العبارات الجذرية. --- SECTION: المفردات --- العبارة الجذرية إنطاق المقام المرافق --- SECTION: لماذا؟ --- تؤدي الأقمار الاصطناعية العديد من المهام، منها: دراسة الكون والتنبؤ بالطقس، والاتصالات بأنواعها، وتيسير الملاحة البحرية والجوية... إلى غير ذلك، حيث تدور هذه الأقمار بسرعات محددة في مدارات خاصة بها حول الأرض، يمكن حسابها بالعلاقة: ع = √(٤ × ١٠^١٤ / نق) حيث تمثل (ع) السرعة المدارية للقمر الاصطناعي بوحدة المتر/ ثانية، (نق) نصف قطر المدار ويساوي بعد القمر عن مركز الأرض. ويُذكر أن المملكة العربية السعودية أطلقت منظومة أقمار اصطناعية تجارية صغيرة يصل عددها إلى ٢٤ قمرًا. --- SECTION: خاصية ضرب الجذور التربيعية --- تتضمن العبارة الجذرية جذرًا، كالجذر التربيعي مثلاً، وتكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا تحققت الشروط التالية في العبارة التي تحت الجذر: • لا يكون أي من عوامله مربعًا كاملاً عدا ١. • لا يتضمن كسورًا. • لا يظهر أي جذر في مقام الكسر. ويمكنك استعمال الخاصية الآتية لتبسيط الجذور التربيعية. --- SECTION: مفهوم أساسي: خاصية ضرب الجذور التربيعية --- التعبير اللفظي: الجذر التربيعي للمقدار أ ب لأي عددين حقيقيين غير سالبين أ، ب، الجذر التربيعي للمقدار أ ب يساوي الجذر التربيعي للمقدار أ مضروبًا في الجذر التربيعي للمقدار ب. الرموز: √أب = √أ × √ب ، إذا كانت أ ≥ ٠ ، ب ≥ ٠. أمثلة: √٤ × ٩ = √٤ × √٩ = ٢ × ٣ = ٦ --- SECTION: مثال ١: تبسيط الجذور التربيعية --- بسّط العبارة: √٨٠. الحل: √٨٠ = √(٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٥) (حلّل ٨٠ إلى عوامله الأولية) = √(٢^٢) × √(٢^٢) × √٥ (خاصية ضرب الجذور) = ٢ × ٢ × √٥ = ٤√٥ (بسّط) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك ١أ. √٥٤ ١ب. √١٨٠ ١٤٢ الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link to ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a satellite in space with solar panels deployed, orbiting Earth. **FIGURE**: مفهوم أساسي: خاصية ضرب الجذور التربيعية Description: A blue-bordered box containing the verbal expression, symbolic representation, and numerical examples of the product property of square roots. **FIGURE**: مثال ١: تبسيط الجذور التربيعية Description: A green-header box showing the step-by-step simplification of the square root of 80 using prime factorization and the product property.