مثال ٢ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تبسيط العبارات الجذرية (ضرب وقسمة الجذور)

المفاهيم الأساسية

خاصية قسمة الجذور التربيعية: لأي عددين حقيقيين أ، ب، حيث أ ≥ صفر، ب > ٠، الجذر التربيعي للمقدار أ/ب يساوي الجذر التربيعي للبسط أ مقسومًا على الجذر التربيعي للمقام ب.

الرموز: \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

خريطة المفاهيم

```markmap

تبسيط العبارات الجذرية

الأهداف

استعمال خاصية ضرب الجذور التربيعية

استعمال خاصية قسمة الجذور التربيعية

شروط أبسط صورة للعبارة الجذرية

لا يكون أي من عوامله مربعاً كاملاً عدا ١

لا يتضمن كسوراً

لا يظهر أي جذر في مقام الكسر

خاصية ضرب الجذور التربيعية

الصيغة الرمزية

#### \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} حيث a \ge 0, b \ge 0

التعبير اللفظي

#### الجذر التربيعي لعددين حقيقيين غير سالبين يساوي حاصل ضرب جذريهما التربيعيين

تبسيط الجذور التربيعية لمتغيرات

قاعدة القيمة المطلقة

#### \sqrt{x^2} = |x|

#### \sqrt{x^4} = |x|

#### \sqrt{x^6} = |x|

الشرط

#### إذا كان ما تحت الجذر متغيرًا ذا أس زوجي، وناتج التبسيط ذا أس فردي، يجب استعمال القيمة المطلقة.

خاصية قسمة الجذور التربيعية

الصيغة الرمزية

#### \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} حيث a \ge 0, b > 0

التعبير اللفظي

#### الجذر التربيعي للمقدار أ/ب يساوي الجذر التربيعي للبسط أ مقسومًا على الجذر التربيعي للمقام ب.

تطبيق واقعي

حساب السرعة المدارية للأقمار الاصطناعية

#### ع = 1410 \times 10^4 \sqrt{\frac{1}{نق}}

```

نقاط مهمة

• عند تبسيط الجذور التي تحتوي على متغيرات، يجب الانتباه إلى استخدام القيمة المطلقة (|س|) إذا نتج عن التبسيط أس فردي.
• مثال: \sqrt{x^2} = |x| ، لأن التعويض بـ س = -٣ يعطي \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 وليس -٣.
• خاصية القسمة تنطبق فقط عندما يكون البسط (أ) أكبر من أو يساوي الصفر، والمقام (ب) أكبر من الصفر.
• تقرأ العبارة \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} : "الجذر التربيعي لـ أ على ب"، أو "الجذر التربيعي للمقدار أ على ب".

---

حل مثال

مثال ٢: بسط العبارة: ٧√ × ٢√١٤

الحل:

١. نطبق خاصية ضرب الجذور: \sqrt{7} \times \sqrt{14} = \sqrt{7 \times 14} = \sqrt{98}

٢. نبسط العبارة: \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}

(ملاحظة: النص الأصلي يظهر خطوات مختصرة تؤدي إلى نفس النتيجة).

مثال ٣: بسط العبارة: ٥√ك ٤ص ٣س ٩٠√

الحل:

١. نحلل العدد ٩٠ إلى عوامله الأولية: 90 = 2 \times 3^2 \times 5

٢. نطبق خاصية ضرب الجذور على جميع العوامل والمتغيرات:

\sqrt{90 s^3 t^4 k^5} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 5 \times s^3 \times t^4 \times k^5}

٣. نبسط كل مربع كامل:

= \sqrt{2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{s^2 \cdot s} \times \sqrt{t^4} \times \sqrt{k^4 \cdot k}

٤. نأخذ الجذر التربيعي للمربعات الكاملة مع استخدام القيمة المطلقة حيث ينطبق:

= \sqrt{2} \times 3 \times \sqrt{5} \times |s| \sqrt{s} \times t^2 \times k^2 \sqrt{k}

٥. نرتب الحدود:

= 3 |s| t^2 k^2 \times \sqrt{2 \times 5 \times s \times k}

٦. النتيجة النهائية: 3 |s| t^2 k^2 \sqrt{10 s k}

(ملاحظة: النص الأصلي يظهر نتيجة مكافئة: 3|s| t^2 \sqrt{10 s k^5} ).

---

تحقق من فهمك

١٢) بسط العبارة: ٥√١٠ × ٢√

الحل:

١. نطبق خاصية ضرب الجذور: \sqrt{10} \times \sqrt{5} \times \sqrt{2} = \sqrt{10 \times 5 \times 2} = \sqrt{100}

٢. نبسط الناتج: \sqrt{100} = 10

الإجابة النهائية: ١٠

١٣) بسط العبارة: ٥√ك ٦ص ٥٦√

الحل:

١. نحلل العدد ٥٦ إلى عوامله الأولية: 56 = 2^3 \times 7 = 2^2 \times 2 \times 7

٢. نطبق خاصية ضرب الجذور:

\sqrt{56 p^6 k^5} = \sqrt{2^2 \times 2 \times 7 \times p^6 \times k^4 \times k}

٣. نبسط كل مربع كامل:

= \sqrt{2^2} \times \sqrt{2 \times 7} \times \sqrt{p^6} \times \sqrt{k^4} \times \sqrt{k}

٤. النتيجة: = 2 \times \sqrt{14} \times p^3 \times k^2 \times \sqrt{k}

٥. نرتب الحدود: = 2 p^3 k^2 \sqrt{14 k}

الإجابة النهائية: 2 p^3 k^2 \sqrt{14k}

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

مثال ٢ ضرب الجذور التربيعية بسط العبارة: √٢ × √١٤ √٢ × √١٤ = √٢ × ١٤ (خاصية ضرب الجذور) = √٢ × ٢ × ٧ = √٢^٢ × ٧ = √٢^٢ × √٧ = ٢√٧ (خاصية ضرب الجذور)

تحقق من فهمك

٢أ) ١٠√٥ × ٧√١٠

٢ب) √٦ × ٨√٧

عند النظر إلى العبارة √س^٢ قد يبدو لك أن س = √س^٢، لذا عند إيجادك الجذر التربيعي الرئيس لعبارة تحتوي متغيرات، عليك التأكد من أن النتيجة ليست سالبة. فمثلاً، افرض أن س = -٣. √س^٢ = |س| √(-٣)^٢ = |-٣| (عوض عن س بـ -٣) √٩ = |-٣| ((-٣)^٢ = ٩) ٣ = ٣ (√٩ = ٣) ٣ ≠ -٣

عند تبسيط العبارات الجذرية، إذا كان ما تحت الجذر التربيعي متغيراً ذا أس زوجي، وناتج تبسيطه ذا أس فردي، يجب استعمال القيمة المطلقة والأمثلة التالية توضح ذلك. √س^٢ = |س| √س^٣ = |س|√س √س^٤ = س^٢ √س^٦ = |س^٣|

مثال ٣ تبسيط الجذر التربيعي لمتغيرات بسط العبارة: √٩٠ س^٣ ص^٤ ك^٥ √٩٠ س^٣ ص^٤ ك^٥ = √٢ × ٣^٢ × ٥ × س^٢ × س × ص^٤ × ك^٤ × ك (حلل إلى العوامل الأولية) = √٢ × √٣^٢ × √٥ × √س^٢ × √س × √ص^٤ × √ك^٤ × √ك (خاصية ضرب الجذور) = √٢ × ٣ × √٥ × |س| × √س × ص^٢ × ك^٢ × √ك (بسط) = ٣ |س| ص^٢ ك^٢ √١٠ س ك (بسط)

تحقق من فهمك

٣أ) √٣٢ ر^٢ ك^٤ ت^٥

٣ب) ٣√٥٦ س ص^١٠ ك^٥

خاصية قسمة الجذور التربيعية: يمكنك استعمال خاصية قسمة الجذور التربيعية عند قسمة الجذور التربيعية وتبسيط العبارات الجذرية.

قراءة الرياضيات الكسور تحت الجذر تُقرأ العبارة √(أ/ب) : الجذر التربيعي لـ أ على ب، أو الجذر التربيعي للمقدار "أ على ب".

مفهوم أساسي: خاصية قسمة الجذور التربيعية التعبير اللفظي: لأي عددين حقيقيين أ، ب، حيث أ ≥ صفر، ب > ٠، الجذر التربيعي للمقدار أ/ب يساوي الجذر التربيعي للبسط أ مقسوماً على الجذر التربيعي للمقام ب. الرموز: √(أ/ب) = √أ / √ب

الدرس ٩-١: تبسيط العبارات الجذرية ١٤٣

--- SECTION: مثال ٢ --- مثال ٢ ضرب الجذور التربيعية بسط العبارة: √٢ × √١٤ √٢ × √١٤ = √٢ × ١٤ (خاصية ضرب الجذور) = √٢ × ٢ × ٧ = √٢^٢ × ٧ = √٢^٢ × √٧ = ٢√٧ (خاصية ضرب الجذور) تحقق من فهمك --- SECTION: ٢أ --- ٢أ) ١٠√٥ × ٧√١٠ --- SECTION: ٢ب --- ٢ب) √٦ × ٨√٧ عند النظر إلى العبارة √س^٢ قد يبدو لك أن س = √س^٢، لذا عند إيجادك الجذر التربيعي الرئيس لعبارة تحتوي متغيرات، عليك التأكد من أن النتيجة ليست سالبة. فمثلاً، افرض أن س = -٣. √س^٢ = |س| √(-٣)^٢ = |-٣| (عوض عن س بـ -٣) √٩ = |-٣| ((-٣)^٢ = ٩) ٣ = ٣ (√٩ = ٣) ٣ ≠ -٣ عند تبسيط العبارات الجذرية، إذا كان ما تحت الجذر التربيعي متغيراً ذا أس زوجي، وناتج تبسيطه ذا أس فردي، يجب استعمال القيمة المطلقة والأمثلة التالية توضح ذلك. √س^٢ = |س| √س^٣ = |س|√س √س^٤ = س^٢ √س^٦ = |س^٣| --- SECTION: مثال ٣ --- مثال ٣ تبسيط الجذر التربيعي لمتغيرات بسط العبارة: √٩٠ س^٣ ص^٤ ك^٥ √٩٠ س^٣ ص^٤ ك^٥ = √٢ × ٣^٢ × ٥ × س^٢ × س × ص^٤ × ك^٤ × ك (حلل إلى العوامل الأولية) = √٢ × √٣^٢ × √٥ × √س^٢ × √س × √ص^٤ × √ك^٤ × √ك (خاصية ضرب الجذور) = √٢ × ٣ × √٥ × |س| × √س × ص^٢ × ك^٢ × √ك (بسط) = ٣ |س| ص^٢ ك^٢ √١٠ س ك (بسط) تحقق من فهمك --- SECTION: ٣أ --- ٣أ) √٣٢ ر^٢ ك^٤ ت^٥ --- SECTION: ٣ب --- ٣ب) ٣√٥٦ س ص^١٠ ك^٥ خاصية قسمة الجذور التربيعية: يمكنك استعمال خاصية قسمة الجذور التربيعية عند قسمة الجذور التربيعية وتبسيط العبارات الجذرية. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- قراءة الرياضيات الكسور تحت الجذر تُقرأ العبارة √(أ/ب) : الجذر التربيعي لـ أ على ب، أو الجذر التربيعي للمقدار "أ على ب". --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي: خاصية قسمة الجذور التربيعية التعبير اللفظي: لأي عددين حقيقيين أ، ب، حيث أ ≥ صفر، ب > ٠، الجذر التربيعي للمقدار أ/ب يساوي الجذر التربيعي للبسط أ مقسوماً على الجذر التربيعي للمقام ب. الرموز: √(أ/ب) = √أ / √ب الدرس ٩-١: تبسيط العبارات الجذرية ١٤٣ --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: A blue-bordered box containing the verbal expression and symbolic representation of the division property of square roots. Table Structure: Headers: التعبير اللفظي | الرموز Rows: Row 1: لأي عددين حقيقيين أ، ب، حيث أ ≥ صفر، ب > ٠، الجذر التربيعي للمقدار أ/ب يساوي الجذر التربيعي للبسط أ مقسوماً على الجذر التربيعي للمقام ب. | √(أ/ب) = √أ / √ب Context: Defines the division property of square roots both in words and symbols.