مثال ٣ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ٣: استعمل المعلومات السابقة لكتابة معادلة تمثل الفرق (ف) بين مبيعات الهواتف المحمولة وآلات التصوير شهريًا ثم استعمل المعادلة للتنبؤ بالفرق في المبيعات الشهرية في ٢٤ شهرًا.

الإجابة: ف = هـ - ك = (٧ش + ١٣٧) - (٤ش + ٧٨) = ٣ش + ٥٩، الفرق في ٢٤ شهرًا = ٣(٢٤) + ٥٩ = ١٣١

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | التعبير الجبري | |--------|-------|----------------| | مبيعات الهواتف شهرياً | هـ | $7ش + 137$ | | مبيعات آلات التصوير شهرياً | ك | $4ش + 78$ | | الفرق في المبيعات | ف | ؟ | | عدد الأشهر | ش | 24 | **المطلوب:** 1. كتابة معادلة الفرق (ف). 2. حساب قيمة الفرق عند $ش = 24$.
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - **طرح كثيرات الحدود:** لإيجاد الفرق بين تعبيرين جبريين، نطرح الحدود المتشابهة.
3. **الخطوة 3: كتابة معادلة الفرق** معادلة الفرق هي: $ف = هـ - ك$ نعوض بالتعبيرين المعطيين: $ف = (7ش + 137) - (4ش + 78)$ **الخطوة 4: تبسيط المعادلة** 1. نوزع علامة الطرح على القوس الثاني: $ف = 7ش + 137 - 4ش - 78$ 2. نجمع الحدود المتشابهة (حدود $ش$ والحدود الثابتة): $ف = (7ش - 4ش) + (137 - 78)$ $ف = 3ش + 59$ > **الملاحظة:** معادلة الفرق الشهري هي **$ف = 3ش + 59$**.
4. **الخطوة 5: التنبؤ بالفرق بعد ٢٤ شهرًا** 1. نعوض بعدد الأشهور $ش = 24$ في معادلة الفرق: $ف = 3(24) + 59$ 2. نقوم بالعمليات الحسابية: $ف = 72 + 59$ $ف = 131$ **الإجابة النهائية:** - معادلة الفرق الشهري هي $ف = 3ش + 59$. - **يُتوقع أن يكون الفرق في المبيعات الشهرية بعد ٢٤ شهرًا هو ١٣١ وحدة.**

سؤال ١: (٦س٣ - ٤) + (-٢س٣ + ٩)

الإجابة: ٤س٣ + ٥

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العملية | التعبير | |----------|---------| | التعبير الأوّل | $6س^3 - 4$ | | التعبير الثاني | $-2س^3 + 9$ | | المطلوب | إيجاد ناتج الجمع $(6س^3 - 4) + (-2س^3 + 9)$ |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **جمع كثيرات الحدود:** نجمع **الحدود المتشابهة** (الحدود التي لها نفس المتغير ونفس الأس).
3. **الخطوة 3: إزالة الأقواس وجمع الحدود المتشابهة** 1. نظرًا لأن العملية جمع، يمكن إزالة الأقواس مباشرة: $(6س^3 - 4) + (-2س^3 + 9) = 6س^3 - 4 - 2س^3 + 9$ 2. نرتب الحدود المتشابهة معًا: $(6س^3 - 2س^3) + (-4 + 9)$ 3. نجري عمليات الجمع والطرح: $4س^3 + 5$ **الإجابة النهائية:** **ناتج جمع العبارتين هو $4س^3 + 5$.**

سؤال ٢: (ج٣ - ٢ج٢ + ٥ج + ٦) - (ج٢ + ٢ج)

الإجابة: ج٣ - ٣ج٢ + ٣ج + ٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العملية | التعبير | |----------|---------| | المطروح منه | $ج^3 - 2ج^2 + 5ج + 6$ | | المطروح | $ج^2 + 2ج$ | | المطلوب | إيجاد ناتج الطرح $(ج^3 - 2ج^2 + 5ج + 6) - (ج^2 + 2ج)$ |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **طرح كثيرات الحدود:** نوزع إشارة الطرح على كل حد داخل القوس الثاني، ثم نجمع الحدود المتشابهة.
3. **الخطوة 3: إزالة الأقواس وجمع الحدود المتشابهة** 1. نكتب العملية مع توزيع إشارة الطرح: $(ج^3 - 2ج^2 + 5ج + 6) - (ج^2 + 2ج) = ج^3 - 2ج^2 + 5ج + 6 - ج^2 - 2ج$ 2. نرتب الحدود المتشابهة معًا (حدود $ج^3$، حدود $ج^2$، حدود $ج$، الحدود الثابتة): $ج^3 + (-2ج^2 - ج^2) + (5ج - 2ج) + 6$ 3. نجري عمليات الجمع والطرح لكل مجموعة: $ج^3 + (-3ج^2) + (3ج) + 6$ **الإجابة النهائية:** **ناتج طرح العبارتين هو $ج^3 - 3ج^2 + 3ج + 6$.**

سؤال ٣: (٨ص - ٤ص٢) + (٣ص - ٩ص٢)

الإجابة: ١١ص - ١٣ص٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | التعبير الجبري | |--------|-------|----------------| | مبيعات الهواتف شهرياً | هـ | $7ش + 137$ | | مبيعات آلات التصوير شهرياً | ك | $4ش + 78$ | | الفرق في المبيعات | ف | ؟ | | عدد الأشهر | ش | 24 | **المطلوب:** 1. كتابة معادلة الفرق (ف). 2. حساب قيمة الفرق عند $ش = 24$.
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - **طرح كثيرات الحدود:** لإيجاد الفرق بين تعبيرين جبريين، نطرح الحدود المتشابهة.
3. **الخطوة 3: كتابة معادلة الفرق** معادلة الفرق هي: $ف = هـ - ك$ نعوض بالتعبيرين المعطيين: $ف = (7ش + 137) - (4ش + 78)$ **الخطوة 4: تبسيط المعادلة** 1. نوزع علامة الطرح على القوس الثاني: $ف = 7ش + 137 - 4ش - 78$ 2. نجمع الحدود المتشابهة (حدود $ش$ والحدود الثابتة): $ف = (7ش - 4ش) + (137 - 78)$ $ف = 3ش + 59$ > **الملاحظة:** معادلة الفرق الشهري هي **$ف = 3ش + 59$**.
4. **الخطوة 5: التنبؤ بالفرق بعد ٢٤ شهرًا** 1. نعوض بعدد الأشهور $ش = 24$ في معادلة الفرق: $ف = 3(24) + 59$ 2. نقوم بالعمليات الحسابية: $ف = 72 + 59$ $ف = 131$ **الإجابة النهائية:** - معادلة الفرق الشهري هي $ف = 3ش + 59$. - **يُتوقع أن يكون الفرق في المبيعات الشهرية بعد ٢٤ شهرًا هو ١٣١ وحدة.**

سؤال ٤: (-٤ع٣ - ٢ع + ٨) - (٤ع٣ + ٢ع - ٥)

الإجابة: -٨ع٣ - ٤ع + ١٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العملية | التعبير | |----------|---------| | المطروح منه | $-4ع^3 - 2ع + 8$ | | المطروح | $4ع^3 + 2ع - 5$ | | المطلوب | إيجاد ناتج الطرح $(-4ع^3 - 2ع + 8) - (4ع^3 + 2ع - 5)$ |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **طرح كثيرات الحدود:** نوزع إشارة الطرح على القوس الثاني (نغير إشارة كل حد فيه)، ثم نجمع الحدود المتشابهة.
3. **الخطوة 3: إزالة الأقواس وجمع الحدود المتشابهة** 1. نوزع إشارة الطرح: $(-4ع^3 - 2ع + 8) - (4ع^3 + 2ع - 5) = -4ع^3 - 2ع + 8 - 4ع^3 - 2ع + 5$ 2. نرتب الحدود المتشابهة: $(-4ع^3 - 4ع^3) + (-2ع - 2ع) + (8 + 5)$ 3. نجري عمليات الجمع والطرح: $(-8ع^3) + (-4ع) + (13)$ **الإجابة النهائية:** **ناتج طرح العبارتين هو $-8ع^3 - 4ع + 13$.**

سؤال ٥: (-٣د٢ - ٨ + ٢د) + (٤د - ١٢ + ٢د٢)

الإجابة: -د٢ + ٦د - ٢٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العملية | التعبير | |----------|---------| | التعبير الأوّل | $-3د^2 - 8 + 2د$ | | التعبير الثاني | $4د - 12 + 2د^2$ | | المطلوب | إيجاد ناتج الجمع $(-3د^2 - 8 + 2د) + (4د - 12 + 2د^2)$ |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **جمع كثيرات الحدود:** نرتب الحدود المتشابهة (حدود $د^2$، حدود $د$، الحدود الثابتة) ثم نجمعها.
3. **الخطوة 3: إزالة الأقواس وترتيب الحدود المتشابهة** 1. نزيل الأقواس: $(-3د^2 - 8 + 2د) + (4د - 12 + 2د^2) = -3د^2 - 8 + 2د + 4د - 12 + 2د^2$ 2. نرتب الحدود المتشابهة: $(-3د^2 + 2د^2) + (2د + 4د) + (-8 - 12)$ 3. نجري العمليات: $(-1د^2) + (6د) + (-20)$ **الإجابة النهائية:** **ناتج جمع العبارتين هو $-د^2 + 6د - 20$.**

سؤال ٦: (٣ن٣ - ٥ن + ن٢) - (-٨ن٢ + ٣ن٣)

الإجابة: ٩ن٢ - ٥ن

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العملية | التعبير | |----------|---------| | المطروح منه | $3ن^3 - 5ن + ن^2$ | | المطروح | $-8ن^2 + 3ن^3$ | | المطلوب | إيجاد ناتج الطرح $(3ن^3 - 5ن + ن^2) - (-8ن^2 + 3ن^3)$ |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **طرح كثيرات الحدود:** نغير إشارات حدود القوس الثاني ثم نجمع الحدود المتشابهة.
3. **الخطوة 3: إزالة الأقواس وجمع الحدود المتشابهة** 1. نوزع إشارة الطرح: $(3ن^3 - 5ن + ن^2) - (-8ن^2 + 3ن^3) = 3ن^3 - 5ن + ن^2 + 8ن^2 - 3ن^3$ 2. نرتب الحدود المتشابهة: $(3ن^3 - 3ن^3) + (ن^2 + 8ن^2) + (-5ن)$ 3. نجري العمليات: $(0) + (9ن^2) + (-5ن)$ > **ملاحظة:** حد $ن^3$ اختفى لأن $3ن^3 - 3ن^3 = 0$. **الإجابة النهائية:** **ناتج طرح العبارتين هو $9ن^2 - 5ن$.**

سؤال ٧: إجازة: يتوزع العدد الكلي للطلاب (ك) الذين يسافرون خلال الإجازة إلى مجموعتين: مجموعة تسافر إلى المنطقة (ف) بالطائرة، والمجموعة الأخرى تسافر إلى المنطقة (د) بالسيارة، ويمكن تمثيل العدد الكلي بالآلاف للطلاب (ك) الذين سافروا خلال الإجازة، وعدد الطلاب (ع) الذين سافروا للمنطقة (ف) بالمعادلتين: ك = ١٤ن + ٢١، ع = ٨ن + ٧، حيث (ن) عدد السنوات منذ عام ١٤٢٥ هـ. أ) اكتب المعادلة التي تمثل عدد الطلاب (ل) الذين توجهوا إلى المنطقة د في هذه الفترة. ب) كم طالبًا يُتوقع أن يتوجهوا إلى المنطقة د في عام ١٤٤٢ هـ؟ ج) كم طالبًا يُتوقع أن يسافروا في عام ١٤٤٥ هـ؟

الإجابة: أ) ل = ك - ع = (١٤ن + ٢١) - (٨ن + ٧) = ٦ن + ١٤ ب) ١٤٤٢ - ١٤٢٥ = ١٧؛ ل = ٦(١٧) + ١٤ = ١١٦ ألف طالب ج) ١٤٤٥ - ١٤٢٥ = ٢٠؛ ك = ١٤(٢٠) + ٢١ = ٣٠١ ألف طالب

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات والمطلوب من النص** | الرمز | الوصف | التعبير الرياضي | |-------|--------|------------------| | $ك$ | إجمالي عدد الطلاب المسافرين (بالآلاف) | $ك = 14ن + 21$ | | $ع$ | عدد الطلاب المتوجهين للمنطقة ف (بالآلاف) | $ع = 8ن + 7$ | | $ل$ | عدد الطلاب المتوجهين للمنطقة د (بالآلاف) | ؟ | | $ن$ | عدد السنوات منذ عام 1425 هـ | | **المطلوب:** أ) كتابة معادلة لعدد الطلاب ($ل$) المتوجهين للمنطقة د. ب) عدد الطلاب المتوقع توجههم للمنطقة د في عام 1442 هـ. ج) إجمالي عدد الطلاب المتوقع سفرهم في عام 1445 هـ.
2. **الخطوة 2: المبادئ المستخدمة** 1. **المجموع والفرق:** $ل = ك - ع$ 2. **حساب الفرق بين السنوات:** السنة المطلوبة - 1425 3. **التعويض في المعادلات الخطية.**
3. **الخطوة 3: الجزء (أ) - كتابة معادلة لعدد الطلاب ($ل$)** 1. عدد طلاب المنطقة د هو الفرق بين الإجمالي وطلاب المنطقة ف: $ل = ك - ع$ 2. نعوض بالتعبيرين المعطيين: $ل = (14ن + 21) - (8ن + 7)$ 3. نبسط المعادلة: $ل = 14ن + 21 - 8ن - 7$ $ل = (14ن - 8ن) + (21 - 7)$ $ل = 6ن + 14$ > **النتيجة:** معادلة عدد طلاب المنطقة د هي **$ل = 6ن + 14$** (بالآلاف).
4. **الخطوة 4: الجزء (ب) - التنبؤ بعدد الطلاب في المنطقة د عام 1442 هـ** 1. نحسب عدد السنوات ($ن$) منذ 1425: $ن = 1442 - 1425 = 17$ سنة. 2. نعوض $ن = 17$ في معادلة $ل$: $ل = 6(17) + 14$ $ل = 102 + 14$ $ل = 116$ > **النتيجة:** عدد الطلاب المتوقع توجههم للمنطقة د هو **١١٦ ألف طالب**.
5. **الخطوة 5: الجزء (ج) - التنبؤ بإجمالي عدد المسافرين عام 1445 هـ** 1. نحسب عدد السنوات ($ن$) منذ 1425: $ن = 1445 - 1425 = 20$ سنة. 2. نعوض $ن = 20$ في معادلة إجمالي الطلاب $ك$: $ك = 14(20) + 21$ $ك = 280 + 21$ $ك = 301$ > **النتيجة:** إجمالي عدد الطلاب المتوقع سفرهم هو **٣٠١ ألف طالب**.
6. **الإجابة النهائية:** - **(أ)** معادلة عدد الطلاب المتوجهين للمنطقة د هي: $ل = 6ن + 14$. - **(ب) يُتوقع أن يتوجه إلى المنطقة د في عام ١٤٤٢ هـ ما يقارب ١١٦ ألف طالب.** - **(ج) يُتوقع أن يسافر في إجازة عام ١٤٤٥ هـ ما يقارب ٣٠١ ألف طالب.**

ما المبدأ الأساسي الذي يجب اتباعه لتبسيط كثيرتي حدود عند جمعهما أو طرحهما؟

• أ) جمع أو طرح جميع الحدود بغض النظر عن تشابهها.
• ب) يتم فقط جمع أو طرح الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير والأس).
• ج) ضرب الحدود الثابتة معًا قبل جمع أو طرح المتغيرات.
• د) جمع أسس المتغيرات فقط ثم طرح المعاملات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يتم فقط جمع أو طرح الحدود المتشابهة (التي لها نفس المتغير والأس).

الشرح: عند جمع أو طرح كثيرات الحدود، يجب تحديد الحدود المتشابهة أولاً. الحدود المتشابهة هي التي تحتوي على نفس المتغير ونفس الأس. بعد ذلك، نجمع أو نطرح معاملات هذه الحدود فقط لتبسيط التعبير.

تلميح: ركز على نوعية الحدود التي يمكن دمجها معًا في كثيرات الحدود.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي الخطوة الأساسية الأولى عند طرح كثيرتي حدود؟

• أ) نجمع الحدود المتشابهة مباشرة ثم نطرح النتائج.
• ب) نوزع إشارة الطرح على كل حد داخل كثير الحدود المطروح (القوس الثاني).
• ج) نضرب كثيرتي الحدود ثم نجمع الحدود المتشابهة.
• د) نطرح المعاملات أولاً ثم نجمع الأسس.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نوزع إشارة الطرح على كل حد داخل كثير الحدود المطروح (القوس الثاني).

الشرح: عند طرح كثيرتي حدود، يجب أولاً توزيع إشارة الطرح على جميع الحدود داخل القوس الثاني (كثير الحدود المطروح). هذا يعني تغيير إشارة كل حد داخل هذا القوس. بعد ذلك، يتم جمع الحدود المتشابهة.

تلميح: تذكر تأثير إشارة الطرح على جميع الحدود التي تليها داخل الأقواس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت مبيعات الهواتف المحمولة $هـ = ٧ش + ١٣٧$ ومبيعات آلات التصوير الرقمية $ك = ٤ش + ٧٨$، فما المعادلة التي تمثل المبيعات الكلية (ن) شهريًا؟

• أ) ن = ٣ش + ٥٩
• ب) ن = ١١ش + ٢١٥
• ج) ن = ١١ش - ٥٩
• د) ن = ٣ش + ٢١٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ن = ١١ش + ٢١٥

الشرح: 1. المعادلة الكلية هي ن = هـ + ك. 2. نعوض بالتعبيرين: ن = (٧ش + ١٣٧) + (٤ش + ٧٨). 3. نجمع الحدود المتشابهة: (٧ش + ٤ش) + (١٣٧ + ٧٨). 4. تكون المعادلة النهائية: ن = ١١ش + ٢١٥.

تلميح: لِإيجاد المبيعات الكلية، قم بجمع تعبيري المبيعات هـ و ك وجمع الحدود المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان عدد الطلاب الكلي (ك) الذين سافروا هو $ك = ١٤ن + ٢١$ وعدد الطلاب المسافرين إلى المنطقة (ف) هو $ع = ٨ن + ٧$، فما المعادلة التي تمثل عدد الطلاب (ل) الذين توجهوا إلى المنطقة (د)؟

• أ) ل = ٢٢ن + ٢٨
• ب) ل = ٦ن + ٢٨
• ج) ل = ٦ن + ١٤
• د) ل = ٢٢ن + ١٤

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ل = ٦ن + ١٤

الشرح: 1. المعادلة هي ل = ك - ع. 2. نعوض بالتعبيرين: ل = (١٤ن + ٢١) - (٨ن + ٧). 3. نوزع إشارة الطرح: ل = ١٤ن + ٢١ - ٨ن - ٧. 4. نجمع الحدود المتشابهة: (١٤ن - ٨ن) + (٢١ - ٧). 5. تكون المعادلة النهائية: ل = ٦ن + ١٤.

تلميح: عدد طلاب المنطقة (د) هو الفرق بين العدد الكلي للطلاب وعدد الطلاب المتجهين للمنطقة (ف).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في معادلة الفرق في المبيعات بين الهواتف المحمولة وآلات التصوير شهريًا، $ف = ٣ش + ٥٩$، ماذا يمثل المعامل "٣"؟

• أ) إجمالي مبيعات الهواتف في ٣ أشهر.
• ب) عدد آلات التصوير المباعة شهريًا.
• ج) الزيادة الشهرية في الفرق بين مبيعات الهواتف ومبيعات آلات التصوير.
• د) العدد الأولي للهواتف المباعة قبل بدء القياس.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يمثل الزيادة الشهرية في الفرق بين مبيعات الهواتف ومبيعات آلات التصوير.

الشرح: المعادلة $ف = ٣ش + ٥٩$ تعبر عن الفرق في المبيعات بعد $ش$ شهر. الحد $٣ش$ يعني أن الفرق في المبيعات يزداد بمقدار 3 وحدات لكل شهر يمر. أي أن معدل زيادة الفرق في المبيعات شهريًا هو 3 وحدات.

تلميح: فكر في معنى المتغير "ش" وكيف يؤثر المعامل على قيمة "ف" كل شهر.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب