لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 جمع كثيرات الحدود وطرحها

المفاهيم الأساسية

جمع كثيرات الحدود: يتم باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية.

طرح كثيرات الحدود: مذكور كهدف للدرس (لم يتم شرحه تفصيلياً في هذه الصفحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

جمع كثيرات الحدود

طريقتان للجمع

الطريقة الأفقية

• ترتيب الحدود المتشابهة بجانب بعضها
• جمع معاملات الحدود المتشابهة

الطريقة الرأسية

• ترتيب الحدود المتشابهة عمودياً تحت بعضها
• جمع معاملات كل عمود

خطوات أساسية

• تحديد الحدود المتشابهة
• ترتيبها حسب القوى (أسس المتغيرات)
• جمع معاملات الحدود المتشابهة
• كتابة الناتج بالصورة القياسية

```

نقاط مهمة

• يمكن تمثيل مسائل واقعية (مثل عدد الحجاج) بكثيرات حدود.
• لإيجاد الإجمالي، نجمع كثيري الحدود.
• عند استخدام الطريقة الرأسية، يمكن إضافة حد معامل صفر (مثل `٠ ص ٢`) للمساعدة في الترتيب.
• الناتج النهائي يجب أن يكون مبسطاً ومرتباً تنازلياً حسب قوى المتغير.

---

حل مثال

مثال ١: أوجد ناتج كل مما يأتي:

أ) `( س ٢ - ٥ س - ٧ ) + ( ٣ س - ٤ س ٢ + ٦ )`

* الطريقة الأفقية:

`( س ٢ - ٥ س - ٧ ) + ( ٣ س - ٤ س ٢ + ٦ )`

`= [ س ٢ - ٤ س ٢ ] + [ - ٥ س + ٣ س ] + [ - ٧ + ٦ ]`

`= - ٣ س ٢ - ٢ س - ١`

* الطريقة الرأسية:

```

س ٢ - ٥ س - ٧

(+) - ٤ س ٢ + ٣ س + ٦

--------------------

- ٣ س ٢ - ٢ س - ١

```

الناتج: `- ٣ س ٢ - ٢ س - ١`

ب) `( ٣ ص ٣ + ص ٢ - ٥ ) + ( ٤ ص ٢ - ٢ ص ٣ + ٨ )`

* الطريقة الأفقية:

`( ٣ ص ٣ + ص ٢ - ٥ ) + ( ٤ ص ٢ - ٢ ص ٣ + ٨ )`

`= [ ٣ ص ٣ - ٢ ص ٣ ] + [ ص ٢ + ٤ ص ٢ ] + [ - ٥ + ٨ ]`

`= ص ٣ + ٥ ص ٢ + ٣`

* الطريقة الرأسية: (مع إضافة الحد `٠ ص` للمساعدة في الترتيب)

```

٣ ص ٣ + ص ٢ + ٠ ص - ٥

(+) - ٢ ص ٣ + ٤ ص ٢ + ٠ ص + ٨

----------------------------

ص ٣ + ٥ ص ٢ + ٠ ص + ٣

```

الناتج: `ص ٣ + ٥ ص ٢ + ٣`

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

4-6 جمع كثيرات الحدود وطرحها

يمكن تمثيل العدد التقريبي لحجاج الداخل (ع1) وحجاج الخارج (ع2) بمئات الألوف من عام 1435 هـ إلى 1438 هـ بالمعادلتين: ع1 = 0.1931 س^3 - 0.2841 س^2 + 1.808 س + 6.7 ع2 = 0.2675 س^3 - 1.02 س^2 + 0.97 س + 17.08 حيث س عدد السنوات منذ عام 1435 هـ. إن إجمالي عدد الحجاج تقريبًا يمثل بـ ع1 + ع2

فيما سبق: درست كتابة كثيرات الحدود بالصورة القياسية. والآن: - أجمع كثيرات حدود. - أطرح كثيرات حدود.

يتم جمع كثيرتي حدود بجمع الحدود المتشابهة، ويمكن جمع كثيرتي حدود باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية.

جمع كثيرات الحدود أوجد ناتج كل مما يأتي: أ) (2 س^2 + 5 س - 7) + (3 - 4 س^2 + 6 س)

الطريقة الأفقية (2 س^2 + 5 س - 7) + (3 - 4 س^2 + 6 س) = [2 س^2 + (-4 س^2)] + [5 س + 6 س] + [-7 + 3] ... جمع الحدود المتشابهة = -2 س^2 + 11 س - 4 ... اجمع الحدود المتشابهة

الطريقة الرأسية رتب الحدود المتشابهة عمودياً واجمع: 2 س^2 + 5 س - 7 (+) -4 س^2 + 6 س + 3 ------------------- -2 س^2 + 11 س - 4

ب) (3 ص + ص^3 - 5) + (4 ص^2 - 4 ص + 2 ص^3 + 8)

الطريقة الأفقية (3 ص + ص^3 - 5) + (4 ص^2 - 4 ص + 2 ص^3 + 8) = [ص^3 + 2 ص^3] + 4 ص^2 + [3 ص + (-4 ص)] + [-5 + 8] ... جمع الحدود المتشابهة = 3 ص^3 + 4 ص^2 - ص + 3 ... اجمع الحدود المتشابهة

الطريقة الرأسية أضف الحد 0 ص^2 للمساعدة على ترتيب الحدود المتشابهة تحت بعضها رتب الحدود المتشابهة عمودياً واجمع: ص^3 + 0 ص^2 + 3 ص - 5 (+) 2 ص^3 + 4 ص^2 - 4 ص + 8 ------------------- 3 ص^3 + 4 ص^2 - ص + 3

الدرس 4-6: جمع كثيرات الحدود وطرحها ... 31 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 4-6 جمع كثيرات الحدود وطرحها --- SECTION: لماذا؟ --- يمكن تمثيل العدد التقريبي لحجاج الداخل (ع1) وحجاج الخارج (ع2) بمئات الألوف من عام 1435 هـ إلى 1438 هـ بالمعادلتين: ع1 = 0.1931 س^3 - 0.2841 س^2 + 1.808 س + 6.7 ع2 = 0.2675 س^3 - 1.02 س^2 + 0.97 س + 17.08 حيث س عدد السنوات منذ عام 1435 هـ. إن إجمالي عدد الحجاج تقريبًا يمثل بـ ع1 + ع2 فيما سبق: درست كتابة كثيرات الحدود بالصورة القياسية. والآن: - أجمع كثيرات حدود. - أطرح كثيرات حدود. --- SECTION: جمع كثيرات الحدود --- يتم جمع كثيرتي حدود بجمع الحدود المتشابهة، ويمكن جمع كثيرتي حدود باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية. --- SECTION: مثال 1 --- جمع كثيرات الحدود أوجد ناتج كل مما يأتي: أ) (2 س^2 + 5 س - 7) + (3 - 4 س^2 + 6 س) أ. (2 س^2 + 5 س - 7) + (3 - 4 س^2 + 6 س) ب. (3 ص + ص^3 - 5) + (4 ص^2 - 4 ص + 2 ص^3 + 8) الطريقة الأفقية (2 س^2 + 5 س - 7) + (3 - 4 س^2 + 6 س) = [2 س^2 + (-4 س^2)] + [5 س + 6 س] + [-7 + 3] ... جمع الحدود المتشابهة = -2 س^2 + 11 س - 4 ... اجمع الحدود المتشابهة الطريقة الرأسية رتب الحدود المتشابهة عمودياً واجمع: 2 س^2 + 5 س - 7 (+) -4 س^2 + 6 س + 3 ------------------- -2 س^2 + 11 س - 4 ب) (3 ص + ص^3 - 5) + (4 ص^2 - 4 ص + 2 ص^3 + 8) الطريقة الأفقية (3 ص + ص^3 - 5) + (4 ص^2 - 4 ص + 2 ص^3 + 8) = [ص^3 + 2 ص^3] + 4 ص^2 + [3 ص + (-4 ص)] + [-5 + 8] ... جمع الحدود المتشابهة = 3 ص^3 + 4 ص^2 - ص + 3 ... اجمع الحدود المتشابهة الطريقة الرأسية أضف الحد 0 ص^2 للمساعدة على ترتيب الحدود المتشابهة تحت بعضها رتب الحدود المتشابهة عمودياً واجمع: ص^3 + 0 ص^2 + 3 ص - 5 (+) 2 ص^3 + 4 ص^2 - 4 ص + 8 ------------------- 3 ص^3 + 4 ص^2 - ص + 3 الدرس 4-6: جمع كثيرات الحدود وطرحها ... 31 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: رمز استجابة سريعة (QR Code) يؤدي إلى رابط الدرس الرقمي على موقع عين التعليمي. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية تظهر حشوداً هائلة من الحجاج في مكة المكرمة، مع ظهور الخيام البيضاء والمباني المحيطة، وتستخدم كمدخل لمسألة واقعية حول أعداد الحجاج. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الحدود Rows: Row 1: 2 س^2 + 5 س - 7 Row 2: (+) -4 س^2 + 6 س + 3 Row 3: -2 س^2 + 11 س - 4 Context: يوضح كيفية ترتيب الحدود المتشابهة عمودياً لجمع كثيرات الحدود. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الحدود Rows: Row 1: ص^3 + 0 ص^2 + 3 ص - 5 Row 2: (+) 2 ص^3 + 4 ص^2 - 4 ص + 8 Row 3: 3 ص^3 + 4 ص^2 - ص + 3 Context: يوضح كيفية استخدام الحد الصفري (0 ص^2) كحافظ للمكان عند ترتيب الحدود المتشابهة عمودياً.