صفحة 88 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 36: ٣٦) إجابة قصيرة: لدى سلمى أختان: إحداهما أكبر منها بـ ٨ سنوات، والأخرى أصغر منها بسنتين، وناتج ضرب عمري أختيها ٥٦. فكم سنة عمر سلمى؟

الإجابة: عمر سلمى = ٦ سنوات

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | عمر سلمى (غير معروف) | $x$ | | عمر الأخت الكبرى | $x + 8$ | | عمر الأخت الصغرى | $x - 2$ | | ناتج ضرب عمري الأختين | $(x+8)(x-2) = 56$ | | **المطلوب:** إيجاد قيمة $x$ (عمر سلمى). |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - صياغة معادلة تربيعية من المعلومات المعطاة وحلها.
3. **الخطوة 3: كتابة المعادلة وحلها** المعادلة هي: $(x + 8)(x - 2) = 56$ 1. نقوم بفك الأقواس: $x^2 - 2x + 8x - 16 = 56$ 2. نبسط الطرف الأيسر: $x^2 + 6x - 16 = 56$ 3. ننقل 56 إلى الطرف الأيسر: $x^2 + 6x - 16 - 56 = 0$ 4. نبسط: $x^2 + 6x - 72 = 0$ 5. نحلل المعادلة التربيعية بإيجاد عددين حاصل ضربهما $-72$ ومجمعهما $+6$. > **ملاحظة:** العددين هما $+12$ و $-6$ لأن $12 \times (-6) = -72$ و $12 + (-6) = 6$. 6. نكتب المعادلة على شكل: $(x + 12)(x - 6) = 0$
4. **الخطوة 4: إيجاد القيم الممكنة لـ $x$** من مبدأ الضرب الصفري: - $x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12$ (مرفوض لأن العمر لا يكون سالباً). - $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$ (مقبول).
5. **الإجابة النهائية:** عمر سلمى هو **6 سنوات**.

سؤال 37: ٣٧) ما مجموعة حل المعادلة س٢ + ٢س - ٢٤ = ٠؟ أ) {-٤، ٦} ب) {٣، -٨} ج) {-٣، ٨} د) {٤، -٦}

الإجابة: س٣٧: {٤، -٦} (أ)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | المعادلة: $س^2 + ٢س - ٢٤ = ٠$ | إيجاد مجموعة الحل $\{س_١، س_٢\}$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - حل معادلة تربيعية بالصيغة $ax^2 + bx + c = 0$ عن طريق **التحليل**. - نبحث عن عددين: 1. **مجموعهما** = $b$ (معامل $x$). 2. **حاصل ضربهما** = $a \times c$ (حاصل ضرب معامل $x^2$ والحد الثابت).
3. **الخطوة 3: تطبيق التحليل** المعادلة: $x^2 + 2x - 24 = 0$ - هنا $a = 1$، $b = 2$، $c = -24$. - نريد عددين مجموعهما $2$ وحاصل ضربهما $1 \times (-24) = -24$. | العدد الأول | العدد الثاني | المجموع | الضرب | |-------------|--------------|---------|-------| | 6 | -4 | 6 + (-4) = **2** | 6 × (-4) = **-24** | > العددان المناسبان هما **6** و **-4**.
4. **الخطوة 4: كتابة المعادلة المحللة** بناءً على العددين، تكتب المعادلة على الشكل: $(x + 6)(x - 4) = 0$
5. **الخطوة 5: إيجاد الجذور باستخدام خاصية الضرب الصفري** - $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ - $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ ∴ مجموعة الحل هي $\{4، -6\}$.
6. **الإجابة النهائية:** مجموعة حل المعادلة هي $\{٤، -٦\}$، مما يتطابق مع الخيار (د).

سؤال 38: حلّل كل كثيرة حدود فيما يأتي: (الدرس ٧-٣) ٣٨) س٢ - ٩س + ١٤

الإجابة: س٣٨: (س - ٧)(س - ٢)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | كثيرة الحدود: $س^٢ - ٩س + ١٤$ | تحليلها إلى حاصل ضرب عاملين من الدرجة الأولى. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - تحليل ثلاثية الحدود التربيعية $x^2 + bx + c$ (حيث $a=1$). - نبحث عن عددين: 1. **مجموعهما** = $b$ (معامل $x$). 2. **حاصل ضربهما** = $c$ (الحد الثابت).
3. **الخطوة 3: إيجاد العددين المناسبين** لدينا: $x^2 - 9x + 14$ - $b = -9$ - $c = +14$ نريد عددين مجموعهما **-9** وحاصل ضربهما **+14**. | العدد الأول | العدد الثاني | المجموع | الضرب | |-------------|--------------|---------|-------| | -7 | -2 | (-7) + (-2) = **-9** | (-7) × (-2) = **14** | > العددان المناسبان هما **-7** و **-2**.
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** بناءً على ذلك، تكون كثيرة الحدود محللة على الشكل: $(x - 7)(x - 2)$.
5. **الإجابة النهائية:** تحليل العبارة $س^٢ - ٩س + ١٤$ هو $(س - ٧)(س - ٢)$.

سؤال 39: حلّل كل كثيرة حدود فيما يأتي: (الدرس ٧-٣) ٣٩) س٢ - ٥س - ٢٤

الإجابة: س٣٩: (س - ٨)(س + ٣)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | كثيرة الحدود: $س^٢ - ٥س - ٢٤$ | تحليلها إلى حاصل ضرب عاملين من الدرجة الأولى. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - تحليل ثلاثية الحدود التربيعية $x^2 + bx + c$ (حيث $a=1$). - نبحث عن عددين: 1. **مجموعهما** = $b$ (معامل $x$). 2. **حاصل ضربهما** = $c$ (الحد الثابت).
3. **الخطوة 3: إيجاد العددين المناسبين** لدينا: $x^2 - 5x - 24$ - $b = -5$ - $c = -24$ نريد عددين مجموعهما **-5** وحاصل ضربهما **-24**. | العدد الأول | العدد الثاني | المجموع | الضرب | |-------------|--------------|---------|-------| | -8 | +3 | (-8) + 3 = **-5** | (-8) × 3 = **-24** | > العددان المناسبان هما **-8** و **+3**.
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** بناءً على ذلك، تكون كثيرة الحدود محللة على الشكل: $(x - 8)(x + 3)$.
5. **الإجابة النهائية:** تحليل العبارة $س^٢ - ٥س - ٢٤$ هو $(س - ٨)(س + ٣)$.

سؤال 40: حلّل كل كثيرة حدود فيما يأتي: (الدرس ٧-٣) ٤٠) ع٢ + ١٥ع + ٣٦

الإجابة: س٤٠: (ع + ٣)(ع + ١٢)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | كثيرة الحدود: $ع^٢ + ١٥ع + ٣٦$ | تحليلها إلى حاصل ضرب عاملين من الدرجة الأولى. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - تحليل ثلاثية الحدود التربيعية $x^2 + bx + c$ (حيث $a=1$). - نبحث عن عددين: 1. **مجموعهما** = $b$ (معامل $x$). 2. **حاصل ضربهما** = $c$ (الحد الثابت).
3. **الخطوة 3: إيجاد العددين المناسبين** لدينا: $ع^2 + 15ع + 36$ - $b = 15$ - $c = 36$ نريد عددين مجموعهما **15** وحاصل ضربهما **36**. | العدد الأول | العدد الثاني | المجموع | الضرب | |-------------|--------------|---------|-------| | 12 | 3 | 12 + 3 = **15** | 12 × 3 = **36** | > العددان المناسبان هما **12** و **3**.
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** بناءً على ذلك، تكون كثيرة الحدود محللة على الشكل: $(ع + 12)(ع + 3)$.
5. **الإجابة النهائية:** تحليل العبارة $ع^٢ + ١٥ع + ٣٦$ هو $(ع + ١٢)(ع + ٣)$.

سؤال 41: حلّ كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (الدرس ٧-٢) ٤١) أ(أ - ٩) = ٠

الإجابة: س٤١: أ = ٠ أو أ = ٩

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | المعادلة: $أ(أ - ٩) = ٠$ | إيجاد قيم $أ$ التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - **خاصية الضرب الصفري:** إذا كان $A \times B = 0$، فإن $A = 0$ أو $B = 0$.
3. **الخطوة 3: تطبيق خاصية الضرب الصفري** من المعادلة $أ(أ - ٩) = ٠$: 1. **العامل الأول:** $أ = 0$. 2. **العامل الثاني:** $أ - 9 = 0 \Rightarrow أ = 9$.
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** - إذا كانت $أ = 0$: $0 \times (0 - 9) = 0 \times (-9) = 0$ (صحيح). - إذا كانت $أ = 9$: $9 \times (9 - 9) = 9 \times 0 = 0$ (صحيح).
5. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $أ = ٠$ أو $أ = ٩$.

سؤال 42: حلّ كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (الدرس ٧-٢) ٤٢) (٢ص + ٦)(ص - ١) = ٠

الإجابة: س٤٢: ص = -٣ أو ص = ١

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | المعادلة: $(٢ص + ٦)(ص - ١) = ٠$ | إيجاد قيم $ص$ التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** - **خاصية الضرب الصفري:** إذا كان $A \times B = 0$، فإن $A = 0$ أو $B = 0$.
3. **الخطوة 3: تطبيق خاصية الضرب الصفري** من المعادلة $(2ص + 6)(ص - 1) = 0$: 1. **العامل الأول:** $2ص + 6 = 0$ - ننقل 6: $2ص = -6$ - نقسم على 2: $ص = \frac{-6}{2} = -3$. 2. **العامل الثاني:** $ص - 1 = 0$ - ننقل -1: $ص = 1$.
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** - إذا كانت $ص = -3$: $(2(-3)+6)(-3-1) = (-6+6)(-4) = 0 \times (-4) = 0$ (صحيح). - إذا كانت $ص = 1$: $(2(1)+6)(1-1) = (2+6)(0) = 8 \times 0 = 0$ (صحيح).
5. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $ص = -٣$ أو $ص = ١$.

سؤال 43: حلّ كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (الدرس ٧-٢) ٤٣) ١٠س٢ - ٢٠س = ٠

الإجابة: س٤٣: س = ٠ أو س = ٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | المعادلة: $١٠س^٢ - ٢٠س = ٠$ | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** 1. **أخذ عامل مشترك** لتبسيط المعادلة. 2. ثم تطبيق **خاصية الضرب الصفري**.
3. **الخطوة 3: أخذ العامل المشترك** نلاحظ أن الحدين $10س^2$ و $-20س$ يشتركان في العامل $10س$. نخرج $10س$ عاملًا مشتركًا: $10س(س - 2) = 0$.
4. **الخطوة 4: تطبيق خاصية الضرب الصفري** من المعادلة $10س(س - 2) = 0$: 1. **العامل الأول:** $10س = 0 \Rightarrow س = 0$ (بقسمة الطرفين على 10). 2. **العامل الثاني:** $س - 2 = 0 \Rightarrow س = 2$.
5. **الخطوة 5: التحقق من الحل** - إذا كانت $س = 0$: $10(0)^2 - 20(0) = 0 - 0 = 0$ (صحيح). - إذا كانت $س = 2$: $10(2)^2 - 20(2) = 10(4) - 40 = 40 - 40 = 0$ (صحيح).
6. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $س = ٠$ أو $س = ٢$.

سؤال 44: ٤٤) حلّ المتباينة المركبة ك + ٢ > ١٢ و ك + ٢ ≥ ١٨ ، ثم مثّل مجموعة الحل على خط الأعداد. (مهارة سابقة)

الإجابة: س٤٤: ك > ١٠ (تمثيلها: دائرة مفتوحة عند 10 وتظليل جهة اليمين)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | المتباينة المركبة: $ك + ٢ > ١٢$ **و** $ك + ٢ \geq ١٨$ | إيجاد مجموعة الحل وتمثيلها على خط الأعداد. | > **تذكير:** أداة الربط **"و"** تعني تقاطع الحلول (يجب تحقيق المتباينتين معاً).
2. **الخطوة 2: حل كل متباينة على حدة** 1. **حل المتباينة الأولى:** $ك + ٢ > ١٢$ - نطرح 2 من الطرفين: $ك > ١٠$. - مجموعة الحل: $ك \in (10, \infty)$ 2. **حل المتباينة الثانية:** $ك + ٢ \geq ١٨$ - نطرح 2 من الطرفين: $ك \geq ١٦$. - مجموعة الحل: $ك \in [16, \infty)$
3. **الخطوة 3: إيجاد التقاطع (الحل المشترك)** نريد قيم $ك$ التي تحقق **كلا** الشرطين: - $ك > 10$ **و** $ك \geq 16$. > **ملاحظة:** الشرط الأقوى هنا هو $ك \geq 16$، لأن أي عدد أكبر من أو يساوي 16 يكون تلقائياً أكبر من 10. إذن، مجموعة الحل النهائية هي: $ك \geq ١٦$ أو $ك \in [16, \infty)$.
4. **الخطوة 4: تمثيل مجموعة الحل على خط الأعداد** 1. نرسم خط أعداد. 2. نحدد النقطة 16 عليه. 3. نرسم **دائرة مغلقة (ملونة)** عند 16 لتمثيل أن $ك$ يمكن أن تساوي 16 ($\geq$). 4. **نتظليل** الخط إلى اليمين (باتجاه الأعداد الأكبر من 16) لتمثيل جميع القيم $ك \geq 16$. > **التمثيل النصي:** `─────●================>` حيث `●` عند 16 و `=` تظليل.
5. **الإجابة النهائية:** مجموعة حل المتباينة المركبة هي جميع القيم $ك$ التي تكون **أكبر من أو تساوي ١٦**.

سؤال 45: مهارة سابقة: أوجد ناتج كلّ ممّا يأتي: ٤٥) √١٦

الإجابة: س٤٥: ٤

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | $\sqrt{16}$ | إيجاد الجذر التربيعي (الموجب) للعدد 16. |
2. **الخطوة 2: تعريف الجذر التربيعي** الجذر التربيعي للعدد $a$ (الموجب) هو العدد الموجب $b$ الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج $a$: $b^2 = a$.
3. **الخطوة 3: البحث عن العدد المناسب** نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 16$. - $4 \times 4 = 16$. - وكذلك $-4 \times -4 = 16$، لكن الجذر التربيعي الأساسي (الموجب) هو القيمة الموجبة.
4. **الإجابة النهائية:** $\sqrt{16} = ٤$.

سؤال 46: مهارة سابقة: أوجد ناتج كلّ ممّا يأتي: ٤٦) √٦٤

الإجابة: س٤٦: ٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | $\sqrt{64}$ | إيجاد الجذر التربيعي (الموجب) للعدد 64. |
2. **الخطوة 2: تعريف الجذر التربيعي** الجذر التربيعي للعدد $a$ (الموجب) هو العدد الموجب $b$ الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج $a$: $b^2 = a$.
3. **الخطوة 3: البحث عن العدد المناسب** نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 64$. - $8 \times 8 = 64$. - وكذلك $-8 \times -8 = 64$، لكن الجذر التربيعي الأساسي (الموجب) هو القيمة الموجبة.
4. **الإجابة النهائية:** $\sqrt{64} = ٨$.

سؤال 47: مهارة سابقة: أوجد ناتج كلّ ممّا يأتي: ٤٧) √١٢١

الإجابة: س٤٧: ١١

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | $\sqrt{121}$ | إيجاد الجذر التربيعي (الموجب) للعدد 121. |
2. **الخطوة 2: تعريف الجذر التربيعي** الجذر التربيعي للعدد $a$ (الموجب) هو العدد الموجب $b$ الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج $a$: $b^2 = a$.
3. **الخطوة 3: البحث عن العدد المناسب** نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 121$. - $11 \times 11 = 121$. - وكذلك $-11 \times -11 = 121$، لكن الجذر التربيعي الأساسي (الموجب) هو القيمة الموجبة.
4. **الإجابة النهائية:** $\sqrt{121} = ١١$.

سؤال 48: مهارة سابقة: أوجد ناتج كلّ ممّا يأتي: ٤٨) √١٠٠

الإجابة: س٤٨: ١٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | $\sqrt{100}$ | إيجاد الجذر التربيعي (الموجب) للعدد 100. |
2. **الخطوة 2: تعريف الجذر التربيعي** الجذر التربيعي للعدد $a$ (الموجب) هو العدد الموجب $b$ الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج $a$: $b^2 = a$.
3. **الخطوة 3: البحث عن العدد المناسب** نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 100$. - $10 \times 10 = 100$. - وكذلك $-10 \times -10 = 100$، لكن الجذر التربيعي الأساسي (الموجب) هو القيمة الموجبة.
4. **الإجابة النهائية:** $\sqrt{100} = ١٠$.

أوجد ناتج ما يأتي: √٦٤

• أ) ٦
• ب) ٤
• ج) ٨
• د) ٣٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٨

الشرح: ١. الجذر التربيعي للعدد هو العدد الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج العدد الأصلي. ٢. نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 64$. ٣. العدد هو 8 لأن $8 \times 8 = 64$. ٤. إذن، $\sqrt{64} = 8$.

تلميح: تذكر أن الجذر التربيعي الموجب للعدد $x$ هو العدد $y$ حيث $y^2 = x$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج ما يأتي: √١٢١

• أ) ٦٠.٥
• ب) ١١
• ج) ١٢
• د) ٩

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١١

الشرح: ١. الجذر التربيعي للعدد هو العدد الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج العدد الأصلي. ٢. نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 121$. ٣. العدد هو 11 لأن $11 \times 11 = 121$. ٤. إذن، $\sqrt{121} = 11$.

تلميح: تذكر أن الجذر التربيعي الموجب للعدد $x$ هو العدد $y$ حيث $y^2 = x$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج ما يأتي: √١٠٠

• أ) ٢٠
• ب) ٥٠
• ج) ١٠
• د) ٥

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٠

الشرح: ١. الجذر التربيعي للعدد هو العدد الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج العدد الأصلي. ٢. نبحث عن عدد $b$ بحيث $b \times b = 100$. ٣. العدد هو 10 لأن $10 \times 10 = 100$. ٤. إذن، $\sqrt{100} = 10$.

تلميح: تذكر أن الجذر التربيعي الموجب للعدد $x$ هو العدد $y$ حيث $y^2 = x$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

لدى سلمى أختان: إحداهما أكبر منها بـ ٨ سنوات، والأخرى أصغر منها بسنتين، وناتج ضرب عمري أختيها ٥٦. فكم سنة عمر سلمى؟

• أ) ٨ سنوات
• ب) ٤ سنوات
• ج) ٧ سنوات
• د) ٦ سنوات

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٦ سنوات

الشرح: ١. نفرض عمر سلمى = س، إذن عمر الأخت الكبرى = س + ٨، وعمر الأخت الصغرى = س - ٢. ٢. ناتج ضرب عمريهما: (س + ٨)(س - ٢) = ٥٦. ٣. نفك الأقواس: س² - ٢س + ٨س - ١٦ = ٥٦ → س² + ٦س - ١٦ = ٥٦. ٤. ننقل ٥٦: س² + ٦س - ٧٢ = ٠. ٥. نحلل المعادلة: (س + ١٢)(س - ٦) = ٠. ٦. الحلول: س = -١٢ (مرفوض) أو س = ٦ (مقبول). إذن عمر سلمى هو ٦ سنوات.

تلميح: افترض أن عمر سلمى 'س'، ثم كوّن معادلة تربيعية بناءً على المعطيات وحلّها. تذكر أن العمر لا يمكن أن يكون سالباً.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما مجموعة حل المعادلة س٢ + ٢س - ٢٤ = ٠؟

• أ) {-٤، ٦}
• ب) {-٣، ٨}
• ج) {-٨، ٣}
• د) {٤، -٦}

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: {٤، -٦}

الشرح: ١. المعادلة هي س² + ٢س - ٢٤ = ٠. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -٢٤ ومجموعهما ٢. ٣. العددان هما ٦ و -٤ لأن ٦ × (-٤) = -٢٤ و ٦ + (-٤) = ٢. ٤. إذن المعادلة المحللة هي (س + ٦)(س - ٤) = ٠. ٥. باستخدام خاصية الضرب الصفري: س + ٦ = ٠ أو س - ٤ = ٠. ٦. الحلول هي س = -٦ أو س = ٤. مجموعة الحل هي {٤، -٦}.

تلميح: لحل المعادلة التربيعية س² + ب س + ج = ٠، ابحث عن عددين حاصل ضربهما ج ومجموعهما ب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّل كثيرة الحدود: س٢ - ٩س + ١٤

• أ) (س + ٧)(س + ٢)
• ب) (س - ٧)(س + ٢)
• ج) (س + ٧)(س - ٢)
• د) (س - ٧)(س - ٢)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (س - ٧)(س - ٢)

الشرح: ١. العبارة هي س² - ٩س + ١٤. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما +١٤ ومجموعهما -٩. ٣. العددان هما -٧ و -٢، لأن (-٧) × (-٢) = +١٤ و (-٧) + (-٢) = -٩. ٤. إذن التحليل هو (س - ٧)(س - ٢).

تلميح: لتحليل ثلاثية الحدود من الصورة س² + ب س + ج، ابحث عن عددين حاصل ضربهما ج ومجموعهما ب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّل كثيرة الحدود: س٢ - ٥س - ٢٤

• أ) (س + ٨)(س - ٣)
• ب) (س + ٦)(س - ٤)
• ج) (س - ٦)(س + ٤)
• د) (س - ٨)(س + ٣)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (س - ٨)(س + ٣)

الشرح: ١. العبارة هي س² - ٥س - ٢٤. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -٢٤ ومجموعهما -٥. ٣. العددان هما -٨ و +٣، لأن (-٨) × (+٣) = -٢٤ و (-٨) + (+٣) = -٥. ٤. إذن التحليل هو (س - ٨)(س + ٣).

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما الحد الثابت وحاصل جمعهما معامل س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّل كثيرة الحدود: ع٢ + ١٥ع + ٣٦

• أ) (ع + ٦)(ع + ٦)
• ب) (ع + ٩)(ع + ٤)
• ج) (ع + ٣)(ع + ١٢)
• د) (ع - ٣)(ع - ١٢)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (ع + ٣)(ع + ١٢)

الشرح: ١. العبارة هي ع² + ١٥ع + ٣٦. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما +٣٦ ومجموعهما +١٥. ٣. العددان هما +١٢ و +٣، لأن (١٢) × (٣) = ٣٦ و (١٢) + (٣) = ١٥. ٤. إذن التحليل هو (ع + ١٢)(ع + ٣).

تلميح: ابحث عن عددين موجبين حاصل ضربهما ٣٦ وحاصل جمعهما ١٥.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّ المعادلة أ(أ - ٩) = ٠، وتحقق من صحة الحل.

• أ) أ = 0 أو أ = -9
• ب) أ = 9 فقط
• ج) أ = 0 أو أ = 9
• د) أ = 0 فقط

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ = 0 أو أ = 9

الشرح: 1. بما أن حاصل ضرب `أ` و `(أ - 9)` يساوي صفر، فإن أحد العاملين يجب أن يساوي صفرًا. 2. نساوي العامل الأول بالصفر: `أ = 0`. 3. نساوي العامل الثاني بالصفر: `أ - 9 = 0`، ثم نضيف 9 للطرفين للحصول على `أ = 9`. 4. الحلول هي `أ = 0` أو `أ = 9`.

تلميح: تذكر خاصية الضرب الصفري: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فإن أحد العاملين أو كلاهما يجب أن يساوي صفرًا.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حلّ المعادلة (٢ص + ٦)(ص - ١) = ٠، وتحقق من صحة الحل.

• أ) ص = 3 أو ص = -1
• ب) ص = -3 أو ص = 1
• ج) ص = -6 أو ص = 1
• د) ص = -3 فقط

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ص = -3 أو ص = 1

الشرح: 1. من خاصية الضرب الصفري، إما `2ص + 6 = 0` أو `ص - 1 = 0`. 2. حل المعادلة الأولى: `2ص = -6`، بقسمة الطرفين على 2 ينتج `ص = -3`. 3. حل المعادلة الثانية: `ص - 1 = 0`، بإضافة 1 للطرفين ينتج `ص = 1`. 4. مجموعة الحل هي `{-3, 1}`.

تلميح: طبق خاصية الضرب الصفري على كل عامل من عوامل المعادلة لإيجاد قيم `ص`.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلّ المعادلة ١٠س٢ - ٢٠س = ٠، وتحقق من صحة الحل.

• أ) س = 0 أو س = 2
• ب) س = 2 فقط
• ج) س = 0 أو س = -2
• د) س = 10 أو س = 20

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = 0 أو س = 2

الشرح: 1. نأخذ العامل المشترك الأكبر `10س` من حدي المعادلة: `10س(س - 2) = 0`. 2. من خاصية الضرب الصفري، إما `10س = 0` أو `س - 2 = 0`. 3. حل `10س = 0` ينتج `س = 0`. 4. حل `س - 2 = 0` بإضافة 2 للطرفين ينتج `س = 2`. 5. مجموعة الحل هي `{0, 2}`.

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر من حدي المعادلة، ثم طبق خاصية الضرب الصفري.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما مجموعة حل المتباينة المركبة ك + ٢ > ١٢ و ك + ٢ ≥ ١٨؟

• أ) ك > ١٠
• ب) ك ≥ ١٦
• ج) ك < ١٦
• د) ١٠ < ك < ١٦

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ك ≥ ١٦

الشرح: 1. نحل المتباينة الأولى: `ك + 2 > 12` بطرح 2 من الطرفين ينتج `ك > 10`. 2. نحل المتباينة الثانية: `ك + 2 ≥ 18` بطرح 2 من الطرفين ينتج `ك ≥ 16`. 3. أداة الربط 'و' تعني التقاطع. القيم التي تحقق `ك > 10` و `ك ≥ 16` هي القيم التي تكون `ك ≥ 16`، لأن أي عدد أكبر من أو يساوي 16 هو بالضرورة أكبر من 10.

تلميح: حل كل متباينة على حدة، ثم أوجد تقاطع مجموعتي الحل (الجزء المشترك) لأن أداة الربط هي 'و'.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج ما يأتي: √١٦

• أ) ٨
• ب) ٢
• ج) ٤
• د) -٤

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٤

الشرح: 1. المطلوب هو إيجاد العدد الموجب الذي إذا ضُرب في نفسه كان الناتج 16. 2. نحن نعلم أن `4 × 4 = 16`. 3. لذلك، الجذر التربيعي لـ 16 هو 4.

تلميح: تذكر أن الجذر التربيعي الموجب لعدد هو العدد الذي إذا ضُرب في نفسه كان الناتج ذلك العدد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل