فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 1: حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: أ) ١٦أ٢ - ٩ب٢ ب) ١٢١ب٢ - ٤أ٢ ج) ٢٧ج٣ - ٨

الإجابة: أ) (٤أ - ٣ب) (٤أ + ٣ب) ب) (١١ب - ٢أ) (١١ب + ٢أ) ج) (٣ج - ٢) (٩ج٢ + ٦ج + ٤)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الجزء | كثيرة الحدود (المعطاة) | المطلوب | |-------|------------------------|---------| | أ | $16a^2 - 9b^2$ | تحليل إلى عوامل | | ب | $121b^2 - 4a^2$ | تحليل إلى عوامل | | ج | $27c^3 - 8$ | تحليل إلى عوامل |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > **للأجزاء (أ) و (ب):** قانون **الفرق بين مربعين**: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ > **للجزء (ج):** قانون **الفرق بين مكعبين**: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ) $16a^2 - 9b^2$** 1. نكتب كل حد على صورة مربع كامل: - $16a^2 = (4a)^2$ - $9b^2 = (3b)^2$ 2. نطبق قانون الفرق بين مربعين: $16a^2 - 9b^2 = (4a)^2 - (3b)^2 = (4a - 3b)(4a + 3b)$
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب) $121b^2 - 4a^2$** 1. نكتب كل حد على صورة مربع كامل: - $121b^2 = (11b)^2$ - $4a^2 = (2a)^2$ 2. نطبق قانون الفرق بين مربعين: $121b^2 - 4a^2 = (11b)^2 - (2a)^2 = (11b - 2a)(11b + 2a)$
5. **الخطوة 5: حل الجزء (ج) $27c^3 - 8$** 1. نكتب كل حد على صورة مكعب كامل: - $27c^3 = (3c)^3$ - $8 = 2^3$ 2. نطبق قانون الفرق بين مكعبين: $27c^3 - 8 = (3c)^3 - 2^3 = (3c - 2)((3c)^2 + (3c)(2) + 2^2)$ 3. نبسط العبارة الثانية: $(3c)^2 = 9c^2$، و $(3c)(2) = 6c$، و $2^2 = 4$ بالتالي: $(3c - 2)(9c^2 + 6c + 4)$
6. **الخطوة 6: الإجابات النهائية** - **الجزء (أ):** العوامل هي $(4a - 3b)$ و $(4a + 3b)$. - **الجزء (ب):** العوامل هي $(11b - 2a)$ و $(11b + 2a)$. - **الجزء (ج):** العوامل هي $(3c - 2)$ و $(9c^2 + 6c + 4)$.

سؤال تحقق من فهمك: أ) ٨١ - ٤ج٢ ب) ٩س٢ - ٤ص٢

الإجابة: أ) (٩ - ٢ج) (٩ + ٢ج) ب) (٣س - ٢ص) (٣س + ٢ص)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الجزء | كثيرة الحدود (المعطاة) | المطلوب | |-------|------------------------|---------| | أ | $81 - 4c^2$ | تحليل إلى عوامل | | ب | $9s^2 - 4p^2$ | تحليل إلى عوامل |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > **قانون الفرق بين مربعين**: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ) $81 - 4c^2$** 1. نعيد كتابة العبارة لتصبح فرقاً بين مربعين: - $81 = 9^2$ - $4c^2 = (2c)^2$ 2. نطبق القانون: $81 - 4c^2 = 9^2 - (2c)^2 = (9 - 2c)(9 + 2c)$
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب) $9s^2 - 4p^2$** 1. نعيد كتابة العبارة لتصبح فرقاً بين مربعين: - $9s^2 = (3s)^2$ - $4p^2 = (2p)^2$ 2. نطبق القانون: $9s^2 - 4p^2 = (3s)^2 - (2p)^2 = (3s - 2p)(3s + 2p)$
5. **الخطوة 5: الإجابات النهائية** - **الجزء (أ):** العوامل هي $(9 - 2c)$ و $(9 + 2c)$. - **الجزء (ب):** العوامل هي $(3s - 2p)$ و $(3s + 2p)$.

ما تعريف الفرق بين مربعين في الجبر؟

• أ) تعبير جبري على الصورة أ² + ب²، حيث يكون هناك جمع بين مربعين كاملين.
• ب) تعبير جبري على الصورة أ³ - ب³، حيث يكون هناك طرح بين مكعبين كاملين.
• ج) تعبير جبري على الصورة أ² - ب²، حيث يكون هناك طرح بين مربعين كاملين.
• د) تعبير جبري على الصورة أ² + ب، حيث يكون هناك جمع بين مربع وحد.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تعبير جبري على الصورة أ² - ب²، حيث يكون هناك طرح بين مربعين كاملين.

الشرح: الفرق بين مربعين هو تعبير يتكون من حدين، كلاهما مربع كامل وبينهما إشارة طرح، مثل س² - ٢٥.

تلميح: فكر في الشكل العام للعبارة والعملية الأساسية بين الحدين.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الصيغة الصحيحة لتحليل الفرق بين مربعين أ² - ب²؟

• أ) (أ - ب)²
• ب) (أ + ب)²
• ج) (أ - ب)(أ + ب)
• د) أ² + ٢أب + ب²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (أ - ب)(أ + ب)

الشرح: الصيغة الأساسية لتحليل الفرق بين مربعين هي أن مربع العدد الأول ناقص مربع العدد الثاني يساوي حاصل ضرب فرق العددين في مجموعهما.

تلميح: تذكر كيف تتوزع الأقواس لتلغي الحدود الوسطى.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند تحليل كثيرة الحدود ١٦هـ² - ٩أ² باستخدام الفرق بين مربعين، ما الخطوة الأولى التي يجب اتباعها؟

• أ) إيجاد القاسم المشترك الأكبر للحدين.
• ب) إعادة كتابة العبارة على صورة (٤هـ)² - (٣أ)².
• ج) تطبيق قانون الفرق بين مكعبين مباشرة.
• د) جمع الحدود المتشابهة في العبارة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إعادة كتابة العبارة على صورة (٤هـ)² - (٣أ)².

الشرح: الخطوة الأولى في تحليل الفرق بين مربعين هي تحديد الجذر التربيعي لكل حد وإعادة كتابة العبارة على صورة (الحد الأول)² - (الحد الثاني)².

تلميح: قبل تطبيق القانون، يجب تحديد المربعات الكاملة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في حالة كثيرة الحدود ٢٧جـ³ - ٣جـ، ما الخطوة الأساسية الواجب اتخاذها قبل تطبيق قانون الفرق بين مربعين؟

• أ) تطبيق قانون الفرق بين مربعين مباشرة.
• ب) إخراج العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ) ٣جـ أولاً.
• ج) إعادة ترتيب الحدود تنازلياً حسب القوى.
• د) البحث عن عددين حاصل ضربهما ٢٧ وحاصل جمعهما -٣.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إخراج العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ) ٣جـ أولاً.

الشرح: عند تحليل أي كثيرة حدود، الخطوة الأولى والأساسية هي البحث عن العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ) وإخراجه، لأنه يبسط العبارة ويجعل تطبيق طرق التحليل الأخرى أسهل.

تلميح: دائماً ابحث عن عامل مشترك قبل البدء في أي طريقة تحليل أخرى.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي من الخيارات التالية يمثل التحليل الصحيح لكثيرة الحدود ٨١ - جـ²؟

• أ) (٩ - جـ)²
• ب) (٨١ - جـ)(٨١ + جـ)
• ج) (٩ - جـ)(٩ + جـ)
• د) (٩ - ٢جـ)(٩ + ٢جـ)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٩ - جـ)(٩ + جـ)

الشرح: العبارة ٨١ - جـ² هي فرق بين مربعين، حيث ٨١ = ٩² و جـ² = جـ². بتطبيق قانون الفرق بين مربعين: أ² - ب² = (أ - ب)(أ + ب)، نحصل على (٩ - جـ)(٩ + جـ).

تلميح: تذكر أن ٨١ هي مربع العدد ٩.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل