الأمثلة ١ - ٣ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: الأمثلة ١ - ٣

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 صفحة تمارين وأسئلة

هذه الصفحة تحتوي على أسئلة مرقمة للواجبات والتقييم.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة على أسئلة الصفحة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تأكد

الأمثلة ١ - ٣

نوع: محتوى تعليمي

الأمثلة ١ - ٣

نوع: محتوى تعليمي

حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية":

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١) ٢س² + ٢٢س + ٥٦

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢) ٥س² - ٣س + ٤

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٣) ٣س² - ١١س - ٢٠

مثال ٤

نوع: محتوى تعليمي

مثال ٤

نوع: محتوى تعليمي

حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٤) ٢س² + ٩س + ٩ = ٠

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٥) ٣س² - ١٠س + ٨ = ٠

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٦) ٢س² - ١٧س + ٣٠ = ٠

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٧) رمي القرص: يرمي خالد القرص المعدني كما في الشكل المجاور.

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

الأمثلة ١ - ٣

نوع: محتوى تعليمي

الأمثلة ١ - ٣

نوع: محتوى تعليمي

حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية":

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٨) ٥س² + ٣٤س + ٢٤

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٩) ٤س² + ٣٨س + ٧٠

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٠) ٢س² - ٣س - ٩

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١١) ٤س² - ١٣س + ١٠

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٢) ٢س² + ٣س + ٦

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٣) ١٢س² + ٦٩س + ٤٥

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٤) ٤س² - ٥س + ٧

15

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٥) ٥س² + ٢٣س + ٢٤

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٦) ٣س² - ٨س + ١٥

مثال ٤

نوع: محتوى تعليمي

مثال ٤

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٧) صيد: أطلق صياد طلقة نارية ارتفاعها تمثله المعادلة ع = -٥ن² + ٩ن + ٢. بعد كم ثانية تصل الطلقة إلى الأرض؟

نوع: محتوى تعليمي

حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل:

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٨) ٢س² + ٩س - ١٨ = ٠

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

١٩) ٤س² + ١٧س + ١٥ = ٠

20

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٠) -٣س² + ٢٦س = ١٦

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢١) -٢س² + ١٣س = ١٥

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٢) -٣س² + ٥س = -٢

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٣) -٤س² + ١٩س = -٣٠

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٤) نظرية الأعداد: ستة أمثال مربع العدد س مضافاً إليها ١١ مثلاً للعدد يساوي ٢. ما القيم الممكنة لـ س؟

نوع: محتوى تعليمي

حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية":

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٥) -٦س² - ٢٣س - ٢٠

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٦) -٤س² - ١٥س - ١٤

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٧) -٥س² + ١٨س + ٨

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٨) -٦س² + ٣١س - ٣٥

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٢٩) -٤س² + ٥س - ١٢

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٣٠) -١١س² + س + ٢٠

🔍 عناصر مرئية

A diagram showing a person throwing a disc. The trajectory is represented by a dashed red parabolic curve starting from the person's hand and ending on the ground. The equation of the height 'ع' relative to time 'ن' is written above the curve.

📄 النص الكامل للصفحة

تأكد --- SECTION: الأمثلة ١ - ٣ --- الأمثلة ١ - ٣ حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": --- SECTION: 1 --- ١) ٢س² + ٢٢س + ٥٦ --- SECTION: 2 --- ٢) ٥س² - ٣س + ٤ --- SECTION: 3 --- ٣) ٣س² - ١١س - ٢٠ --- SECTION: مثال ٤ --- مثال ٤ حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: --- SECTION: 4 --- ٤) ٢س² + ٩س + ٩ = ٠ --- SECTION: 5 --- ٥) ٣س² - ١٠س + ٨ = ٠ --- SECTION: 6 --- ٦) ٢س² - ١٧س + ٣٠ = ٠ --- SECTION: 7 --- ٧) رمي القرص: يرمي خالد القرص المعدني كما في الشكل المجاور. أ. ما الارتفاع الابتدائي للقرص؟ ب. بعد كم ثانية يصل القرص إلى الارتفاع نفسه الذي قذف منه؟ تدرب وحل المسائل --- SECTION: الأمثلة ١ - ٣ --- الأمثلة ١ - ٣ حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": --- SECTION: 8 --- ٨) ٥س² + ٣٤س + ٢٤ --- SECTION: 9 --- ٩) ٤س² + ٣٨س + ٧٠ --- SECTION: 10 --- ١٠) ٢س² - ٣س - ٩ --- SECTION: 11 --- ١١) ٤س² - ١٣س + ١٠ --- SECTION: 12 --- ١٢) ٢س² + ٣س + ٦ --- SECTION: 13 --- ١٣) ١٢س² + ٦٩س + ٤٥ --- SECTION: 14 --- ١٤) ٤س² - ٥س + ٧ --- SECTION: 15 --- ١٥) ٥س² + ٢٣س + ٢٤ --- SECTION: 16 --- ١٦) ٣س² - ٨س + ١٥ --- SECTION: مثال ٤ --- مثال ٤ --- SECTION: 17 --- ١٧) صيد: أطلق صياد طلقة نارية ارتفاعها تمثله المعادلة ع = -٥ن² + ٩ن + ٢. بعد كم ثانية تصل الطلقة إلى الأرض؟ حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: --- SECTION: 18 --- ١٨) ٢س² + ٩س - ١٨ = ٠ --- SECTION: 19 --- ١٩) ٤س² + ١٧س + ١٥ = ٠ --- SECTION: 20 --- ٢٠) -٣س² + ٢٦س = ١٦ --- SECTION: 21 --- ٢١) -٢س² + ١٣س = ١٥ --- SECTION: 22 --- ٢٢) -٣س² + ٥س = -٢ --- SECTION: 23 --- ٢٣) -٤س² + ١٩س = -٣٠ --- SECTION: 24 --- ٢٤) نظرية الأعداد: ستة أمثال مربع العدد س مضافاً إليها ١١ مثلاً للعدد يساوي ٢. ما القيم الممكنة لـ س؟ حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": --- SECTION: 25 --- ٢٥) -٦س² - ٢٣س - ٢٠ --- SECTION: 26 --- ٢٦) -٤س² - ١٥س - ١٤ --- SECTION: 27 --- ٢٧) -٥س² + ١٨س + ٨ --- SECTION: 28 --- ٢٨) -٦س² + ٣١س - ٣٥ --- SECTION: 29 --- ٢٩) -٤س² + ٥س - ١٢ --- SECTION: 30 --- ٣٠) -١١س² + س + ٢٠ --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a person throwing a disc. The trajectory is represented by a dashed red parabolic curve starting from the person's hand and ending on the ground. The equation of the height 'ع' relative to time 'ن' is written above the curve. X-axis: Time (ن) Y-axis: Height (ع) Context: Visual representation of a quadratic function in a real-world context (projectile motion) to help solve height and time questions.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 30

سؤال 1: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١) ٢ س^٢ + ٧ س + ٥٦

الإجابة: (س + ٧)(٢ س + ٨)

سؤال 2: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٢) ٥ س^٢ - ٣ س + ٤

الإجابة: أولية

سؤال 3: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٣) ٢ س^٢ - ١١ س - ٢٠

الإجابة: (س - ٤)(٢ س + ٥)

سؤال 4: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٤) ٤ س^٢ + ٩ س = ٠

الإجابة: س = ٠ أو س = -٩/٤

سؤال 5: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٥) ٣ س^٢ - ١٠ س + ٨ = ٠

الإجابة: أولية

سؤال 6: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٦) ٢ س^٢ - ١٧ س + ٣٠ = ٠

الإجابة: س = ٥ أو س = ٣/٢

سؤال 7: رمي القرص: يرمي خالد القرص المعدني كما في الشكل المجاور. أ) ما الارتفاع الابتدائي للقرص؟ ب) بعد كم ثانية يصل القرص إلى الارتفاع نفسه الذي قذف منه؟

الإجابة: أ) ٥ أقدام، ب) ٢ ثانية

سؤال 8: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٨) ٥ س^٢ + ٣ س + ٢٤

الإجابة: أولية

سؤال 9: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٩) ٤ س^٢ + ٣٨ س + ٧٠

الإجابة: (س + ٧)(٤ س + ١٠)

سؤال 10: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١٠) ٦ س^٢ - ٩ س - ٩

الإجابة: (٢ س - ٣)(٣ س + ٣)

سؤال 11: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١١) ٤ س^٢ - ١٣ س + ١٠

الإجابة: (٤ س - ٥)(س - ٢)

سؤال 12: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١٢) ٦ س^٢ + ٣ س + ٦

الإجابة: أولية

سؤال 13: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١٣) ١٢ س^٢ + ٦٩ س + ٤٥

الإجابة: (٣ س + ٣)(٤ س + ٥)

سؤال 14: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١٤) ٤ س^٢ - ٥ س + ٧

الإجابة: أولية

سؤال 15: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١٥) ٥ س^٢ + ٢٣ س + ٢٤

الإجابة: (٥ س + ٨)(س + ٣)

سؤال 16: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (١٦) ٨ س^٢ - ١٥ س + ٧

الإجابة: (٨ س - ٧)(س - ١)

سؤال 17: سيد: أطلق صياد طلقة نارية ارتفاعها تمثله المعادلة ع = -٥ ن^٢ + ٩ ن + ٢. بعد كم ثانية تصل الطلقة إلى الأرض؟

الإجابة: بعد ٢ ثانية.

سؤال 18: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (١٨) ٢ س^٢ + ٩ س - ١٨ = ٠

الإجابة: س = ٣ أو س = -٦

سؤال 19: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (١٩) ٤ س^٢ + ١٧ س + ١٠ = ٠

الإجابة: س = -٥/٤ أو س = -٢

سؤال 20: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٢٠) ٦ س^٢ - ١٦ س + ٨ = ٠

الإجابة: س = ٢ أو س = ٢/٣

سؤال 21: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٢١) ٢ س^٢ + ٣ س - ١٥ = ٠

الإجابة: س = -٣ أو س = ٥/٢

سؤال 22: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٢٢) ٣ س^٢ - ٥ س = ٠

الإجابة: س = ٠ أو س = ٥/٣

سؤال 23: حلل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (٢٣) ٤ س^٢ - ١٩ س + ٦ = ٠

الإجابة: س = ٤ أو س = ٣/٤

سؤال 24: نظرية الأعداد: ستة أمثال مربع العدد س مضافاً إليها ١١ مثلاً للعدد يساوي ٢. ما القيم الممكنة لـ س؟

الإجابة: س = ١/٦ أو س = -٢

سؤال 25: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٢٥) ٦ س^٢ - ٢٣ س - ٢٠

الإجابة: (٦ س + ٧)(س - ٤)

سؤال 26: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٢٦) ٤ س^٢ - ١٥ س - ١٤

الإجابة: (٤ س + ٧)(س - ٢)

سؤال 27: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٢٧) ٥ س^٢ - ١٨ س + ٨

الإجابة: (٥ س - ٨)(س - ١)

سؤال 28: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٢٨) ٦ س^٢ + ٣١ س + ٣٥

الإجابة: (٦ س + ٧)(س + ٥)

سؤال 29: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٢٩) ٤ س^٢ - ٥ س - ١٢

الإجابة: (٤ س + ٧)(س - ٣)

سؤال 30: حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": (٣٠) ١٢ س^٢ + ٨ س + ٤

الإجابة: (٦ س + ٤)(٢ س + ١)

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 20 بطاقة لهذه الصفحة

حلل كثيرة الحدود التالية: ٢س² + ٢٢س + ٥٦

  • أ) 2(س + 4)(س + 7)
  • ب) 2(س + 2)(س + 14)
  • ج) (س + 4)(س + 7)
  • د) 2(س - 4)(س + 7)

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 2(س + 4)(س + 7)

الشرح: 1. استخرج العامل المشترك الأكبر (2) من الحدود كلها: 2(س² + 11س + 28). 2. حلل ثلاثية الحدود الناتجة (س² + 11س + 28) إلى عاملين، حيث نبحث عن عددين حاصل ضربهما 28 ومجموعهما 11. العددان هما 4 و 7. 3. تصبح كثيرة الحدود بعد التحليل: 2(س + 4)(س + 7).

تلميح: ابحث عن العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم حلل ثلاثية الحدود الناتجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٥س² - ٣س + ٤

  • أ) (5س + 1)(س + 4)
  • ب) (5س - 4)(س - 1)
  • ج) أولية
  • د) (5س - 1)(س + 4)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أولية

الشرح: 1. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (معامل س² × الحد الثابت) = 5 × 4 = 20، ومجموعهما يساوي معامل س وهو -3. 2. عوامل العدد 20 هي: (1, 20), (2, 10), (4, 5). لا توجد أي زوج من هذه العوامل أو سلبياتها مجموعها -3. 3. بما أنه لا توجد أعداد صحيحة تحقق هذا الشرط، فإن كثيرة الحدود هذه أولية (لا يمكن تحليلها باستعمال الأعداد الصحيحة).

تلميح: جرب إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل س² والحد الثابت، ومجموعهما يساوي معامل س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التالية، وتحقق من صحة الحل: ٢س² + ٩س + ٩ = ٠

  • أ) س = 3 أو س = 3/2
  • ب) س = -3 أو س = -3/2
  • ج) س = -9/2 أو س = -1
  • د) س = -3 أو س = 2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = -3 أو س = -3/2

الشرح: 1. حلل المعادلة التربيعية إلى عاملين: (2س + 3)(س + 3) = 0. 2. ساوي كل عامل بالصفر: 2س + 3 = 0 أو س + 3 = 0. 3. حل المعادلة الأولى: 2س = -3 => س = -3/2. 4. حل المعادلة الثانية: س = -3. 5. إذن، الحلول هي س = -3 أو س = -3/2.

تلميح: حلل ثلاثية الحدود إلى عاملين، ثم ساوي كل عامل بالصفر لإيجاد قيم س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

صيد: أطلق صياد طلقة نارية ارتفاعها تمثله المعادلة ع = -٥ن² + ٩ن + ٢. بعد كم ثانية تصل الطلقة إلى الأرض؟

  • أ) 1/5 ثانية
  • ب) 9 ثوانٍ
  • ج) 2 ثانية
  • د) -1/5 ثانية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 2 ثانية

الشرح: 1. عندما تصل الطلقة إلى الأرض، يكون الارتفاع (ع) يساوي صفرًا: -٥ن² + ٩ن + ٢ = ٠. 2. اضرب المعادلة في -1 لتسهيل التحليل: ٥ن² - ٩ن - ٢ = ٠. 3. حلل المعادلة التربيعية: (5ن + 1)(ن - 2) = 0. 4. ساوي كل عامل بالصفر: 5ن + 1 = 0 => ن = -1/5، أو ن - 2 = 0 => ن = 2. 5. بما أن الزمن لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن ن = 2 ثانية.

تلميح: تذكر أن الارتفاع يكون صفراً عندما تصل الطلقة إلى الأرض، والوقت يجب أن يكون قيمة موجبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": -٦س² - ٢٣س - ٢٠

  • أ) (3س + 4)(2س + 5)
  • ب) -(3س + 4)(2س + 5)
  • ج) (6س - 4)(س - 5)
  • د) -(6س + 5)(س + 4)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -(3س + 4)(2س + 5)

الشرح: 1. استخرج العامل المشترك (-1) من كثيرة الحدود: -(٦س² + ٢٣س + ٢٠). 2. حلل ثلاثية الحدود (٦س² + ٢٣س + ٢٠). ابحث عن عددين حاصل ضربهما (6 × 20 = 120) ومجموعهما 23. العددان هما 8 و 15. 3. أعد كتابة ثلاثية الحدود وحللها بالتجميع: ٦س² + ٨س + ١٥س + ٢٠ = 2س(3س + 4) + 5(3س + 4) = (2س + 5)(3س + 4). 4. الناتج النهائي: -(2س + 5)(3س + 4).

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك (-1) لجعل معامل س² موجبًا، ثم حلل ثلاثية الحدود الناتجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٣س² - ١١س - ٢٠

  • أ) (٣س - ٤)(س + ٥)
  • ب) (٣س + ٤)(س - ٥)
  • ج) (س + ٤)(٣س - ٥)
  • د) (٣س - ٥)(س + ٤)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (٣س + ٤)(س - ٥)

الشرح: ١. نبحث عن عاملين لـ ٣س² هما (٣س) و (س). ٢. نبحث عن عاملين لـ -٢٠ هما ٤ و -٥ (أو -٤ و ٥، وهكذا). ٣. نتحقق من مجموع حاصل ضرب الطرفين والوسطين: (٣س × -٥) + (٤ × س) = -١٥س + ٤س = -١١س. ٤. بما أن الحد الأوسط صحيح، فإن التحليل هو (٣س + ٤)(س - ٥).

تلميح: ابحث عن عاملين للحد الأول (٣س²) وعاملين للحد الأخير (-٢٠) بحيث يكون مجموع حاصل ضرب الطرفين والوسطين يساوي الحد الأوسط (-١١س).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التالية، وتحقق من صحة الحل: ٣س² - ١٠س + ٨ = ٠

  • أ) س = -٤/٣ أو س = -٢
  • ب) س = ٤ أو س = ٨/٣
  • ج) س = ٤/٣ أو س = ٢
  • د) س = ٣/٤ أو س = ٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = ٤/٣ أو س = ٢

الشرح: ١. نحلل ثلاثية الحدود: ٣س² - ١٠س + ٨ = (٣س - ٤)(س - ٢). ٢. نساوي كل عامل بالصفر: (٣س - ٤) = ٠ أو (س - ٢) = ٠. ٣. من (٣س - ٤) = ٠، نحصل على ٣س = ٤، وبالتالي س = ٤/٣. ٤. من (س - ٢) = ٠، نحصل على س = ٢. ٥. الحلول هي س = ٤/٣ أو س = ٢.

تلميح: ابدأ بتحليل ثلاثية الحدود إلى عاملين، ثم ساوِ كل عامل بالصفر لإيجاد قيم س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التالية، وتحقق من صحة الحل: ٢س² - ١٧س + ٣٠ = ٠

  • أ) س = ٥/٢ أو س = ٦
  • ب) س = -٥/٢ أو س = -٦
  • ج) س = ٥ أو س = ٦
  • د) س = ٦ أو س = ٣/٢

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = ٥/٢ أو س = ٦

الشرح: ١. نحلل ثلاثية الحدود: ٢س² - ١٧س + ٣٠ = (٢س - ٥)(س - ٦). ٢. نساوي كل عامل بالصفر: (٢س - ٥) = ٠ أو (س - ٦) = ٠. ٣. من (٢س - ٥) = ٠، نحصل على ٢س = ٥، وبالتالي س = ٥/٢. ٤. من (س - ٦) = ٠، نحصل على س = ٦. ٥. (مراجعة الإجابة من دليل المعلم): الحلول هي س = ٥ أو س = ٣/٢. (هذا يعني أنني قد أخطأت في التحليل). لنتحقق من (٢س - ٥)(س - ٦) = ٢س² - ١٢س - ٥س + ٣٠ = ٢س² - ١٧س + ٣٠. هذا صحيح. لنتحقق من دليل المعلم: (س - ٥)(٢س - ٦) = 2س^2 - 6س - 10س + 30 = 2س^2 - 16س + 30 (خطأ). الاجابة الصحيحة من دليل المعلم هي س=5 أو س=3/2. إذا كانت س=5، (2*25 - 17*5 + 30) = 50 - 85 + 30 = -5 (خطأ). إذا كانت س=3/2، (2*(3/2)^2 - 17*(3/2) + 30) = 2*(9/4) - 51/2 + 30 = 9/2 - 51/2 + 60/2 = (9-51+60)/2 = 18/2 = 9 (خطأ). هناك خطأ في دليل المعلم أو في نقل السؤال. سأقوم بحل المعادلة: 2س² - 17س + 30 = 0 التحليل الصحيح يجب أن يكون (2س - 5)(س - 6) يعطي 2س² - 17س + 30 = 0. قيم س هي س = 5/2 أو س = 6. ولكن دليل المعلم يقول 5 و 3/2. لتطابق دليل المعلم: (س-5)(2س-6) = 2س^2-16س+30 ≠ 0. أو (س - 6)(2س - 5) -> 2س^2 - 5س - 12س + 30 = 2س^2 - 17س + 30. إذن، (2س-5) = 0 -> س=5/2. و (س-6) = 0 -> س=6. بما أن دليل المعلم إلزامي، فإما أن المسألة مختلفة أو هناك خطأ. سأبحث عن إجابة دليل المعلم مرة أخرى. السؤال 6: `٢ س^٢ - ١٧ س + ٣٠ = ٠` الإجابة: `س = ٥ أو س = ٣/٢`. إذا كانت س=5: 2(25) - 17(5) + 30 = 50 - 85 + 30 = -5. هذا ليس صفر. إذا كانت س=3/2: 2(9/4) - 17(3/2) + 30 = 9/2 - 51/2 + 60/2 = (9-51+60)/2 = 18/2 = 9. هذا ليس صفر. يبدو أن هناك خطأ في الإجابة المقدمة في دليل المعلم أو في نقلي لها. سأفترض أن السؤال هو ما مكتوب، وسأحلّه بشكل صحيح: `٢س² - ١٧س + ٣٠ = ٠` بتحليل ثلاثية الحدود: (٢س - ٥)(س - ٦) = ٠ إذن: ٢س - ٥ = ٠ أو س - ٦ = ٠ ٢س = ٥ أو س = ٦ س = ٥/٢ أو س = ٦ سأستخدم هذه الإجابة في البطاقة.

تلميح: استخدم طريقة تحليل ثلاثية الحدود إلى عاملين، ثم أوجد قيم س التي تجعل كل عامل يساوي صفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٥س² + ٣٤س + ٢٤

  • أ) (٥س + ٦)(س + ٤)
  • ب) (٥س + ٨)(س + ٣)
  • ج) (٥س + ٤)(س + ٦)
  • د) (٥س + ٢)(س + ١٢)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٥س + ٤)(س + ٦)

الشرح: ١. نبحث عن عاملين لـ ٥س² هما (٥س) و (س). ٢. نبحث عن عاملين لـ ٢٤ هما ٤ و ٦ (أو أزواج عوامل أخرى). ٣. نتحقق من مجموع حاصل ضرب الطرفين والوسطين: (٥س × ٦) + (٤ × س) = ٣٠س + ٤س = ٣٤س. ٤. بما أن الحد الأوسط صحيح، فإن التحليل هو (٥س + ٤)(س + ٦).

تلميح: ابحث عن عاملين للحد الأول (٥س²) وعاملين للحد الأخير (٢٤) بحيث يكون مجموع حاصل ضرب الطرفين والوسطين يساوي الحد الأوسط (٣٤س).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٤س² + ٣٨س + ٧٠

  • أ) (٤س + ٥)(س + ١٤)
  • ب) (٤س + ٧)(س + ١٠)
  • ج) (٢س + ٥)(٢س + ١٤)
  • د) (س + ٧)(٤س + ١٠)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (س + ٧)(٤س + ١٠)

الشرح: ١. نلاحظ أن جميع المعاملات زوجية، يمكن إخراج ٢ كعامل مشترك: ٢(٢س² + ١٩س + ٣٥). ٢. الآن نحلل (٢س² + ١٩س + ٣٥). ٣. نبحث عن عاملين لـ ٢س² هما (٢س) و (س). ٤. نبحث عن عاملين لـ ٣٥ هما ٧ و ٥ (أو أزواج عوامل أخرى). ٥. نتحقق من مجموع حاصل ضرب الطرفين والوسطين: (٢س × ٥) + (٧ × س) = ١٠س + ٧س = ١٧س. (خطأ، نحتاج ١٩س) ٦. نجرب (٢س + ٧)(س + ٥) = ٢س² + ١٠س + ٧س + ٣٥ = ٢س² + ١٧س + ٣٥. (خطأ) ٧. نجرب (٢س + ٥)(س + ٧) = ٢س² + ١٤س + ٥س + ٣٥ = ٢س² + ١٩س + ٣٥. (صحيح). ٨. إذن، التحليل الكامل هو ٢(٢س + ٥)(س + ٧) أو (٤س + ١٠)(س + ٧).

تلميح: يمكنك إخراج عامل مشترك أولاً لتسهيل التحليل، ثم ابحث عن عاملين للحد الأول وعاملين للحد الأخير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٢س² - ٣س - ٩

  • أ) (٢س - ٣)(س + ٣)
  • ب) (س + ٣)(٢س - ٣)
  • ج) (٢س + ٣)(س - ٣)
  • د) (٢س - ٩)(س + ١)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٢س + ٣)(س - ٣)

الشرح: ١. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٢ × -٩ = -١٨) ومجموعهما -٣. العددين هما -٦ و ٣. ٢. نعيد كتابة الحد الأوسط: ٢س² - ٦س + ٣س - ٩. ٣. بالتجميع: (٢س² - ٦س) + (٣س - ٩) = ٢س(س - ٣) + ٣(س - ٣). ٤. نأخذ العامل المشترك (س - ٣): (٢س + ٣)(س - ٣).

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما (معامل س²) × (الحد الثابت) ومجموعهما (معامل س).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٤س² - ١٣س + ١٠

  • أ) (٤س + ٥)(س + ٢)
  • ب) (٢س - ٥)(٢س - ٢)
  • ج) (٤س - ١٠)(س - ١)
  • د) (٤س - ٥)(س - ٢)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (٤س - ٥)(س - ٢)

الشرح: ١. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٤ × ١٠ = ٤٠) ومجموعهما -١٣. العددين هما -٨ و -٥. ٢. نعيد كتابة الحد الأوسط: ٤س² - ٨س - ٥س + ١٠. ٣. بالتجميع: (٤س² - ٨س) + (-٥س + ١٠) = ٤س(س - ٢) - ٥(س - ٢). ٤. نأخذ العامل المشترك (س - ٢): (٤س - ٥)(س - ٢).

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما (معامل س²) × (الحد الثابت) ومجموعهما (معامل س).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٢س² + ٣س + ٦

  • أ) (٢س + ٣)(س + ٢)
  • ب) أولية
  • ج) (٢س + ٦)(س + ١)
  • د) (س + ٣)(٢س + ٢)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أولية

الشرح: ١. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٢ × ٦ = ١٢) ومجموعهما ٣. ٢. عوامل العدد ١٢ هي (١, ١٢)، (٢, ٦)، (٣, ٤). ٣. مجموع أي زوج من هذه العوامل (١+١٢=١٣، ٢+٦=٨، ٣+٤=٧) لا يساوي ٣. ٤. بما أنه لا توجد أعداد صحيحة تحقق الشرط، فإن كثيرة الحدود "أولية".

تلميح: تحقق من وجود عددين صحيحين حاصل ضربهما (معامل س²) × (الحد الثابت) ومجموعهما (معامل س).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ١٢س² + ٦٩س + ٤٥

  • أ) (٣س + ٣)(٤س + ٥)
  • ب) ٣(س + ٣)(٤س + ٥)
  • ج) ٣(س + ٥)(٤س + ٣)
  • د) ٣(٤س + ١)(س + ١٥)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٣(س + ٥)(٤س + ٣)

الشرح: ١. نوجد العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ) للحدود: ق.م.أ (١٢, ٦٩, ٤٥) = ٣. ٢. نقسم كثيرة الحدود على ق.م.أ: ٣(٤س² + ٢٣س + ١٥). ٣. نحلل كثيرة الحدود داخل القوس: نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٤ × ١٥ = ٦٠) ومجموعهما ٢٣. العددين هما ٣ و ٢٠. ٤. نعيد كتابة الحد الأوسط: ٤س² + ٣س + ٢٠س + ١٥. ٥. بالتجميع: س(٤س + ٣) + ٥(٤س + ٣) = (س + ٥)(٤س + ٣). ٦. إذن التحليل الكامل هو: ٣(س + ٥)(٤س + ٣).

تلميح: ابدأ دائماً بإيجاد العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ) إن وجد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٤س² - ٥س + ٧

  • أ) (٤س - ٧)(س - ١)
  • ب) أولية
  • ج) (٢س - ٧)(٢س - ١)
  • د) (٤س + ٧)(س - ١)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أولية

الشرح: ١. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٤ × ٧ = ٢٨) ومجموعهما -٥. ٢. عوامل العدد ٢٨ هي (١, ٢٨)، (٢, ١٤)، (٤, ٧). ٣. مجموع أي زوج من هذه العوامل بالموجب أو السالب لا يساوي -٥. ٤. بما أنه لا توجد أعداد صحيحة تحقق الشرط، فإن كثيرة الحدود "أولية".

تلميح: إذا لم تجد عددين صحيحين حاصل ضربهما (أ × ج) ومجموعهما (ب)، فكثيرة الحدود أولية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٣س² - ٨س + ١٥

  • أ) (٣س - ٥)(س - ٣)
  • ب) (٣س + ٥)(س + ٣)
  • ج) أولية
  • د) (٣س - ٩)(س - ٥)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أولية

الشرح: ١. لحل ٣س² - ٨س + ١٥، نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٣ × ١٥ = ٤٥) وحاصل جمعهما (-٨). ٢. عوامل العدد ٤٥ هي (١, ٤٥)، (٣, ١٥)، (٥, ٩). ٣. لا يوجد زوج من هذه العوامل يمكن أن يعطي مجموع -٨. ٤. لذلك، لا يمكن تحليل كثيرة الحدود هذه باستعمال الأعداد الصحيحة، فهي "أولية".

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما (أ × ج) وحاصل جمعهما (ب). إذا لم توجد، تحقق من المميز (ب² - ٤أج).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التالية، وتحقق من صحة الحل: ٤س² + ١٧س + ١٥ = ٠

  • أ) س = -٥/٤ أو س = -٣
  • ب) س = ٥/٤ أو س = ٣
  • ج) س = -٣/٤ أو س = -٥
  • د) س = ٣/٤ أو س = ٥

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = -٥/٤ أو س = -٣

الشرح: ١. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٤ × ١٥ = ٦٠) وحاصل جمعهما (١٧)، وهما ٥ و ١٢. ٢. نعيد كتابة المعادلة: ٤س² + ٥س + ١٢س + ١٥ = ٠ ٣. نحلل بالتجميع: س(٤س + ٥) + ٣(٤س + ٥) = ٠ ٤. (٤س + ٥)(س + ٣) = ٠ ٥. إما ٤س + ٥ = ٠ (س = -٥/٤) أو س + ٣ = ٠ (س = -٣). ٦. الحلول هي: س = -٥/٤ أو س = -٣.

تلميح: استخدم طريقة تحليل كثيرات الحدود التربيعية (أ س² + ب س + ج) عن طريق إيجاد عددين حاصل ضربهما (أ × ج) وحاصل جمعهما (ب).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التالية، وتحقق من صحة الحل: -٣س² + ٢٦س = ١٦

  • أ) س = -٢/٣ أو س = -٨
  • ب) س = ٢/٣ أو س = ٨
  • ج) س = ٤ أو س = ٤/٣
  • د) س = ٤ أو س = -٤/٣

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ٢/٣ أو س = ٨

الشرح: ١. أعد ترتيب المعادلة: -٣س² + ٢٦س - ١٦ = ٠ ٢. اضرب في -١: ٣س² - ٢٦س + ١٦ = ٠ ٣. ابحث عن عددين حاصل ضربهما (٣ × ١٦ = ٤٨) وحاصل جمعهما (-٢٦)، وهما -٢ و -٢٤. ٤. أعد كتابة: ٣س² - ٢س - ٢٤س + ١٦ = ٠ ٥. حلل بالتجميع: س(٣س - ٢) - ٨(٣س - ٢) = ٠ ٦. (٣س - ٢)(س - ٨) = ٠ ٧. إما ٣س - ٢ = ٠ (س = ٢/٣) أو س - ٨ = ٠ (س = ٨). ٨. الحلول هي: س = ٢/٣ أو س = ٨.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة لتصبح بالصورة القياسية أ س² + ب س + ج = ٠، ثم قم بتحليلها أو استخدم القانون العام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثيرة الحدود التالية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": -٤س² - ١٥س - ١٤

  • أ) (٤س - ٧)(س - ٢)
  • ب) -(٤س + ٧)(س + ٢)
  • ج) (٤س + ٧)(س - ٢)
  • د) أولية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: -(٤س + ٧)(س + ٢)

الشرح: ١. اخرج العامل المشترك -١: -(٤س² + ١٥س + ١٤) ٢. حلل ثلاثي الحدود ٤س² + ١٥س + ١٤. ابحث عن عددين حاصل ضربهما (٤ × ١٤ = ٥٦) وحاصل جمعهما (١٥)، وهما ٧ و ٨. ٣. أعد كتابة: ٤س² + ٧س + ٨س + ١٤ ٤. حلل بالتجميع: س(٤س + ٧) + ٢(٤س + ٧) ٥. (٤س + ٧)(س + ٢) ٦. أضف العامل -١ الأصلي: -(٤س + ٧)(س + ٢).

تلميح: اخرج العامل المشترك -١ أولاً لجعل المعامل الرئيسي موجباً، ثم قم بتحليل ثلاثي الحدود الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

نظرية الأعداد: ستة أمثال مربع العدد س مضافاً إليها ١١ مثلاً للعدد يساوي ٢. ما القيم الممكنة لـ س؟

  • أ) س = ٦ أو س = -١
  • ب) س = ١/٦ أو س = -٢
  • ج) س = -١/٦ أو س = ٢
  • د) س = -٦ أو س = ١

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ١/٦ أو س = -٢

الشرح: ١. ترجم المسألة إلى معادلة: ٦س² + ١١س = ٢ ٢. أعد ترتيب المعادلة: ٦س² + ١١س - ٢ = ٠ ٣. ابحث عن عددين حاصل ضربهما (٦ × -٢ = -١٢) وحاصل جمعهما (١١)، وهما ١٢ و -١. ٤. أعد كتابة: ٦س² + ١٢س - س - ٢ = ٠ ٥. حلل بالتجميع: ٦س(س + ٢) - ١(س + ٢) = ٠ ٦. (٦س - ١)(س + ٢) = ٠ ٧. إما ٦س - ١ = ٠ (س = ١/٦) أو س + ٢ = ٠ (س = -٢). ٨. القيم الممكنة لـ س هي: ١/٦ أو -٢.

تلميح: اكتب المعادلة التربيعية التي تصف المسألة اللفظية، ثم حلها باستخدام التحليل إلى العوامل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب