الربط مع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 31: تخطيط: خططت بلدية إحدى المدن لبناء متنزه جديد مستطيل الشكل، يمكن التعبير عن مساحته بالعبارة: ٦٦٠ س^٢ + ٥٢٤ س + ٨٥. حلّل هذه العبارة لإيجاد ثنائيتي حد بمعاملات أعداد صحيحة تمثّل البعدين الممكنين للمتنزه. وإذا كانت س = ٨، فما محيط المتنزه؟

الإجابة: ٦٦٠ س^٢ + ٥٢٤ س + ٨٥ = (٢٢ س + ٥)(٣٠ س + ١٧) وعند س = ٨: البعدان ١٨١ و ٢٥٧، المحيط = ٢(١٨١ + ٢٥٧) = ٨٧٦

خطوات الحل:

1. ### الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب | المعطيات | الرمز / التعبير | القيمة / العبارة | |----------|----------------|------------------| | مساحة المتنزه (على شكل مستطيل) | - | $660س^2 + 524س + 85$ | | قيمة المتغير | $س$ | 8 | | **المطلوب** | | | | تحليل العبارة التربيعية إلى عاملين (بعدين) | - | ثنائيتي حد بمعاملات أعداد صحيحة | | حساب محيط المتنزه عند $س = 8$ | $محيط$ | ? |
2. ### الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم **تحليل ثلاثي الحدود التربيعي $أ س^2 + ب س + جـ$ عندما $أ \ne 1$:** 1. نضرب $أ \times جـ$. 2. نبحث عن عددين $م$ و $ن$ بحيث: - $م \times ن = أ \times جـ$ - $م + ن = ب$ 3. نعيد كتابة الحد الأوسط $ب س$ على شكل $م س + ن س$. 4. نحلل بالتجميع. > **ملاحظة:** البعدان هما عاملَا العبارة التربيعية، ومحيط المستطيل = $2 \times (الطول + العرض)$.
3. ### الخطوة 3: تحليل العبارة $660س^2 + 524س + 85$ 1. هنا $أ = 660$، $ب = 524$، $جـ = 85$. 2. $أ \times جـ = 660 \times 85 = 56100$. 3. نبحث عن عددين حاصل ضربهما $56100$ ومجموعهما $524$. | الضرب | المجموع | هل المجموع = 524؟ | |--------|---------|-------------------| | $510 \times 110$ | $510 + 110 = 620$ | ❌ | | $374 \times 150$ | $374 + 150 = 524$ | ✅ | إذن، $م = 374$ و $ن = 150$. 4. نعيد كتابة العبارة: $660س^2 + 374س + 150س + 85$ 5. نجمع الحدين الأولين والأخيرين: - من $660س^2 + 374س$ نخرج عاملاً مشتركاً $22س$: $22س(30س + 17)$ - من $150س + 85$ نخرج عاملاً مشتركاً $5$: $5(30س + 17)$ 6. نلاحظ أن $(30س + 17)$ عامل مشترك: $(30س + 17)(22س + 5)$ ∴ العبارة المحللة: $(22س + 5)(30س + 17)$.
4. ### الخطوة 4: إيجاد البعدين عند $س = 8$ - البعد الأول: $22س + 5 = 22(8) + 5 = 176 + 5 = 181$ - البعد الثاني: $30س + 17 = 30(8) + 17 = 240 + 17 = 257$ ∴ البعدان هما **181** و **257** وحدة طول (متر مثلاً).
5. ### الخطوة 5: حساب محيط المتنزه محيط المستطيل = $2 \times (الطول + العرض)$ $المحيط = 2 \times (181 + 257) = 2 \times 438 = 876$ ∴ المحيط = **876** وحدة طول.
6. ### الخطوة 6: الإجابة النهائية بتحليل العبارة التربيعية، نحصل على البعدين $(22س + 5)$ و $(30س + 17)$. وعند تعويض $س = 8$، يكون طولا ضلعي المتنزه **181 م** و **257 م**، ويكون محيطه **876 م**.

سؤال 33: اكتشف الخطأ: حلّ كلّ من زكريا وسامي المعادلة ٦ س^٢ - س = ١٢. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسّر ذلك.

الإجابة: زكريا صحيح. ٦ س^٢ - س - ١٢ = ٠، (٢ س - ٣)(٣ س + ٤) = ٠، س = ٣/٢ أو س = -٤/٣. سامي أخطأ بمساواة العوامل بـ ١٢.

خطوات الحل:

1. ### الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب | المعطيات | التعبير | |----------|---------| | المعادلة الأصلية | $6س^2 - س = 12$ | | حل زكريا | غير معطى تفصيلاً (لكن الإشارة أنه صحيح) | | حل سامي | غير معطى تفصيلاً (لكن الإشارة أنه أخطأ) | | **المطلوب** | تحديد من كانت إجابته صحيحة وتفسير السبب |
2. ### الخطوة 2: المبدأ المستخدم **لحل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل:** 1. نعيد كتابة المعادلة على الصورة القياسية: $أ س^2 + ب س + جـ = 0$. 2. نحلل الطرف الأيسر (ثلاثي الحدود) إلى عوامل. 3. نطبق **خاصية الضرب الصفري**: إذا كان $أ \times ب = 0$، فإن $أ = 0$ أو $ب = 0$. 4. نحل كل معادلة خطية ناتجة. > **تحذير شائع:** لا يمكن مساواة كل عامل بالحد الثابت (مثل 12) مباشرة دون جعل المعادلة تساوي صفراً.
3. ### الخطوة 3: حل المعادلة بشكل صحيح (طريقة زكريا) 1. ننقل 12 إلى الطرف الأيسر: $6س^2 - س - 12 = 0$ 2. نحلل ثلاثي الحدود $6س^2 - س - 12$: - $أ \times جـ = 6 \times (-12) = -72$ - نبحث عن عددين حاصل ضربهما $-72$ ومجموعهما $-1$ (معامل س). | الضرب | المجموع | |--------|---------| | $-9 \times 8 = -72$ | $-9 + 8 = -1$ ✅ | - نعيد الكتابة: $6س^2 - 9س + 8س - 12 = 0$ - بالتجميع: $3س(2س - 3) + 4(2س - 3) = 0$ - العامل المشترك: $(2س - 3)(3س + 4) = 0$ 3. نطبق خاصية الضرب الصفري: - $2س - 3 = 0$ → $س = \frac{3}{2}$ - $3س + 4 = 0$ → $س = -\frac{4}{3}$ ∴ حلّا المعادلة هما $س = \frac{3}{2}$ أو $س = -\frac{4}{3}$.
4. ### الخطوة 4: تحليل خطأ سامي (افتراضياً) > بناءً على الإجابة المرجعية، يُفترض أن سامي قام بالتحليل لكنه لم يجعل المعادلة تساوي صفراً، بل ساوى كل عامل بـ 12. **مثال على الخطأ:** - بعد التحليل إلى $(2س - 3)(3س + 4)$، قال: $2س - 3 = 12$ أو $3س + 4 = 12$ (وهذا خطأ). **التفسير:** لا يجوز فعل ذلك لأن **خاصية الضرب الصفري** تُطبَّق فقط عندما يكون حاصل الضرب يساوي **صفر**. إذا كان حاصل الضرب يساوي 12، فلا يعني أن أحد العوامل يساوي 12.
5. ### الخطوة 5: المقارنة والاستنتاج | | زكريا | سامي | |--|-------|------| | **الخطوة الأولى** | نقل 12 إلى الطرف الأيسر لتصبح المعادلة = 0 | لم ينقل 12 (أو لم يجعل المعادلة = 0) | | **تطبيق خاصية الضرب الصفري** | صحيح: $(2س-3)(3س+4)=0$ → كل عامل = 0 | خطأ: ساوى كل عامل بـ 12 | | **الحلول** | $\frac{3}{2}$ ، $-\frac{4}{3}$ | حلول خاطئة (مثلاً: $س=7.5$ من $2س-3=12$، و $س=\frac{8}{3}$ من $3س+4=12$) | ∴ **زكريا** هو الذي كانت إجابته صحيحة.
6. ### الخطوة 6: الإجابة النهائية الإجابة الصحيحة هي حل **زكريا**، لأنه أعاد كتابة المعادلة على الصورة القياسية $6س^2 - س - 12 = 0$، ثم حللها بشكل صحيح وطبق **خاصية الضرب الصفري**، فحصل على الحلين $س = \frac{3}{2}$ و $س = -\frac{4}{3}$. أما سامي فقد أخطأ بتطبيق خاصية الضرب الصفري بشكل غير صحيح، حيث ساوى كل عامل بالعدد 12 بدلاً من الصفر.

سؤال 34: مسألة مفتوحة: اكتب معادلة تربيعية معاملات حدودها أعداد صحيحة على أن يكون: ١/٢، -٣/٥ حلين لها. فسّر ذلك.

الإجابة: ١٠ س^٢ + س - ٣ = ٠، ((٢ س - ١)(٥ س + ٣) = ٠)

خطوات الحل:

1. ### الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب | المعطيات | القيمة | |----------|--------| | الحل الأول | $س_1 = \frac{1}{2}$ | | الحل الثاني | $س_2 = -\frac{3}{5}$ | | **المطلوب** | كتابة معادلة تربيعية ذات معاملات أعداد صحيحة |
2. ### الخطوة 2: المبدأ المستخدم **إذا كان $س_1$ و $س_2$ حلين لمعادلة تربيعية، فإن المعادلة يمكن كتابتها على الصورة:** $أ(س - س_1)(س - س_2) = 0$، حيث $أ$ عدد صحيح (غالباً نختار $أ$ بحيث تصبح المعاملات أعداداً صحيحة). > **هدفنا:** اختيار $أ$ المناسب للتخلص من الكسور.
3. ### الخطوة 3: كتابة المعادلة في صورة عوامل $(س - س_1)(س - س_2) = 0$ $(س - \frac{1}{2})(س - (-\frac{3}{5})) = 0$ $(س - \frac{1}{2})(س + \frac{3}{5}) = 0$
4. ### الخطوة 4: اختيار $أ$ لجعل المعاملات أعداداً صحيحة لاحظ أن في العامل الأول مقام 2، وفي العامل الثاني مقام 5. المضاعف المشترك الأصغر لهما هو 10. لذلك نختار $أ = 10$. $10 \times (س - \frac{1}{2})(س + \frac{3}{5}) = 0$ يمكن توزيع 10 على العوامل لتسهيل الضرب: $10 \times (س - \frac{1}{2}) \times (س + \frac{3}{5}) = 0$ أو نكتب: $[5 \times (س - \frac{1}{2})] \times [2 \times (س + \frac{3}{5})] = 0$ (لأن 5×2=10). - $5 \times (س - \frac{1}{2}) = 5س - \frac{5}{2} = 5س - 2.5$ ← لا يزال فيه كسر! الأفضل: $2 \times (س - \frac{1}{2}) = 2س - 1$ و $5 \times (س + \frac{3}{5}) = 5س + 3$. لأن: $2 \times 5 = 10$. إذن: $10 (س - \frac{1}{2})(س + \frac{3}{5}) = [2(س - \frac{1}{2})] \times [5(س + \frac{3}{5})] = (2س - 1)(5س + 3) = 0$
5. ### الخطوة 5: ضرب العوامل للحصول على المعادلة بالصورة القياسية $(2س - 1)(5س + 3) = 0$ نفك الأقواس: $2س \times 5س = 10س^2$ $2س \times 3 = 6س$ $-1 \times 5س = -5س$ $-1 \times 3 = -3$ نجمع الحدود المتشابهة: $10س^2 + 6س - 5س - 3 = 10س^2 + س - 3$ ∴ المعادلة التربيعية هي: $10س^2 + س - 3 = 0$
6. ### الخطوة 6: التحقق من أن المعاملات أعداد صحيحة والحلول صحيحة | المعامل | القيمة | هل هو عدد صحيح؟ | |---------|--------|------------------| | $أ$ (معامل $س^2$) | 10 | ✅ | | $ب$ (معامل $س$) | 1 | ✅ | | $جـ$ (حد ثابت) | -3 | ✅ | **التحقق من الحلول:** - لو حللنا $10س^2 + س - 3 = 0$ إلى $(2س - 1)(5س + 3) = 0$، نحصل على: $2س - 1 = 0$ → $س = \frac{1}{2}$ $5س + 3 = 0$ → $س = -\frac{3}{5}$ وهي نفس الحلول المعطاة. ### الخطوة 7: الإجابة النهائية المعادلة التربيعية المطلوبة ذات المعاملات الصحيحة هي **$10س^2 + س - 3 = 0$**. وذلك لأننا بدأنا من الحلين المعطيين، وكتبنا المعادلة في صورة عوامل مضروبة في العدد 10 (المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين 2 و 5)، مما أدى إلى إزالة الكسور والحصول على معاملات صحيحة.

سؤال 35: اكتب: فسّر كيف تحدد القيم التي يجب اختيارها لـ م و ن عند تحليل كثيرة الحدود على الصورة أس^٢ + ب س + جـ

الإجابة: نختار م، ن بحيث جـ × أ = ن × م و ب = ن + م، ثم جـ + نس + مس + أ س^٢ ونحلل بالتجميع.

خطوات الحل:

1. ### الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب | المعطيات | التعبير | |----------|---------| | صيغة كثيرة الحدود | $أ س^2 + ب س + جـ$ | | الرمزان اللذان نريد تحديدهما | $م$ و $ن$ | | **المطلوب** | شرح كيفية اختيار $م$ و $ن$ لتحليل كثيرة الحدود |
2. ### الخطوة 2: الصورة العامة للتحليل (عندما $أ = 1$ وعندما $أ \ne 1$) **الحالة 1: عندما $أ = 1$ (أي $س^2 + ب س + جـ$)** نبحث عن عددين $م$ و $ن$ بحيث: - $م \times ن = جـ$ - $م + ن = ب$ ثم نكتب: $س^2 + ب س + جـ = (س + م)(س + ن)$ **الحالة 2: عندما $أ \ne 1$ (أي $أ س^2 + ب س + جـ$)** نبحث عن عددين $م$ و $ن$ بحيث: - $م \times ن = أ \times جـ$ - $م + ن = ب$ ثم نعيد كتابة الحد الأوسط $ب س$ كـ $م س + ن س$، ثم نحلل **بالتجميع**.
3. ### الخطوة 3: شرح تفصيلي لاختيار $م$ و $ن$ في الحالة العامة ($أ \ne 1$) 1. **احسب حاصل ضرب $أ$ و $جـ$:** $أ \times جـ = ?$ 2. **ابحث عن جميع أزواج عوامل $أ \times جـ$** (باعتبار الإشارات). 3. **من هذه الأزواج، اختر الزوج الذي مجموعهما يساوي $ب$** (مع مراعاة الإشارة). - إذا كان $جـ$ موجباً، يكون للعاملين نفس الإشارة (موجبة إذا كان $ب$ موجباً، سالبة إذا كان $ب$ سالباً). - إذا كان $جـ$ سالباً، يكون للعاملين إشارتان مختلفتان. 4. **سمّ هذا الزوج $م$ و $ن$.** > **مثال توضيحي:** لتحليل $6س^2 + 7س - 3$ - $أ=6$، $جـ=-3$ → $أ \times جـ = -18$ - أزواج عوامل -18: (1, -18), (-1, 18), (2, -9), (-2, 9), (3, -6), (-3, 6). - المجموع الذي يساوي $ب=7$ هو الزوج (-2, 9) لأن $-2 + 9 = 7$. - إذن $م = -2$ و $ن = 9$. - نعيد الكتابة: $6س^2 + 9س - 2س - 3$، ثم نحلل بالتجميع.
4. ### الخطوة 4: خطوات التحليل بعد اختيار $م$ و $ن$ 1. أعد كتابة كثيرة الحدود بتفكيك الحد الأوسط: $أ س^2 + ب س + جـ = أ س^2 + م س + ن س + جـ$ 2. جمّع الحدين الأولين والحدين الأخيرين: $(أ س^2 + م س) + (ن س + جـ)$ 3. أخرج العامل المشترك من كل مجموعة: - من الأولى: $س(أ س + م)$ (أو قد يكون العامل المشترك عدداً) - من الثانية: $? (ن س + جـ)$ (بحيث يظهر قوس مشترك) 4. إذا ظهر قوس مشترك، أخرجه: $(أ س + م)(? س + ?)$ > **ملاحظة:** قد تحتاج إلى ترتيب الحدود أو اختيار مجموعات مختلفة إذا لم يظهر قوس مشترك مباشرة.
5. ### الخطوة 5: جدول تلخيصي لشروط اختيار $م$ و $ن$ | الشرط | التفسير | مثال على $6س^2 + 7س - 3$ | |--------|---------|----------------------------| | $م \times ن = أ \times جـ$ | حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل $س^2$ والحد الثابت | $-2 \times 9 = -18 = 6 \times (-3)$ | | $م + ن = ب$ | مجموعهما يساوي معامل $س$ | $-2 + 9 = 7$ | | **الإشارات** | تُحدد بناءً على إشارتي $ب$ و $جـ$ | $جـ = -3$ (سالب) → إشارتان مختلفتان، $ب = 7$ (موجب) → العدد الأكبر موجب |
6. ### الخطوة 6: الإجابة النهائية لاختيار القيم المناسبة لـ **$م$** و **$ن$** عند تحليل كثيرة الحدود $أ س^2 + ب س + جـ$، نتبع الخطوات التالية: 1. نحسب حاصل ضرب $أ \times جـ$. 2. نبحث عن عددين $م$ و $ن$ حاصل ضربهما يساوي $أ \times جـ$ **ومجموعهما يساوي $ب$**، مع الانتباه إلى إشارات العددين بناءً على إشارتي $ب$ و $جـ$. 3. بعد تحديد $م$ و $ن$، نعيد كتابة الحد الأوسط $ب س$ كمجموع $م س + ن س$. 4. ثم نستخدم طريقة **التجميع** لتحليل كثيرة الحدود إلى حاصل ضرب عاملين. هذه الطريقة تعمل كأسلوب عام لتحليل ثلاثيات الحدود التربيعية عندما لا يكون معامل $س^2$ يساوي 1.

ما هي الخطوة الأولى في تحليل ثلاثي الحدود التربيعي $أ س^2 + ب س + جـ$ عندما $أ \ne 1$ باستخدام طريقة التجميع؟

• أ) نضرب معامل الحد التربيعي ($أ$) في الحد الثابت ($جـ$).
• ب) نبحث عن عددين $م$ و $ن$ مجموعهما $أ$ وناتجهما $جـ$.
• ج) نبحث عن عددين $م$ و $ن$ حاصل ضربهما $جـ$ ومجموعهما $ب$.
• د) نأخذ عاملاً مشتركاً من جميع الحدود أولاً.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نضرب معامل الحد التربيعي ($أ$) في الحد الثابت ($جـ$).

الشرح: الخطوة الأولى في تحليل ثلاثي الحدود $أ س^2 + ب س + جـ$ عندما $أ \ne 1$ هي حساب حاصل ضرب $أ \times جـ$. ثم نبحث عن عددين $م$ و $ن$ بحيث $م \times ن = أ \times جـ$ و $م + ن = ب$. بعد ذلك، نعيد كتابة الحد الأوسط $ب س$ كـ $م س + ن س$ ونحلل بالتجميع.

تلميح: تذكر أن الهدف هو إعادة كتابة الحد الأوسط $ب س$ كمجموع حدين جديدين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هو الخطأ الجوهري في طريقة حل سامي للمعادلة $6س^2 - س = 12$ كما هو موضح في الخطوات المعطاة؟

• أ) لم يقم بتحليل العبارة $6س^2 - س$ بشكل صحيح قبل المتابعة.
• ب) أخطأ في حساب قيمة المتغير $س$ عند حل المعادلات الخطية الناتجة.
• ج) قام بمساواة كل عامل بالحد الثابت 12، بينما يجب أن تكون المعادلة مساوية للصفر لتطبيق خاصية الضرب الصفري.
• د) لم يتخلص من المعامل الرئيسي (6) قبل تحليل المعادلة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قام بمساواة كل عامل بالحد الثابت 12، بينما يجب أن تكون المعادلة مساوية للصفر لتطبيق خاصية الضرب الصفري.

الشرح: سامي أخطأ بتحليل $س(6س-1)=12$ ثم تطبيق خاصية الضرب الصفري بجعل كل عامل يساوي 12. هذه الخاصية لا تُطبق إلا إذا كان حاصل الضرب يساوي صفرًا، لذا يجب أولاً نقل 12 ليصبح الطرف الأيمن صفرًا.

تلميح: فكر في الشرط الأساسي لتطبيق خاصية الضرب الصفري لحل المعادلات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي المعادلة التربيعية ذات المعاملات الصحيحة التي يكون الحلان لها هما $1/2$ و $-3/5$؟

• أ) $10س^2 - س - 3 = 0$
• ب) $10س^2 + س - 3 = 0$
• ج) $10س^2 + 11س + 3 = 0$
• د) $5س^2 + س - 6 = 0$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $10س^2 + س - 3 = 0$

الشرح: إذا كان $س_1$ و $س_2$ هما الحلان، فإن المعادلة هي $أ(س - س_1)(س - س_2) = 0$. بالتعويض $س_1=1/2$ و $س_2=-3/5$: $أ(س - 1/2)(س + 3/5) = 0$. نضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات (10) للتخلص من الكسور: $(2س - 1)(5س + 3) = 0$. بفك الأقواس نحصل على $10س^2 + 6س - 5س - 3 = 0 \implies 10س^2 + س - 3 = 0$.

تلميح: ابدأ بكتابة العوامل $(س - س_1)$ و $(س - س_2)$ ثم اضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط

عند تحليل ثلاثي الحدود التربيعي $أ س^2 + ب س + جـ$ (حيث $أ \ne 1$) باستخدام طريقة التجميع، ما الشرطان الأساسيان اللذان يجب أن يحققهما العددان $م$ و $ن$ اللذان يتم اختيارهما؟

• أ) يجب أن يكون حاصل ضرب $م \times ن = جـ$ ومجموع $م + ن = ب$.
• ب) يجب أن يكون حاصل ضرب $م \times ن = أ$ ومجموع $م + ن = جـ$.
• ج) يجب أن يكون حاصل ضرب $م \times ن = ب$ ومجموع $م + ن = أ \times جـ$.
• د) يجب أن يكون حاصل ضرب $م \times ن = أ \times جـ$ ومجموع $م + ن = ب$.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: يجب أن يكون حاصل ضرب $م \times ن = أ \times جـ$ ومجموع $م + ن = ب$.

الشرح: هذه هي القاعدة الأساسية لاختيار العددين $م$ و $ن$ عند تحليل ثلاثي الحدود $أ س^2 + ب س + جـ$ بطريقة التجميع. يتم استخدام هذين الشرطين لتفكيك الحد الأوسط $ب س$ إلى $م س + ن س$ ومن ثم التحليل.

تلميح: تذكر القاعدة التي تربط بين $أ, ب, جـ$ في كثيرة الحدود والعددين $م, ن$.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هو التحليل الصحيح للعبارة $أ^2 - ب^2$ (فرق مربعين)؟

• أ) $(أ - ب)^2$
• ب) $(أ - ب)(أ + ب)$
• ج) $(أ + ب)^2$
• د) $(أ^2 + ب^2)$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $(أ - ب)(أ + ب)$

الشرح: يتم تحليل فرق مربعين عن طريق كتابة قوسين، أحدهما يحتوي على الجذر التربيعي للحد الأول ناقص الجذر التربيعي للحد الثاني، والآخر يحتوي على الجذر التربيعي للحد الأول زائد الجذر التربيعي للحد الثاني.

تلميح: تذكر القاعدة الشهيرة لفرق المربعين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل