مثال ٣ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 4: ٤) فيزياء: قذف شخص كرة إلى الأعلى من سطح بناية ارتفاعها ٢٠ م. والمعادلة ع = -٥ن٢ + ١٦ن + ٢٠ تمثل ارتفاع الكرة (ع) بالأمتار بعد (ن) ثانية. فإذا سقطت الكرة على شرفة ارتفاعها ٤ م عن الأرض، فكم ثانية بقيت الكرة في الهواء؟

الإجابة: س4: تبقى الكرة في الهواء 4 ثوان.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | معادلة الارتفاع | ع | -٥ن² + ١٦ن + ٢٠ | متر | | ارتفاع الشرفة | ع | ٤ | متر | | الارتفاع الأولي (عند ن=٠) | ع₀ | ٢٠ | متر | | المطلوب (الزمن حتى تصطدم بالشرفة) | ن | ؟ | ثانية |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** لحساب الزمن الذي تصل فيه الكرة إلى ارتفاع معين، نعوض بقيمة ذلك الارتفاع في معادلة الحركة المعطاة، ثم نحل المعادلة التربيعية الناتجة لإيجاد قيم الزمن (ن).
3. **الخطوة 3: تعويض ارتفاع الشرفة في المعادلة** نعوض عن قيمة الارتفاع (ع) بـ ٤ أمتار في المعادلة: $4 = -5n^{2} + 16n + 20$ حيث (n) تمثل الزمن بالثواني.
4. **الخطوة 4: ترتيب المعادلة على الصورة القياسية** ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $0 = -5n^{2} + 16n + 20 - 4$ $0 = -5n^{2} + 16n + 16$ لتبسيط الحل، نضرب الطرفين في (-١) لجعل معامل $n^{2}$ موجباً: $5n^{2} - 16n - 16 = 0$
5. **الخطوة 5: حل المعادلة التربيعية** باستخدام **القانون العام** لحل المعادلات التربيعية: $$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ حيث: $a = 5$, $b = -16$, $c = -16$ نحسب **المميز** أولاً: $$\Delta = b^{2} - 4ac = (-16)^{2} - 4 \times 5 \times (-16) = 256 + 320 = 576$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{576} = 24$$ نعوض الآن في القانون العام: $$n = \frac{16 \pm 24}{2 \times 5} = \frac{16 \pm 24}{10}$$ - **الحل الأول:** $n = \frac{16 + 24}{10} = \frac{40}{10} = 4$ - **الحل الثاني:** $n = \frac{16 - 24}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$
6. **الخطوة 6: استبعاد الحل غير المنطقي** الزمن السالب ($-0.8$ ثانية) غير مقبول فيزيائياً في هذا السياق، لأنه يمثل لحظة زمنية **قبل** قذف الكرة. > ملاحظة: في مسائل الحركة، نأخذ دائماً الحلول الزمنية الموجبة التي تحدث بعد لحظة البداية (ن=٠).
7. **الخطوة 7: الإجابة النهائية** بالتالي، الزمن الوحيد المقبول هو $n = 4$ ثوانٍ. وهذا يعني أن الكرة بقيت في الهواء لمدة **أربع ثوانٍ** حتى اصطدمت بالشرفة.

في معادلة الارتفاع للأجسام المقذوفة `ل = -٥ ن² + ع ن + ل.`, ماذا يمثل الرمز `ل.`؟

• أ) السرعة النهائية بالمتر/ثانية.
• ب) الارتفاع النهائي بالمتر.
• ج) الزمن المستغرق بالثواني.
• د) الارتفاع الابتدائي بالمتر.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: الارتفاع الابتدائي بالمتر.

الشرح: 1. المعادلة `ل = -٥ ن² + ع ن + ل.` تصف حركة المقذوفات الرأسية. 2. `ل` هو الارتفاع اللحظي، `ن` هو الزمن، `ع` هي السرعة الابتدائية. 3. `ل.` (لام نقطة) هو الارتفاع الابتدائي للجسم عند لحظة بدء القذف.

تلميح: الرمز الذي يشير إلى نقطة البداية أو القيمة الأولية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما تعريف كثيرة الحدود الأولية؟

• أ) كثيرة الحدود التي لا يمكن كتابتها على صورة ناتج ضرب كثيرتي حدود بمعاملات صحيحة.
• ب) كثيرة الحدود التي يكون فيها الحد الثابت صفراً.
• ج) كثيرة الحدود التي يمكن تحليلها إلى عوامل بسيطة.
• د) كثيرة الحدود التي لا تحتوي على أسس فردية.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: هي كثيرة الحدود التي لا يمكن كتابتها على صورة ناتج ضرب كثيرتي حدود بمعاملات صحيحة.

الشرح: تُعرف كثيرة الحدود الأولية (Prime Polynomial) بأنها تلك التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل (كثيرتي حدود) بمعاملات صحيحة. هذا يعني أنه لا يمكن تبسيطها أكثر من ذلك باستخدام الأعداد الصحيحة كمعاملات.

تلميح: فكر في مفهوم الأعداد الأولية ولكن مطبقاً على كثيرات الحدود.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

كيف يتم تحديد ما إذا كانت ثلاثية الحدود التربيعية `أ س² + ب س + ج` أولية عند محاولة تحليلها باستعمال الأعداد الصحيحة؟

• أ) عندما يكون المميز في القانون العام سالباً.
• ب) عندما يكون معامل `س²` عدداً أولياً.
• ج) عندما لا يوجد عددان صحيحان `م` و `ن` حاصل ضربهما `أ × ج` ومجموعهما `ب`.
• د) عندما تكون جميع المعاملات أعداداً سالبة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عندما لا يوجد عددان صحيحان `م` و `ن` حاصل ضربهما `أ × ج` ومجموعهما `ب`.

الشرح: 1. في تحليل ثلاثية الحدود `أ س² + ب س + ج`، نبحث عن عددين `م` و `ن` بحيث يكون `م × ن = أ × ج` و `م + ن = ب`. 2. إذا لم نتمكن من إيجاد هذين العددين الصحيحين، فهذا يعني أن ثلاثية الحدود أولية ولا يمكن تحليلها بمعاملات صحيحة.

تلميح: تذكر طريقة البحث عن عاملين لـ `أ ج` مجموعهما `ب`.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

عند حل معادلة تربيعية مثل `٠ = -٥ن² + ١٦ن + ١٦` بالتحليل، ما هي الخطوة الشائعة والموصى بها لجعل التحليل أسهل؟

• أ) إضافة ٥ن² إلى كلا الطرفين.
• ب) ضرب طرفي المعادلة في -1.
• ج) قسمة جميع الحدود على -٥.
• د) إخراج `ن` كعامل مشترك.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ضرب طرفي المعادلة في -1.

الشرح: 1. وجود معامل سالب للحد التربيعي (`-٥ن²`) قد يجعل عملية التحليل أكثر تعقيداً. 2. بضرب طرفي المعادلة في -1، تصبح `٠ = ٥ن² - ١٦ن - ١٦`. 3. هذا الإجراء لا يغير حلول المعادلة ولكنه يبسط عملية إيجاد العوامل.

تلميح: الهدف هو جعل معامل `ن²` موجباً.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في مسألة حركة المقذوفات حيث تُعطى معادلة الارتفاع `ع = -٥ن² + ١٦ن + ٢٠`، إذا كان المطلوب إيجاد الزمن `ن` الذي تصل فيه الكرة إلى ارتفاع معين (مثلاً ٤ م)، فما الخطوة الأولى في الحل؟

• أ) قسمة جميع حدود المعادلة على -٥.
• ب) التعويض بقيمة الارتفاع المحدد (٤ م) في المعادلة.
• ج) إخراج `ن` كعامل مشترك من الحدود.
• د) حساب المميز مباشرة قبل التعويض.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التعويض بقيمة الارتفاع المحدد (٤ م) في المعادلة.

الشرح: 1. معادلة الارتفاع `ع = -٥ن² + ١٦ن + ٢٠` تربط الارتفاع `ع` بالزمن `ن`. 2. عندما يُعطى ارتفاع معين (مثل `ع = ٤` م)، فإن الخطوة الأولى هي استبدال `ع` في المعادلة بتلك القيمة. 3. هذا ينتج عنه معادلة تربيعية (`٤ = -٥ن² + ١٦ن + ٢٠`) يجب حلها لإيجاد قيم `ن`.

تلميح: كيف تربط الارتفاع المعطى بالمعادلة؟

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل