إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال الخطوة 1: حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً، فاكتب "أولية": أ) س٢ - ٨ س - ٩ ب) س٢ - ٩ س - ٣٥

الإجابة: أ) (س - ٩)(س + ١) ب) (س - ٧)(س + ٥)

خطوات الحل:

1. | الجزء | العبارة التربيعية | المطلوب | |--------|-------------------|---------| | أ | $س^2 - 8س - 9$ | تحليل إلى عوامل أولية | | ب | $س^2 - 9س - 35$ | تحليل إلى عوامل أولية أو كتابة "أولية" |
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** تحليل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية على الصورة $س^2 + ب س + ج$ إلى عاملين خطيين بالشكل $(س + م)(س + ن)$ حيث $م + ن = ب$ و $م × ن = ج$.
3. **الجزء (أ):** 1. نبحث عن عددين مجموعهما $ب = -8$ وناتج ضربهما $ج = -9$. 2. نجد أن العددين هما $(-9)$ و $(+1)$ لأن: - $(-9) + (+1) = -8$ - $(-9) × (+1) = -9$ 3. لذلك، يمكن كتابة العبارة كالتالي: $س^2 - 8س - 9 = (س - 9)(س + 1)$.
4. **الجزء (ب):** 1. نبحث عن عددين مجموعهما $ب = -9$ وناتج ضربهما $ج = -35$. 2. نجد أن العددين هما $(-7)$ و $(+5)$ لأن: - $(-7) + (+5) = -2$ (لا يساوي -9) ❌ > **ملاحظة مهمة:** المجموع يجب أن يكون $-9$، لكن -7 + 5 = -2. 3. لنختبر الأزواج الأخرى التي حاصل ضربها -35: | الزوج | المجموع | |--------|---------| | 1, -35 | -34 | | -1, 35 | 34 | | 5, -7 | -2 | | -5, 7 | 2 | لا يوجد زوج مجموعه -9. 4. بناءً على ذلك، **لا يمكن تحليل** العبارة باستخدام أعداد صحيحة، لذا تكون **أولية**. > **استثناء:** الإجابة المقدمة في السؤال تفترض أن العبارة هي $س^2 - 2س - 35$ والتي تحلل إلى $(س - 7)(س + 5)$، لكن العبارة المعطاة هي $س^2 - 9س - 35$.
5. **الإجابة النهائية:** - الجزء (أ): العبارة $س^2 - 8س - 9$ تحلّل إلى $(س - 9)(س + 1)$. - الجزء (ب): العبارة $س^2 - 9س - 35$ **أولية** ولا يمكن تحليلها (بافتراض الأعداد الصحيحة).

سؤال تحقق من فهمك: حلل كلاً من المعادلتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل: أ) ١٢ أ س + ٣٢

الإجابة: أ) ٤ أ (٣ س + ٨)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | العبارة الجبرية: $12أس + 32$ | تحليل العبارة بأخذ العامل المشترك |
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** **العامل المشترك الأكبر** يُأخذ من جميع الحدود لتحليل العبارة الجبرية.
3. **خطوات الحل:** 1. نجد العوامل المشتركة للحدين $12أس$ و $32$: - عوامل $12أس$: $1, 2, 3, 4, 6, 12, أ, س$ ومجموعاتها. - عوامل $32$: $1, 2, 4, 8, 16, 32$. - العامل المشترك الأكبر (للأعداد) هو $4$. 2. نأخذ $4$ كعامل مشترك: $12أس + 32 = 4(3أس + 8)$. > **ملاحظة:** بما أن الحد الثاني لا يحتوي على المتغير $أ$، فلا يمكن أخذ $أ$ كعامل مشترك. 3. **التحقق من صحة الحل:** نضرب العوامل للعودة للعبارة الأصلية: $4 × (3أس) = 12أس$ $4 × 8 = 32$ إذن: $4(3أس + 8) = 12أس + 32$ ✅
4. **الإجابة النهائية:** العبارة $12أس + 32$ بعد التحليل تصبح $4(3أس + 8)$.

سؤال حل المعادلة: ١) ٩ س٢ - ٤٨ س = - ٦٤

الإجابة: س = ٨/٣

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المعادلة: $9س^2 - 48س = -64$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ |
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية $أ س^2 + ب س + ج = 0$ ثم حلها إما بالتحليل أو باستخدام القانون العام.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $9س^2 - 48س + 64 = 0$ 2. نلاحظ أن المعادلة قد تكون **مربعاً كاملاً** لأن: - الحد الأول: $9س^2 = (3س)^2$ - الحد الأخير: $64 = (8)^2$ - الحد الأوسط: $-48س = -2 × (3س) × (8)$ 3. لذلك، يمكن كتابتها كالتالي: $(3س - 8)^2 = 0$ 4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $3س - 8 = 0$ 5. نحل المعادلة الخطية: $3س = 8$ $س = \frac{8}{3}$ 6. **التحقق:** - نعوض $س = \frac{8}{3}$ في المعادلة الأصلية: $9(\frac{8}{3})^2 - 48(\frac{8}{3}) = 9 × \frac{64}{9} - 128 = 64 - 128 = -64$ ✅
4. **الإجابة النهائية:** حل المعادلة $9س^2 - 48س = -64$ هو $س = \frac{8}{3}$ (جذر مزدوج).

سؤال حل المعادلة: ٣) (٣ س - ٨)٢ - (٨)٢ = ٠

الإجابة: س = ٠، س = ١٦/٣

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المعادلة: $9س^2 - 48س = -64$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ |
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية $أ س^2 + ب س + ج = 0$ ثم حلها إما بالتحليل أو باستخدام القانون العام.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $9س^2 - 48س + 64 = 0$ 2. نلاحظ أن المعادلة قد تكون **مربعاً كاملاً** لأن: - الحد الأول: $9س^2 = (3س)^2$ - الحد الأخير: $64 = (8)^2$ - الحد الأوسط: $-48س = -2 × (3س) × (8)$ 3. لذلك، يمكن كتابتها كالتالي: $(3س - 8)^2 = 0$ 4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $3س - 8 = 0$ 5. نحل المعادلة الخطية: $3س = 8$ $س = \frac{8}{3}$ 6. **التحقق:** - نعوض $س = \frac{8}{3}$ في المعادلة الأصلية: $9(\frac{8}{3})^2 - 48(\frac{8}{3}) = 9 × \frac{64}{9} - 128 = 64 - 128 = -64$ ✅
4. **الإجابة النهائية:** حل المعادلة $9س^2 - 48س = -64$ هو $س = \frac{8}{3}$ (جذر مزدوج).

سؤال حل المعادلة: ٤) (٣ س - ٨)٢ = ٠

الإجابة: س = ٨/٣

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المعادلة: $9س^2 - 48س = -64$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ |
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية $أ س^2 + ب س + ج = 0$ ثم حلها إما بالتحليل أو باستخدام القانون العام.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $9س^2 - 48س + 64 = 0$ 2. نلاحظ أن المعادلة قد تكون **مربعاً كاملاً** لأن: - الحد الأول: $9س^2 = (3س)^2$ - الحد الأخير: $64 = (8)^2$ - الحد الأوسط: $-48س = -2 × (3س) × (8)$ 3. لذلك، يمكن كتابتها كالتالي: $(3س - 8)^2 = 0$ 4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $3س - 8 = 0$ 5. نحل المعادلة الخطية: $3س = 8$ $س = \frac{8}{3}$ 6. **التحقق:** - نعوض $س = \frac{8}{3}$ في المعادلة الأصلية: $9(\frac{8}{3})^2 - 48(\frac{8}{3}) = 9 × \frac{64}{9} - 128 = 64 - 128 = -64$ ✅
4. **الإجابة النهائية:** حل المعادلة $9س^2 - 48س = -64$ هو $س = \frac{8}{3}$ (جذر مزدوج).

سؤال حل المعادلة: ٥) (٣ س - ٨)(٣ س - ٨) = ٠

الإجابة: س = ٨/٣

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المعادلة: $9س^2 - 48س = -64$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ |
2. **القانون/المبدأ المستخدم:** تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية $أ س^2 + ب س + ج = 0$ ثم حلها إما بالتحليل أو باستخدام القانون العام.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد: $9س^2 - 48س + 64 = 0$ 2. نلاحظ أن المعادلة قد تكون **مربعاً كاملاً** لأن: - الحد الأول: $9س^2 = (3س)^2$ - الحد الأخير: $64 = (8)^2$ - الحد الأوسط: $-48س = -2 × (3س) × (8)$ 3. لذلك، يمكن كتابتها كالتالي: $(3س - 8)^2 = 0$ 4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $3س - 8 = 0$ 5. نحل المعادلة الخطية: $3س = 8$ $س = \frac{8}{3}$ 6. **التحقق:** - نعوض $س = \frac{8}{3}$ في المعادلة الأصلية: $9(\frac{8}{3})^2 - 48(\frac{8}{3}) = 9 × \frac{64}{9} - 128 = 64 - 128 = -64$ ✅
4. **الإجابة النهائية:** حل المعادلة $9س^2 - 48س = -64$ هو $س = \frac{8}{3}$ (جذر مزدوج).

ما هي الخطوة الأولى في تحليل ثلاثية الحدود على الصورة $أ س^٢ + ب س + ج$ حيث $أ \ne ١$؟

• أ) إيجاد عددين مجموعهما $ب$ وناتج ضربهما $أ \times ج$.
• ب) إيجاد العامل المشترك الأكبر لجميع الحدود.
• ج) التأكد من أن الحد الثابت $ج$ مربع كامل.
• د) قسمة جميع الحدود على $أ$.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: إيجاد عددين مجموعهما $ب$ وناتج ضربهما $أ \times ج$.

الشرح: عند تحليل ثلاثية حدود غير بسيطة ($أ \ne ١$)، نبحث عن عددين (م، ن) بحيث يكون مجموع العددين هو معامل الحد الأوسط $ب$، وحاصل ضربهما هو حاصل ضرب معامل الحد الرئيسي $أ$ في الحد الثابت $ج$.

تلميح: تذكر أن المعامل الرئيسي $أ$ يؤثر في عملية إيجاد العددين الذين يستخدمان لإعادة كتابة الحد الأوسط.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الخطوة الثانية عند تحليل كثيرة حدود مكونة من حدين فقط مثل $٥ س^٢ - ٨٠$ بعد إخراج العامل المشترك الأكبر؟

• أ) جمع الحدود المتشابهة في العبارة الناتجة.
• ب) التحقق مما إذا كانت كثيرة الحدود الناتجة تشكل فرقاً بين مربعين.
• ج) قسمة كثيرة الحدود الناتجة على العامل المشترك الأكبر.
• د) إيجاد جذور كثيرة الحدود الناتجة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التحقق مما إذا كانت كثيرة الحدود الناتجة تشكل فرقاً بين مربعين.

الشرح: بعد إخراج العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ)، إذا تبقت عبارة ذات حدين، فالخطوة التالية هي التحقق مما إذا كانت هذه العبارة تمثل فرقاً بين مربعين ($أ^٢ - ب^٢ = (أ-ب)(أ+ب)$) لتتمكن من تحليلها بشكل كامل.

تلميح: بعد استخراج العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ)، انظر إلى عدد الحدود المتبقية ونوعها.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

لماذا يكفي مساواة أحد العوامل بالصفر عند حل معادلة تربيعية تتضمن عوامل متكررة مثل $(٣ س - ٨)^٢ = ٠$؟

• أ) لأن العامل الآخر سيساوي ١ دائماً.
• ب) لأن العوامل المتكررة تنتج حلولاً متطابقة، ويسمى الجذر في هذه الحالة "جذراً مزدوجاً".
• ج) لتجنب العمليات الحسابية الزائدة.
• د) لأن أحد العوامل يكون دائماً غير حقيقي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن العوامل المتكررة تنتج حلولاً متطابقة، ويسمى الجذر في هذه الحالة "جذراً مزدوجاً".

الشرح: خاصية الضرب الصفري تنص على أنه إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفر، فإن أحد العاملين أو كلاهما يجب أن يساوي صفر. عندما يكون العاملان متكررين، فإن مساواة أي منهما بالصفر ستعطي نفس الحل تمامًا. هذا الحل يسمى "جذر مزدوج" لأنه يتكرر مرتين.

تلميح: فكر في خاصية الضرب الصفري وكيف تتأثر عندما تكون العوامل متماثلة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الشروط التي يجب توفرها في ثلاثية الحدود $أ س^٢ + ب س + ج$ لتكون مربعاً كاملاً؟

• أ) الحد الأول والثالث موجبان ومربعان كاملان، والحد الأوسط يساوي $٢ \times \sqrt{أ س^٢} \times \sqrt{ج}$.
• ب) الحد الأول والثالث سالبان ومربعان كاملان، والحد الأوسط يساوي حاصل ضرب جذورهما.
• ج) الحد الأوسط يساوي مجموع الحدين الأول والثالث.
• د) الحد الأول والثالث فقط يجب أن يكونا مربعين كاملين، بغض النظر عن إشارتهما.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الحد الأول والثالث موجبان ومربعان كاملان، والحد الأوسط يساوي $٢ \times \sqrt{أ س^٢} \times \sqrt{ج}$.

الشرح: لكي تكون ثلاثية الحدود مربعاً كاملاً، يجب أن يكون الحد الأول ($أ س^٢$) مربعاً كاملاً وموجباً، والحد الثالث ($ج$) مربعاً كاملاً وموجباً، وأن يكون الحد الأوسط ($ب س$) هو ضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الأول والجذر التربيعي للحد الثالث (مع مراعاة إشارة الحد الأوسط).

تلميح: تذكر شكل المربع الكامل $(س \pm ص)^٢$ وكيف تتكون حدوده.

التصنيف: تعريف | المستوى: صعب