تحقق من فهمك

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 حل المعادلات التربيعية باستعمال خاصية الجذر التربيعي

المفاهيم الأساسية

خاصية الجذر التربيعي: لأي عدد حقيقي ن، إذا كان س² = ن، فإن س = ±√ن

خريطة المفاهيم

```markmap

حل المعادلات التربيعية باستعمال خاصية الجذر التربيعي

خاصية الجذر التربيعي

الترميز اللفظي

#### إذا كان س² = ن، فإن س = ±√ن

الرموز

#### س² = ن → س = ±√ن

مثال توضيحي

#### س² = ٢٥ → س = ±√٢٥ → س = ±٥

تطبيق الخاصية

معادلات على الصورة س² = ن

#### مثال: س² = ١٦ → س = ±٤

معادلات على الصورة (س + أ)² = ن

#### مثال: (ص - ٦)² = ٨١ → ص - ٦ = ±٩ → ص = ١٥ أو -٣

ملاحظات مهمة

ن مربع كامل

#### الحل يكون دقيقاً (مثل ±٤)

ن ليس مربعاً كاملاً

#### نستخدم الآلة الحاسبة للحصول على تقريب

قراءة الرموز

#### ±√١٦ تلفظ: "موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ١٦"

#### -√١٦ تلفظ: "سالب الجذر التربيعي لـ ١٦"

```

نقاط مهمة

خاصية الجذر التربيعي تعطينا حلين للمعادلة: موجب الجذر التربيعي وسالب الجذر التربيعي
يمكن التعبير عن مجموعة الحل بالصيغة {٤، -٤} أو {±٤}
عند حل معادلة مثل (ص - ٦)² = ٨١، نطبق خاصية الجذر التربيعي أولاً ثم نحل المعادلتين الناتجتين
إذا كانت ن في المعادلة س² = ن ليست مربعاً كاملاً، نستخدم الآلة الحاسبة لتقريب الجذر

---

السؤال: حل كلاً من المعادلتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل:

س² = ٠

- الحل: س = ٠

- التحقق: (٠)² = ٠ ✓

س² + ١٢س + ٣٦ = ٠

- التحليل: (س + ٦)² = ٠

- الحل: س + ٦ = ٠ → س = -٦

- التحقق: (-٦)² + ١٢(-٦) + ٣٦ = ٣٦ - ٧٢ + ٣٦ = ٠ ✓

---

حل مثال

مثال ٤: حل كلاً من المعادلات الآتية:

أ) (ص - ٦)² = ٨١

- المعادلة الأصلية: (ص - ٦)² = ٨١

- خاصية الجذر التربيعي: ص - ٦ = ±√٨١

- ص - ٦ = ±٩

- ص = ٦ ± ٩

- ص = ٦ + ٩ أو ص = ٦ - ٩

- ص = ١٥ أو ص = -٣

- الجذران هما ١٥ و -٣

ب) س² = ٩ × ٨١

- المعادلة الأصلية: س² = ٧٢٩

- خاصية الجذر التربيعي: س = ±√٧٢٩

- س = ±٢٧

- الجذران هما ٢٧ و -٢٧

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

٣س٢ - ٨ = ٠
٣س٢ = ٨ (أضف ٨ إلى كلا الطرفين)
س٢ = ٨/٣ (اقسم كلا الطرفين على ٣)

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل :

نوع: محتوى تعليمي

سبق أن حللت معادلات مثل س٢ - ١٦ = ٠ بالتحليل إلى العوامل. ويمكنك أيضاً استعمال الجذر التربيعي لحل المعادلة.
س٢ - ١٦ = ٠ (المعادلة الأصلية)
س٢ = ١٦ (أضف ١٦ إلى كلا الطرفين)
س = ± √١٦ (خاصية الجذر التربيعي)
س = ± ٤
تذكر أنه يوجد جذران تربيعيان لـ ١٦، هما ٤ و -٤. لذا فإن مجموعة الحل هي {-٤، ٤}. ويمكنك التعبير عن ذلك بـ {± ٤}.

قراءة الرياضيات

نوع: محتوى تعليمي

الجذر التربيعي: يقرأ ± √١٦ موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ١٦

مفهوم أساسي: خاصية الجذر التربيعي

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: لحل المعادلة التربيعية على الصورة س٢ = ن، خُذ الجذر التربيعي لكل طرف.
الرموز: لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = ± √ن .
مثال: س٢ = ٢٥ ، س = ± √٢٥ = ± ٥

نوع: محتوى تعليمي

إذا كانت ن في المعادلة س٢ = ن، ليست مربعاً كاملاً، فتحتاج إلى تقريب الجذر التربيعي، لذا استعمل الآلة الحاسبة. أما إذا كانت ن مربعاً كاملاً فستحصل على إجابة دقيقة.

مثال ٤

نوع: محتوى تعليمي

استعمال خاصية الجذر التربيعي
حُلَّ كلاً من المعادلات الآتية:
أ) (ص - ٦)٢ = ٨١
(ص - ٦)٢ = ٨١ (المعادلة الأصلية)
ص - ٦ = ± √٨١ (خاصية الجذر التربيعي)
ص - ٦ = ± ٩ (٩ × ٩ = ٨١)
ص = ٦ ± ٩ (أضف ٦ إلى كلا الطرفين)
ص = ٦ + ٩ أو ص = ٦ - ٩ (افصل المعادلة إلى معادلتين)
ص = ١٥ ، ص = -٣ (بسط)
الجذران هما ١٥ و -٣. تحقق بالتعويض في المعادلة الأصلية.

نوع: METADATA

٩٨ الفصل ٧: التحليل والمعادلات التربيعية

🔍 عناصر مرئية

خاصية الجذر التربيعي

A blue-bordered box defining the square root property with verbal expression, symbols, and an example.

استعمال خاصية الجذر التربيعي

A green-header box showing the step-by-step solution of the equation (y - 6)^2 = 81.

الجذر التربيعي

A small sidebar explaining how to read the plus-minus square root symbol.

Text-based mathematical derivation showing the solution of x^2 - 16 = 0.

Text-based mathematical derivation showing the initial steps of solving 3x^2 - 8 = 0.

📄 النص الكامل للصفحة

٣س٢ - ٨ = ٠
٣س٢ = ٨ (أضف ٨ إلى كلا الطرفين)
س٢ = ٨/٣ (اقسم كلا الطرفين على ٣)

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
حل كلاً من المعادلتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل :
٣أ. س٢ + ١٢س + ٣٦ = ٠
٣ب. ص٢ - ٤/٣ ص + ٤/٩ = ٠

سبق أن حللت معادلات مثل س٢ - ١٦ = ٠ بالتحليل إلى العوامل. ويمكنك أيضاً استعمال الجذر التربيعي لحل المعادلة.
س٢ - ١٦ = ٠ (المعادلة الأصلية)
س٢ = ١٦ (أضف ١٦ إلى كلا الطرفين)
س = ± √١٦ (خاصية الجذر التربيعي)
س = ± ٤
تذكر أنه يوجد جذران تربيعيان لـ ١٦، هما ٤ و -٤. لذا فإن مجموعة الحل هي {-٤، ٤}. ويمكنك التعبير عن ذلك بـ {± ٤}.

--- SECTION: قراءة الرياضيات ---
الجذر التربيعي: يقرأ ± √١٦ موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ١٦

--- SECTION: مفهوم أساسي: خاصية الجذر التربيعي ---
التعبير اللفظي: لحل المعادلة التربيعية على الصورة س٢ = ن، خُذ الجذر التربيعي لكل طرف.
الرموز: لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = ± √ن .
مثال: س٢ = ٢٥ ، س = ± √٢٥ = ± ٥

إذا كانت ن في المعادلة س٢ = ن، ليست مربعاً كاملاً، فتحتاج إلى تقريب الجذر التربيعي، لذا استعمل الآلة الحاسبة. أما إذا كانت ن مربعاً كاملاً فستحصل على إجابة دقيقة.

--- SECTION: مثال ٤ ---
استعمال خاصية الجذر التربيعي
حُلَّ كلاً من المعادلات الآتية:
أ) (ص - ٦)٢ = ٨١
(ص - ٦)٢ = ٨١ (المعادلة الأصلية)
ص - ٦ = ± √٨١ (خاصية الجذر التربيعي)
ص - ٦ = ± ٩ (٩ × ٩ = ٨١)
ص = ٦ ± ٩ (أضف ٦ إلى كلا الطرفين)
ص = ٦ + ٩ أو ص = ٦ - ٩ (افصل المعادلة إلى معادلتين)
ص = ١٥ ، ص = -٣ (بسط)
الجذران هما ١٥ و -٣. تحقق بالتعويض في المعادلة الأصلية.

٩٨ الفصل ٧: التحليل والمعادلات التربيعية

--- VISUAL CONTEXT ---
**TABLE**: خاصية الجذر التربيعي
Description: A blue-bordered box defining the square root property with verbal expression, symbols, and an example.
Table Structure:
Headers: المصطلح | الوصف
Rows:
Row 1: التعبير اللفظي | لحل المعادلة التربيعية على الصورة س٢ = ن، خُذ الجذر التربيعي لكل طرف.
Row 2: الرموز | لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = ± √ن .
Row 3: مثال | س٢ = ٢٥ ، س = ± √٢٥ = ± ٥
Context: Provides the formal mathematical definition and rule for solving quadratic equations using square roots.

**FIGURE**: استعمال خاصية الجذر التربيعي
Description: A green-header box showing the step-by-step solution of the equation (y - 6)^2 = 81.
Key Values: (y - 6)^2 = 81, y - 6 = ±9, y = 15, y = -3
Context: Demonstrates the application of the square root property to a binomial squared.

**SIDEBAR**: الجذر التربيعي
Description: A small sidebar explaining how to read the plus-minus square root symbol.
Context: Clarifies mathematical notation for students.

**FIGURE**: Untitled
Description: Text-based mathematical derivation showing the solution of x^2 - 16 = 0.
Context: Shows a simple example of the square root property.

**FIGURE**: Untitled
Description: Text-based mathematical derivation showing the initial steps of solving 3x^2 - 8 = 0.
Context: Introductory example for the lesson section.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 13: حل كلاً من المعادلتين الآتيتين، وتحقق من صحة الحل: أ) ١٢ + س = ٣٦ ب) س - ٤ = ٠ ج) س + ٤ = ٠

الإجابة: أ) س = ٢٤ ب) س = ٤ ج) س = -٤

خطوات الحل:

### الخطوة ١: جدول المعطيات والمطلوب | الجزء | المعادلة | المطلوب | |-------|------------|----------| | أ | $12 + س = 36$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ والتحقق | | ب | $س - 4 = 0$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ والتحقق | | ج | $س + 4 = 0$ | إيجاد قيمة المتغير $س$ والتحقق | > **ملاحظة:** كل هذه المعادلات من النوع الخطي البسيط، حيث الهدف هو عزل المتغير $س$ في أحد طرفي المعادلة باستخدام **خواص المساواة**.
### الخطوة ٢: القانون أو المبدأ المستخدم **المبدأ الأساسي:** لحل معادلة خطية، نستخدم خاصيتي المساواة: 1. **خاصية الطرح للمساواة:** إذا طرحنا العدد نفسه من طرفي المعادلة، تبقى المساواة صحيحة. 2. **خاصية الجمع للمساواة:** إذا أضفنا العدد نفسه إلى طرفي المعادلة، تبقى المساواة صحيحة. بالصيغة الرياضية: إذا كان $a = b$، فإن: - $a + c = b + c$ - $a - c = b - c$
### الخطوة ٣: حل المعادلة (أ) $12 + س = 36$ 1. **الهدف:** عزل $س$ في الطرف الأيسر. 2. **التطبيق:** نلاحظ أن العدد $12$ مضاف إلى $س$. لإزالته، نستخدم **خاصية الطرح للمساواة** و نطرح $12$ من طرفي المعادلة. $$12 + س - 12 = 36 - 12$$ 3. **التبسيط:** $$س = 24$$ 4. **التحقق من صحة الحل:** نعوض $س = 24$ في المعادلة الأصلية: $$12 + 24 = 36$$ $$36 = 36 \quad \text{(صحيح)}$$
### الخطوة ٤: حل المعادلة (ب) $س - 4 = 0$ 1. **الهدف:** عزل $س$ في الطرف الأيسر. 2. **التطبيق:** نلاحظ أن العدد $4$ مطروح من $س$. لإزالته، نستخدم **خاصية الجمع للمساواة** و نضيف $4$ إلى طرفي المعادلة. $$س - 4 + 4 = 0 + 4$$ 3. **التبسيط:** $$س = 4$$ 4. **التحقق من صحة الحل:** نعوض $س = 4$ في المعادلة الأصلية: $$4 - 4 = 0$$ $$0 = 0 \quad \text{(صحيح)}$$
### الخطوة ٥: حل المعادلة (ج) $س + 4 = 0$ 1. **الهدف:** عزل $س$ في الطرف الأيسر. 2. **التطبيق:** نلاحظ أن العدد $4$ مضاف إلى $س$. لإزالته، نستخدم **خاصية الطرح للمساواة** و نطرح $4$ من طرفي المعادلة. $$س + 4 - 4 = 0 - 4$$ 3. **التبسيط:** $$س = -4$$ 4. **التحقق من صحة الحل:** نعوض $س = -4$ في المعادلة الأصلية: $$(-4) + 4 = 0$$ $$0 = 0 \quad \text{(صحيح)}$$
### الخطوة ٦: الإجابات النهائية بناءً على الخطوات السابقة والتحقق من كل حل، فإن **قيم المتغير $س$ التي تحقق المعادلات** هي: - في المعادلة (أ): **$س = 24$** - في المعادلة (ب): **$س = 4$** - في المعادلة (ج): **$س = -4$** > تم التحقق من كل حل عن طريق تعويضه في معادلته الأصلية، وكانت النتيجة مساواة صحيحة في جميع الحالات.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما هو التعبير الرمزي الصحيح لخاصية الجذر التربيعي لحل معادلة تربيعية على الصورة س² = ن؟

أ) لأي عدد حقيقي ن، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = ± √ن.
ب) لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = ± √ن.
ج) لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = √ن.
د) لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س = ن² فإنَّ س = ± √ن.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأي عدد حقيقي ن ≥ ٠، إذا كان س٢ = ن فإنَّ س = ± √ن.

الشرح: تنص خاصية الجذر التربيعي على أنه لحل معادلة تربيعية من الصورة س² = ن، حيث ن عدد حقيقي غير سالب، فإن قيمة س تكون إما الجذر التربيعي الموجب لـ ن أو الجذر التربيعي السالب لـ ن.

تلميح: تذكر الشروط المرتبطة بالعدد 'ن' ونتائج أخذ الجذر التربيعي لمتغير مربع.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

أي مما يلي يصف بشكل صحيح الإجراء الأساسي عند استخدام خاصية الجذر التربيعي لحل معادلة مثل س² = ن؟

أ) أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة.
ب) قسمة كلا طرفي المعادلة على ن.
ج) إضافة ن إلى كلا طرفي المعادلة.
د) تربيع كلا طرفي المعادلة.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة.

الشرح: الخطوة الأساسية في خاصية الجذر التربيعي هي تطبيق عملية الجذر التربيعي على كلا طرفي المعادلة لإزالة التربيع من المتغير س، مع الأخذ في الاعتبار الإجابتين الموجبة والسالبة.

تلميح: فكر في كيفية التخلص من التربيع (الأس 2) للوصول إلى قيمة المتغير.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في التعبير الرياضي '± √16'، كيف يُقرأ الرمز '±'؟

أ) أكبر من أو يساوي.
ب) لا يساوي.
ج) تقريباً يساوي.
د) موجب أو سالب.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: موجب أو سالب.

الشرح: الرمز '±' يُستخدم في الرياضيات للإشارة إلى أن هناك قيمتين محتملتين، واحدة موجبة والأخرى سالبة، ويُقرأ 'موجب أو سالب'.

تلميح: هذا الرمز يشير إلى قيمتين محتملتين عند حل المعادلات التي تتضمن الجذور التربيعية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند تطبيق خاصية الجذر التربيعي على معادلة س² = ن، ما هو الشرط الذي يجب أن يستوفيه العدد 'ن' في مجموعة الأعداد الحقيقية؟

أ) يجب أن يكون ن ≥ ٠ (أكبر من أو يساوي الصفر).
ب) يجب أن يكون ن > ٠ (أكبر من الصفر).
ج) يجب أن يكون ن < ٠ (أقل من الصفر).
د) يجب أن يكون ن عدداً صحيحاً.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: يجب أن يكون ن ≥ ٠ (أكبر من أو يساوي الصفر).

الشرح: لكي يكون للمعادلة س² = ن حلول حقيقية عند استخدام خاصية الجذر التربيعي، يجب أن يكون العدد ن غير سالب، أي أكبر من أو يساوي الصفر. إذا كان ن سالباً، فلن تكون هناك حلول حقيقية.

تلميح: تذكر طبيعة الأعداد التي يمكن إيجاد جذورها التربيعية في نظام الأعداد الحقيقية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط