مثال ١ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: حدد إن كانت كل ثلاثية حدود فيما يأتي تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها: (1) ٥ س + ٦٠ س + ٣٦

الإجابة: لا، ليس مربعًا كاملاً.

سؤال 2: (٢) ٤ س ٢ - ٤ س + ١

الإجابة: نعم، (٢ س - ١)٢

سؤال 3: (٣) ٩ س ٢ + ٦ س + ١

الإجابة: نعم، (٣ س + ١)٢

سؤال 4: (٤) ٤ س ٢ - ٢٨ س + ٤٩

الإجابة: نعم، (٢ س - ٧)٢

سؤال 5: (٥) ٩ س ٢ - ١٦ س + ٤

الإجابة: لا، ليس مربعًا كاملاً.

سؤال 1: حللاً كلاً من كثيرات الحدود الآتية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب "أولية": (1) ٤ س ٢ - ٢٨ س + ٤٩

الإجابة: (٢ س - ٧)٢

سؤال 2: (٢) ٩ س ٢ - ٦ س + ١

الإجابة: (٣ س - ١)٢

سؤال 3: (٣) ٤ س ٢ - ٨ س + ٤

الإجابة: ٤ (س - ١)٢

سؤال 4: (٤) ٤ س ٢ + ٦ س + ٤

الإجابة: أولية

سؤال 5: (٥) ٩ س ٢ - ١٦ س + ٤

الإجابة: أولية

سؤال 6: حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل: (٦) ٤ س ٢ = ٦٤

الإجابة: س = ± ٤

سؤال 7: (٧) ٤ س ٢ - ٤٨ س + ٩ = ١٨

الإجابة: س = ٩، س = ٣

سؤال 8: (٨) ٤ س ٢ = ٤٧

الإجابة: س = ± ٤٧ / ٤

سؤال 9: (٩) ٤ س ٢ - ٤ س = ٧

الإجابة: س = ٧ / ٤، س = -٣ / ٤

سؤال 9 (طلاء): (٩) طلاء: سقطت فرشاة الدهان من نافذة أثناء قيامه بطلاء غرفة نومه، من ارتفاع ٢ م. استعمل المعادلة ع = ٥ ن ٢ + ع لإيجاد العدد التقريبي للثواني التي تستغرقها الفرشاة للوصول إلى الأرض.

الإجابة: ن = ٠.٦٣ ثانية

سؤال 10: حدد إن كانت كل ثلاثية حدود فيما يأتي تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها: (10) ٤ س ٢ - ٤ س + ١

الإجابة: نعم، (٢ س - ١)٢

سؤال 11: (11) ١٦ س ٢ - ٥٦ س + ٤٩

الإجابة: نعم، (٤ س - ٧)٢

سؤال 12: (12) ٩ س ٢ - ٩٠ س + ٢٥

الإجابة: لا، ليس مربعًا كاملاً.

سؤال 13: حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب "أولية": (13) ٤ س ٢ + ٢٤ س + ١٨

الإجابة: ٢ (٢ س + ٣)٢

سؤال 14: (14) ٨ س ٢ + ٤٠ س + ٢١

الإجابة: أولية

سؤال 15: (15) ٦ ب ٢ + ١٢ ب - ٢٤

الإجابة: ٦ (ب ٢ + ٢ ب - ٤)

سؤال 16: (16) ١٢ م ٢ - ٢٢ م - ٧٠

الإجابة: ٢ (٦ م + ٧) (م - ٥)

سؤال 17: (17) ٦ أ ٢ - ٦

الإجابة: ٦ (أ - ١) (أ + ١)

سؤال 18: (18) ٦ جـ ٢ - ٨ جـ + ٢٤

الإجابة: ٢ (٣ جـ ٢ - ٤ جـ + ١٢)

سؤال 19: (19) ٦ د ٢ + ٤ د - ٣٦

الإجابة: ٢ (٣ د + ٧) (د - ٤)

سؤال 20: (20) ٤ ك ٢ + ٤ ك - ٨٤

الإجابة: ٤ (ك + ٤) (ك - ٣)

سؤال 21: (21) ١٢ أ ب ٢ - ١٢ أ ب + ٣ أ ب

الإجابة: ٣ أ (٤ ب ٢ - ٤ ب + ١)

سؤال 22: (22) ٢ ر ٢ - ٧ ر - ٧٢

الإجابة: (٢ ر + ٩) (ر - ٨)

سؤال 23: (23) ٦ د ٢ - ٢٤ د + ٤٨

الإجابة: ٦ (د ٢ - ٤ د + ٨)

سؤال 24: (24) ٦ هـ ٢ + ٥ هـ - ٤

الإجابة: (٣ هـ + ٤) (٢ هـ - ١)

سؤال 25: (25) ٨ ص ٢ - ٣٠٠

الإجابة: ٢ (٤ ص ٢ - ٧٥)

سؤال 26: حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل: (26) ٢ م ٢ + ٢٤ م = - ٣٦

الإجابة: م = -٣، م = -٩

سؤال 27: (27) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 28: (28) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 29: (29) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 30: (30) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 31: (31) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 32: (32) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 33: (33) ٥ س ٢ + ٧ س = ٠

الإجابة: س = ٠، س = -٧ / ٥

سؤال 34: (34) ٤ س ٢ = ٤٠٠

الإجابة: س = ± ١٠

سؤال 35: (35) ٤ س ٢ = ٨١

الإجابة: س = ± ٩ / ٢

سؤال 36: (36) ٤ س ٢ + ٤ س = ١٥

الإجابة: س = ٣ / ٢، س = -٥ / ٢

حلل كثير الحدود: ٤ س² + ٦٤

• أ) ٤ (س - ٤) (س + ٤)
• ب) ٤ (س² + ١٦)
• ج) (٢ س + ٨)²
• د) ٨ (س² + ٨)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٤ (س² + ١٦)

الشرح: ١. نُخرج العامل المشترك الأكبر (GCF) وهو ٤. ٢. يُصبح التعبير ٤ (س² + ١٦). ٣. الحد (س² + ١٦) هو مجموع مربعين، ولا يمكن تحليله في الأعداد الحقيقية.

تلميح: ابحث عن العامل المشترك الأكبر أولاً. تذكر أن مجموع المربعين لا يمكن تحليله في الأعداد الحقيقية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حلل كثير الحدود: ٢ س² - س - ٢٨

• أ) (٢ س - ٧) (س + ٤)
• ب) (٢ س + ٧) (س - ٤)
• ج) (٢ س - ٤) (س + ٧)
• د) (٢ س + ٤) (س - ٧)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (٢ س + ٧) (س - ٤)

الشرح: ١. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -٥٦ ومجموعهما -١، وهما -٨ و ٧. ٢. نُعيد كتابة ثلاثية الحدود: ٢ س² - ٨ س + ٧ س - ٢٨. ٣. نُحلل بالتجميع: ٢ س (س - ٤) + ٧ (س - ٤). ٤. نُخرج العامل المشترك (س - ٤): (٢ س + ٧) (س - ٤).

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما (٢ × -٢٨) ومجموعهما -١، ثم حلل بالتجميع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة ٦٤ ص² - ٤٨ ص + ١٨ = ٩ وتحقق من صحة الحل.

• أ) ص = -٣ / ٨
• ب) ص = ٩ / ٦٤
• ج) ص = ٨ / ٣
• د) ص = ٣ / ٨

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ص = ٣ / ٨

الشرح: ١. نُعيد ترتيب المعادلة لتصبح ٦٤ ص² - ٤٨ ص + ٩ = ٠. ٢. نُلاحظ أنها ثلاثية حدود مربعة كاملة: (٨ ص)² - ٢(٨ ص)(٣) + (٣)² = ٠. ٣. نُحللها كـ (٨ ص - ٣)² = ٠. ٤. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: ٨ ص - ٣ = ٠. ٥. نُحل المعادلة: ٨ ص = ٣، إذن ص = ٣/٨.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة لتصبح على الصورة القياسية ثم ابحث عن ثلاثية حدود مربعة كاملة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد إن كانت ثلاثية الحدود ٢٥ س² + ٦٠ س + ٣٦ تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، (٥س + ٦)²
• ب) لا، ليست مربعًا كاملاً
• ج) نعم، (٥س - ٦)²
• د) نعم، (٢٥س + ٣٦)²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، (٥س + ٦)²

الشرح: ١. الحد الأول ٢٥ س² هو مربع كامل لـ (٥س). ٢. الحد الأخير ٣٦ هو مربع كامل لـ (٦). ٣. الحد الأوسط ٦٠ س يساوي ٢ × (٥س) × (٦) = ٦٠ س. ٤. بما أن الشروط متحققة، فهي مربع كامل وتحليلها هو (٥س + ٦)².

تلميح: تذكر أن ثلاثية الحدود أ س² + ب س + ج تكون مربعًا كاملاً إذا كان أ و ج مربعين كاملين وأن ب = ٢√(أج).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد إن كانت ثلاثية الحدود ٦ س² + ٣٠ س + ٣٦ تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، (٣س + ٦)²
• ب) لا، ليست مربعًا كاملاً
• ج) نعم، (٦س + ٦)²
• د) نعم، ٦(س + ٣)²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، ليست مربعًا كاملاً

الشرح: ١. الحد الأول ٦ س² ليس مربعًا كاملاً لأن ٦ ليس مربعًا لعدد صحيح. ٢. على الرغم من أن الحد الأخير ٣٦ هو مربع كامل لـ (٦)، إلا أن شرط الحد الأول غير محقق. ٣. بما أن أحد الشروط الأساسية (أن يكون الحد الأول مربعًا كاملاً) غير محقق، فإنها ليست مربعًا كاملاً.

تلميح: تحقق ما إذا كان الحد الأول والحد الأخير مربعين كاملين، ثم اختبر الحد الأوسط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة ٤ س² = ٣٦ وتحقق من صحة الحل.

• أ) س = ٦
• ب) س = ±٩
• ج) س = ٣
• د) س = ±٣

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س = ±٣

الشرح: ١. اقسم طرفي المعادلة على ٤: ٤ س² / ٤ = ٣٦ / ٤، فتصبح س² = ٩. ٢. خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: س = ±√٩. ٣. الحلول هي س = ٣ أو س = -٣. ٤. للتحقق: ٤(٣)² = ٤(٩) = ٣٦، و ٤(-٣)² = ٤(٩) = ٣٦. الحل صحيح.

تلميح: ابدأ بقسمة طرفي المعادلة على معامل س²، ثم خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

طلاء: سقطت فرشاة الدهان من نافذة أثناء قيامه بطلاء غرفة نومه، من ارتفاع ٢م. استعمل المعادلة ع = -٥ ن² + ع₀ لإيجاد العدد التقريبي للثواني التي تستغرقها الفرشاة للوصول إلى الأرض.

• أ) ن ≈ ٠.٤ ثانية
• ب) ن ≈ ٢.٥ ثانية
• ج) ن ≈ ٠.٦٣ ثانية
• د) ن ≈ ٠.٧ ثانية

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ن ≈ ٠.٦٣ ثانية

الشرح: ١. الارتفاع الابتدائي (ع₀) = ٢م، الارتفاع النهائي عند الوصول للأرض (ع) = ٠. ٢. عوض في المعادلة: ٠ = -٥ ن² + ٢. ٣. أضف ٥ ن² إلى الطرفين: ٥ ن² = ٢. ٤. اقسم على ٥: ن² = ٢/٥ = ٠.٤. ٥. خذ الجذر التربيعي: ن = √٠.٤ ≈ ٠.٦٣٢. ٦. لذا، تستغرق الفرشاة حوالي ٠.٦٣ ثانية للوصول إلى الأرض.

تلميح: عندما تصل الفرشاة إلى الأرض، فإن ارتفاعها (ع) يساوي صفرًا. عوض بالقيمة الأصلية للارتفاع (ع₀) وحل المعادلة لإيجاد (ن).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد إن كانت ثلاثية الحدود ١٦ س² - ٥٦ س + ٤٩ تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، (٤س + ٧)²
• ب) نعم، (١٦س - ٤٩)²
• ج) لا، ليست مربعًا كاملاً
• د) نعم، (٤س - ٧)²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: نعم، (٤س - ٧)²

الشرح: ١. الحد الأول ١٦ س² هو مربع كامل لـ (٤س). ٢. الحد الأخير ٤٩ هو مربع كامل لـ (٧). ٣. الحد الأوسط -٥٦ س يساوي ٢ × (٤س) × (-٧) = -٥٦ س. ٤. بما أن الشروط متحققة، فهي مربع كامل وتحليلها هو (٤س - ٧)².

تلميح: تحقق من شروط المربع الكامل: هل الحد الأول والأخير مربعان كاملان؟ هل الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذريهما؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثير الحدود: ٤ س² + ٩ س - ١٦، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب "أولية".

• أ) (٤ س + ٤)(س - ٤)
• ب) (٢ س + ٤)(٢ س - ٤)
• ج) أولية
• د) (٤ س - ٨)(س + ٢)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أولية

الشرح: ١. نبحث عن عاملين لـ ٤ × -١٦ = -٦٤ مجموعهما ٩. ٢. العوامل هي (١, -٦٤), (٢, -٣٢), (٤, -١٦), (٨, -٨) وعكسها. ٣. لا يوجد زوج من هذه العوامل مجموعه ٩. ٤. بما أن ثلاثية الحدود لا يمكن تحليلها إلى عوامل ذات معاملات صحيحة، فهي أولية.

تلميح: حاول إيجاد عاملين حاصل ضربهما يساوي (4 × -16) ومجموعهما يساوي 9. إذا لم تجد، فقد يكون أولياً.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد إن كانت ثلاثية الحدود ٨١ س² - ٩٠ س + ٢٥ تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) لا، ليس مربعًا كاملاً.
• ب) نعم، (٩ س + ٥)²
• ج) نعم، (٩ س - ٥)²
• د) نعم، (٩ س - ١)(٩ س - ٢٥)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نعم، (٩ س - ٥)²

الشرح: ١. الحد الأول (٨١ س²) جذره ٩ س. ٢. الحد الأخير (٢٥) جذره ٥. ٣. ضعف حاصل ضرب الجذرين هو ٢ × (٩ س) × ٥ = ٩٠ س. ٤. بما أن الحد الأوسط في ثلاثية الحدود هو -٩٠ س، فهي مربع كامل. ٥. التحليل هو (٩ س - ٥)².

تلميح: تذكر شروط المربع الكامل: الحد الأول مربع كامل، الحد الأخير مربع كامل، والحد الأوسط ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثير الحدود: ١٦ أ² - ١٢١ ب².

• أ) (٤ أ - ١١ ب)(٤ أ + ١١ ب)
• ب) (٤ أ + ١١ ب)²
• ج) (١٦ أ - ١٢١ ب)(١٦ أ + ١٢١ ب)
• د) (٤ أ - ١١ ب)²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: (٤ أ - ١١ ب)(٤ أ + ١١ ب)

الشرح: ١. الحدود المعطاة هي مربعين: ١٦ أ² = (٤ أ)² و ١٢١ ب² = (١١ ب)². ٢. بما أنها فرق بين مربعين، نطبق القاعدة س² - ص² = (س - ص)(س + ص). ٣. يصبح التحليل: (٤ أ - ١١ ب)(٤ أ + ١١ ب).

تلميح: تذكر صيغة الفرق بين مربعين: س² - ص² = (س - ص)(س + ص).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حلل كثير الحدود: ١٢ ل³ - ٣ ل.

• أ) ٣ ل (٤ ل² - ١)
• ب) ٣ (٢ ل - ١)(٢ ل + ١)
• ج) ل (١٢ ل² - ٣)
• د) ٣ ل (٢ ل - ١)(٢ ل + ١)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ٣ ل (٢ ل - ١)(٢ ل + ١)

الشرح: ١. أخرج العامل المشترك الأكبر للحدود، وهو ٣ ل. ٢. تصبح العبارة: ٣ ل (٤ ل² - ١). ٣. داخل القوسين، ٤ ل² - ١ هو فرق بين مربعين: (٢ ل)² - (١)². ٤. حلل فرق المربعين إلى: (٢ ل - ١)(٢ ل + ١). ٥. التحليل الكامل: ٣ ل (٢ ل - ١)(٢ ل + ١).

تلميح: ابحث عن العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم تحقق مما إذا كان يمكن تحليل الأجزاء المتبقية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: ٤ م² - ٢٤ م + ٣٦ = ٠.

• أ) م = ± ٣
• ب) م = ٣
• ج) م = -٣
• د) م = ٦

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: م = ٣

الشرح: ١. قسمة جميع حدود المعادلة على ٤: م² - ٦ م + ٩ = ٠. ٢. الطرف الأيسر هو ثلاثية حدود مربعة كاملة: (م - ٣)² = ٠. ٣. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: م - ٣ = ٠. ٤. إذن، م = ٣.

تلميح: حاول تبسيط المعادلة أولاً بالقسمة على عامل مشترك، ثم ابحث عن صيغة المربع الكامل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: ٤ جـ² + ٤ جـ + ١ = ١٥.

• أ) جـ = (-١ ± ١٥) / ٢
• ب) جـ = (١ ± √١٥) / ٢
• ج) جـ = ±√١٥
• د) جـ = (-١ ± √١٥) / ٢

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: جـ = (-١ ± √١٥) / ٢

الشرح: ١. لاحظ أن الطرف الأيسر ٤ جـ² + ٤ جـ + ١ هو مربع كامل: (٢ جـ + ١)². ٢. تصبح المعادلة: (٢ جـ + ١)² = ١٥. ٣. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: ٢ جـ + ١ = ±√١٥. ٤. اطرح ١ من الطرفين: ٢ جـ = -١ ± √١٥. ٥. اقسم على ٢: جـ = (-١ ± √١٥) / ٢.

تلميح: لاحظ أن الطرف الأيسر للمعادلة يمكن تحليله كمربع كامل. ثم استخدم خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حدد إن كانت ثلاثية الحدود ٤ س² - ٤٢ س + ١١٠ تشكل مربعًا كاملاً أم لا، وإذا كانت كذلك فحللها.

• أ) نعم، (٢ س - ١١)(س - ٥)
• ب) لا، ليس مربعًا كاملاً؛ التحليل هو ٢ (٢ س - ١١) (س - ٥)
• ج) لا، ليس مربعًا كاملاً؛ التحليل هو (٤ س - ٢٢) (س - ٥)
• د) نعم، (٢ س - ٥)²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، ليس مربعًا كاملاً؛ التحليل هو ٢ (٢ س - ١١) (س - ٥)

الشرح: ١. الحد الأخير ١١٠ ليس مربعاً كاملاً، لذا ليست ثلاثية حدود مربعة كاملة. ٢. نُخرج العامل المشترك الأكبر ٢: ٢ (٢ س² - ٢١ س + ٥٥). ٣. نُحلل ثلاثية الحدود الداخلية: (٢ س - ١١) (س - ٥). ٤. التحليل الكامل هو ٢ (٢ س - ١١) (س - ٥).

تلميح: للتحقق من أنها مربع كامل، تأكد من أن الحد الأول والأخير مربعان كاملان، وأن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب جذري الحدين الأول والأخير. ثم أخرج العامل المشترك وحلل المتبقي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حلل كثير الحدود: ١٢ م³ - ٢٢ م² - ٧٠ م

• أ) ٢ م (٦ م + ٧) (م - ٥)
• ب) ٢ م (٣ م + ٥) (٢ م - ٧)
• ج) ٢ م (٦ م - ٥) (م + ٧)
• د) ٢ م (٢ م + ٧) (٣ م - ٥)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٢ م (٣ م + ٥) (٢ م - ٧)

الشرح: ١. نُخرج العامل المشترك الأكبر (GCF) ٢ م. ٢. يتبقى: ٢ م (٦ م² - ١١ م - ٣٥). ٣. نُحلل ثلاثية الحدود الداخلية (٦ م² - ١١ م - ٣٥) بإيجاد عددين حاصل ضربهما -٢١٠ ومجموعهما -١١، وهما -٢١ و ١٠. ٤. نُحلل بالتجميع: (٣ م + ٥) (٢ م - ٧). ٥. التحليل الكامل هو ٢ م (٣ م + ٥) (٢ م - ٧).

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر، ثم حلل ثلاثية الحدود الناتجة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: (ع + ٥)² = ٤٧، وتحقق من صحة الحل.

• أ) ع = ٥ ± √٤٧
• ب) ع = -٥ ± ٤٧
• ج) ع = -٥ ± √٤٧
• د) ع = ±√٤٧ - ٥

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ع = -٥ ± √٤٧

الشرح: ١. خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: √(ع + ٥)² = ±√٤٧ ٢. تصبح المعادلة: ع + ٥ = ±√٤٧ ٣. اطرح ٥ من الطرفين: ع = -٥ ±√٤٧ ٤. الحلان هما: ع = -٥ + √٤٧ و ع = -٥ - √٤٧.

تلميح: تذكر أن أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة يعطي حلين: موجب وسالب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثير الحدود: ٢٤ د² + ٣٩ د - ١٨، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب "أولية".

• أ) ٣(٤ د - ٣)(٢ د + ٦)
• ب) ٣(٨ د - ٣)(د + ٢)
• ج) ٣(٨ د + ٣)(د - ٢)
• د) (٢٤ د - ١٨)(د + ١)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٣(٨ د - ٣)(د + ٢)

الشرح: ١. أخرج العامل المشترك الأكبر (GCF) وهو ٣: ٣(٨ د² + ١٣ د - ٦). ٢. حلل ثلاثية الحدود ٨ د² + ١٣ د - ٦. ٣. ابحث عن عاملين لـ (٨ × -٦ = -٤٨) مجموعهما ١٣: وهما ١٦ و -٣. ٤. أعد كتابة ثلاثية الحدود: ٨ د² + ١٦ د - ٣ د - ٦. ٥. حلل بالتجميع: ٨ د(د + ٢) - ٣(د + ٢) = (٨ د - ٣)(د + ٢). ٦. إذن التحليل الكامل هو: ٣(٨ د - ٣)(د + ٢).

تلميح: ابدأ بإخراج العامل المشترك الأكبر (GCF) أولاً، ثم حاول تحليل ثلاثية الحدود المتبقية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حلل كثير الحدود: و⁴ - و²، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب "أولية".

• أ) و(و³ - و)
• ب) و²(و - ١)²
• ج) و²(و - ١)(و + ١)
• د) (و² - ١)(و² + ١)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: و²(و - ١)(و + ١)

الشرح: ١. أخرج العامل المشترك الأكبر و²: و²(و² - ١). ٢. تعرف على (و² - ١) كفرق بين مربعين (أ² - ب² = (أ - ب)(أ + ب)). ٣. إذن، (و² - ١) تتحلل إلى (و - ١)(و + ١). ٤. التحليل الكامل هو: و²(و - ١)(و + ١).

تلميح: أخرج العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم ابحث عن فرق مربعين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حلل كثير الحدود: جـ² + ٢ جـ - ٣ هـ² + ٦ هـ، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب "أولية".

• أ) (جـ - ٣ هـ)(جـ + ٢ هـ)
• ب) جـ(جـ + ٢) - ٣ هـ(هـ - ٢)
• ج) (جـ + هـ)(جـ - ٣ هـ + ٢)
• د) أولية

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أولية

الشرح: ١. قم بتجميع الحدود: (جـ² + ٢ جـ) + (-٣ هـ² + ٦ هـ). ٢. أخرج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة: جـ(جـ + ٢) - ٣ هـ(هـ - ٢). ٣. بما أن القوسين (جـ + ٢) و (هـ - ٢) غير متطابقين، لا يمكن تحليل كثير الحدود هذا أكثر بالتجميع بالطرق القياسية. ٤. لذلك، يعتبر كثير الحدود هذا أولياً.

تلميح: حاول تجميع الحدود ذات المتغيرات المشتركة أولاً، ثم ابحث عن عامل مشترك بين المجموعات. إذا لم يتوفر، فغالباً يكون أولياً.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب