قانون جيب التمام - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 قانون الجيب وجيب التمام

المفاهيم الأساسية

قانون جيب التمام: مقدار المتجه المحصل يساوي مجموع مربعي المتجهين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية التي بينهما.

قانون الجيب: مقدار المحصلة مقسومًا على جيب الزاوية التي بين المتجهين مقسومًا على جيب الزاوية التي تقابله.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 5: القوى في بعدين

ما ستتعلمه

تمثيل الكميات المتجهة

• بالرسم التخطيطي
• بالتحليل المتعامد

تطبيق قوانين نيوتن

• في وجود الاحتكاك
• لتحليل الحركة في بعدين

الأهمية

معظم الأجسام تتأثر بقوى متعددة الاتجاهات

• مثال: سيارة تسحب بشاحنة
• قوى: إلى أعلى، إلى الأمام، الجاذبية إلى أسفل

مثال واقعي: تسلق الصخور

• يرتكز المتسلق على أكثر من نقطة داعمة
• تؤثر فيه قوى متعددة في اتجاهات متعددة

فكر (تطبيق)

مشكلة: متسلق يواجه صخرة ميلها يحيره

الحل: استعمال أدواته لتطبيق قوانين الفيزياء

• للتغلب على العقبة
• لتجاوز الصخرة

1-5 المتجهات

الأهداف

• حساب مجموع متجهين أو أكثر في بعدين بطريقة الرسم.
• تحديد مركبتي كل متجه.
• حساب مجموع متجهين أو أكثر جبريًا (بجمع المركبات).

المفردات

• قانون جيب التمام في المتجهات
• قانون الجيب في المتجهات
• المركبات
• تحليل المتجه
• زاوية المتجه المحصل

تجربة استهلالية

#### السؤال الأساسي

• هل يمكن لمحصلة قوتين متساويتين أن تساوي إحداهما؟

#### خطوات التجربة

• قياس وزن جسم باستخدام ميزان نابضي.
• تعليق الجسم بنظام من خيوط وميزانين نابضين بزاوية 120°.

#### تحليل النتائج

• مقارنة مجموع قراءتي الميزانين مع وزن الجسم.

#### التفكير الناقد

• تمثيل القوى بأضلاع مثلث متساوي الأضلاع لإيجاد القوة المحصلة.

مراجعة مفهوم المتجهات

#### جمع المتجهات في نفس الاتجاه

• مثال: قوتان 40N في اتجاه اليمين.
• المحصلة: 80N في اتجاه اليمين.

#### المتجهات في أبعاد متعددة

##### طريقة الرسم (الرأس على الذيل)

• تحتاج إلى: منقلة ومسطرة ومقياس رسم مناسب.
• الخطوات:

- حرك أحد المتجهين دون تغيير طوله أو اتجاهه.

- ضع ذيله عند رأس المتجه الآخر.

- ارسم المتجه المحصل من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الأخير.

- قياس: طول المحصلة (المقدار) واتجاهها (بالمنقلة).

##### طريقة الحساب (للمتجهات المتعامدة)

• استعمال نظرية فيثاغورس.
• R² = A² + B²
• حيث R: مقدار المحصلة، A و B: مقدارا المتجهين المتعامدين.

##### طريقة الحساب (للمتجهات غير المتعامدة)

• استعمال: قانون جيب التمام أو قانون الجيب.

قانون جيب التمام

• الصيغة: R² = A² + B² - 2AB cos θ
• الاستخدام: لحساب مقدار المتجه المحصل (R) عند معرفة مقدارَي المتجهين (A و B) والزاوية بينهما (θ).

قانون الجيب

• الصيغة: sin θ / R = sin a / A = sin b / B
• الاستخدام: لحساب الزوايا أو الأطوال في مثلث المتجهات.

مثال تطبيقي

#### إيجاد مقدار محصلة متجهين

• المعلوم: A = 25 km، B = 15 km.
• الحالة الأولى: الزاوية بينهما 90°.

- الحل: باستخدام نظرية فيثاغورس.

- R = √(25 km)² + (15 km)² = 29 km

• الحالة الثانية: الزاوية بينهما 135°.

- الحل: باستخدام قانون جيب التمام.

- R = √(25 km)² + (15 km)² - 2(25 km)(15 km) (cos 135°) = 37 km

#### تقويم الجواب

• الوحدات صحيحة (كم).
• المقدار موجب.
• الجواب منطقي: المحصلة أطول من كل متجه على حدة.

```

نقاط مهمة

• لحساب محصلة متجهين متعامدين (الزاوية بينهما 90°)، استخدم نظرية فيثاغورس.
• لحساب محصلة متجهين غير متعامدين، استخدم قانون جيب التمام.
• قانون الجيب يساعد في إيجاد الزوايا أو الأطوال المجهولة في مثلث المتجهات.
• عند تقييم الحل، تأكد من صحة الوحدات وإشارة الناتج ومنطقيته.

R² = A² + B² - 2AB cos θ

مقدار المتجه المحصل يساوي مجموع مربعي المتجهين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية التي بينهما.

sin θ / R = sin a / A = sin b / B

مقدار المحصلة مقسومًا على جيب الزاوية التي بين المتجهين مقسومًا على جيب الزاوية التي تقابله.

للمزيد من المعلومات حول قانون الجيب راجع دليل الرياضيات صفحة 203، وانظر الشكل الموضح في المثال الآتي.

إيجاد مقدار محصلة متجهين إزاحتان، الأولى 25 km والثانية 15 km. احسب مقدار محصلتهما عندما تكون الزاوية بينهما 90°، وعندما تكون الزاوية بينهما 135°.

1

• ارسم متجهمي الإزاحة A و B وارسم الزاوية بينهما.

المعلوم

A = 25 km B = 15 km

θ₁ = 90° θ₂ = 135°

2

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المتجه المحصل عندما تكون الزاوية بين المتجهين 90°.

R² = A² + B² R = √A² + B² = √(25 km)² + (15 km)² = 29 km

بالتعويض A = 25 km و B = 15 km

لأن الزاوية بين المتجهين 135°، نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد مقدار المتجه المحصل.

R² = A² + B² - 2AB (cos θ₂) R = √A² + B² - 2AB (cos θ₂) = √(25 km)² + (15 km)² - 2(25 km)(15 km) (cos 135°) = 37 km

بالتعويض A = 25 km و B = 15 km والزاوية بينهما

الجذور التربيعية والجذور التكعيبية 194

3

• هل الوحدات صحيحة؟ كل جواب عبارة عن طول يُقاس بالكيلومترات. • هل للإشارات معنى؟ حاصل الجمع في كل حالة موجب. • هل الجواب منطقي؟ المقدار في كل حالة قريب من مقدار المتجهين، ولكنه أطول؛ وعبارة عن ضلع يقابل زاوية منفرجة. وهذا يتفق مع تمثيل المتجهات بالرسم.

وزارة 133 Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: قانون جيب التمام --- R² = A² + B² - 2AB cos θ مقدار المتجه المحصل يساوي مجموع مربعي المتجهين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية التي بينهما. --- SECTION: قانون الجيب --- sin θ / R = sin a / A = sin b / B مقدار المحصلة مقسومًا على جيب الزاوية التي بين المتجهين مقسومًا على جيب الزاوية التي تقابله. للمزيد من المعلومات حول قانون الجيب راجع دليل الرياضيات صفحة 203، وانظر الشكل الموضح في المثال الآتي. --- SECTION: مثال 1 --- إيجاد مقدار محصلة متجهين إزاحتان، الأولى 25 km والثانية 15 km. احسب مقدار محصلتهما عندما تكون الزاوية بينهما 90°، وعندما تكون الزاوية بينهما 135°. --- SECTION: تحليل المسألة ورسمها --- 1 • ارسم متجهمي الإزاحة A و B وارسم الزاوية بينهما. المعلوم A = 25 km B = 15 km θ₁ = 90° θ₂ = 135° --- SECTION: إيجاد الكمية المجهولة --- 2 استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المتجه المحصل عندما تكون الزاوية بين المتجهين 90°. R² = A² + B² R = √A² + B² = √(25 km)² + (15 km)² = 29 km بالتعويض A = 25 km و B = 15 km لأن الزاوية بين المتجهين 135°، نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد مقدار المتجه المحصل. R² = A² + B² - 2AB (cos θ₂) R = √A² + B² - 2AB (cos θ₂) = √(25 km)² + (15 km)² - 2(25 km)(15 km) (cos 135°) = 37 km بالتعويض A = 25 km و B = 15 km والزاوية بينهما --- SECTION: دليل الرياضيات --- الجذور التربيعية والجذور التكعيبية 194 --- SECTION: تقويم الجواب --- 3 • هل الوحدات صحيحة؟ كل جواب عبارة عن طول يُقاس بالكيلومترات. • هل للإشارات معنى؟ حاصل الجمع في كل حالة موجب. • هل الجواب منطقي؟ المقدار في كل حالة قريب من مقدار المتجهين، ولكنه أطول؛ وعبارة عن ضلع يقابل زاوية منفرجة. وهذا يتفق مع تمثيل المتجهات بالرسم. وزارة 133 Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Vector diagram illustrating the example problem Description: A diagram showing two vectors A and B originating from the same point. Vector A is drawn horizontally to the right. Vector B is drawn upwards and to the right, forming an angle with vector A. A dashed line represents the resultant vector R, forming a triangle with A and B. Angles a and b are indicated within the triangle, and the angle between A and B is shown as θ₂. Data: Illustrates vector addition using a diagram. Key Values: A = 25 km, B = 15 km, θ₂ = 135° (implied by context for the second calculation) Context: Visual representation for understanding vector addition and applying the Law of Cosines and Pythagorean theorem. **FORMULA_DIAGRAM**: Calculation for R when θ = 90° Description: Shows the application of the Pythagorean theorem to find the resultant vector magnitude when the angle between the two vectors is 90 degrees. Data: Step-by-step calculation using Pythagorean theorem. Key Values: A = 25 km, B = 15 km, R = 29 km Context: Demonstrates how to find the resultant vector magnitude when vectors are perpendicular. **FORMULA_DIAGRAM**: Calculation for R when θ = 135° Description: Shows the application of the Law of Cosines to find the resultant vector magnitude when the angle between the two vectors is 135 degrees. Data: Step-by-step calculation using the Law of Cosines. Key Values: A = 25 km, B = 15 km, θ₂ = 135°, R = 37 km Context: Demonstrates how to find the resultant vector magnitude when vectors are not perpendicular, using the Law of Cosines.