الأرقام الكبيرة، واستخدام الأسس الموجبة - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 الترميز العلمي والعمليات الحسابية

المفاهيم الأساسية

الترميز العلمي (الدلالة العلمية): طريقة لكتابة الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً باستخدام الأسس، على الصورة a × 10^n، حيث 1 ≤ a < 10 و n عدد صحيح. تُستخدم للتعبير عن القياسات والمقارنة بينها والحفاظ على الأرقام المعنوية.

خريطة المفاهيم

```markmap

التقريب (Rounding)

القواعد العامة

القاعدة 1: الرقم < 5

• إسقاط الرقم والأرقام التي تليه.
• الرقم الأخير يبقى دون تغيير.

القاعدة 2: الرقم > 5

• إسقاط الرقم والأرقام التي تليه.
• زيادة الرقم الأخير بمقدار واحد.

القاعدة 3: الرقم = 5 متبوعًا برقم ≠ 0

• إسقاط الرقم والأرقام التي تليه.
• زيادة الرقم الأخير بمقدار واحد.

القاعدة 4: الرقم = 5 متبوعًا بالصفر أو لا شيء

• انظر إلى الرقم المعنوي الأخير.
• إذا كان فرديًا: زده بمقدار واحد.
• إذا كان زوجيًا: اتركه دون تغيير.

خطوات التقريب

حدد المنزلة أو عدد الأرقام المعنوية المراد التقريب إليها.

طبق القواعد المناسبة.

إجراء العمليات الحسابية

الجمع والطرح

• انظر إلى الأرقام عن يمين الفاصلة العشرية.
• قرب النتيجة إلى أصغر قيمة بين القياسات (أقل عدد منزلة عشرية).

الضرب والقسمة

• حدد عدد الأرقام المعنوية في كل عملية قياس.
• قرب النتيجة بحيث يكون عدد الأرقام المعنوية فيها مساوياً للكمية ذات الأرقام المعنوية الأقل.

المجاميع (Combination)

• استخدم قاعدة الضرب/القسمة في الحسابات المختلطة.
• قرب النتيجة النهائية بناءً على القيمة ذات أقل عدد من الأرقام المعنوية.

الحسابات المتعددة الخطوات (Multistep Calculation)

• لا تقرب الأرقام المعنوية أثناء الخطوات المتوسطة.
• احتفظ بالدقة الكاملة خلال الحساب.
• قرب النتيجة النهائية فقط إلى العدد الصحيح من الأرقام المعنوية.

إجراء العمليات باستخدام الأسس

ضرب القوى

• اجمع الأسس: (a^m)(a^n) = a^{m+n}

قسمة القوى

• اطرح الأسس: a^m / a^n = a^{m-n}

القوة المرفوعة لقوة

• اضرب الأسس: (a^m)^n = a^{mn}

القوة لحاصل الضرب

• (ab)^n = a^n b^n

القيمة المطلقة

• قيمة الرقم بغض النظر عن إشارته.
• دائماً أكبر من أو تساوي الصفر.
• مثال: |3| = 3، |-3| = 3

الترميز العلمي

كتابة الأعداد الكبيرة

• مثال: 7,530,000 = 7.53 × 10^6
• الخطوات:

1. حدد قيمة a (بين 1 و 10).

2. احسب عدد المنازل العشرية من النقطة في a إلى نهاية العدد الأصلي.

3. استخدم هذا العدد كقوة للعدد 10.

إجراء العمليات الرياضية

#### الضرب

• اضرب الحدود a، ثم اجمع أسس الأساس 10.
• مثال: (4.0×10^{-8})(1.2×10^{5}) = (4.0×1.2)(10^{-8} × 10^{5}) = 4.8×10^{-3}

#### القسمة

• اقسم الحدود a، ثم اطرح أسس الأساس 10.
• مثال: \frac{9.60×10^{7}}{1.60×10^{3}} = (\frac{9.60}{1.60}) × (\frac{10^{7}}{10^{3}}) = 6.00 × 10^{4}

```

نقاط مهمة

• الغرض من الترميز العلمي هو تسهيل كتابة الأعداد الكبيرة جداً (أكبر من 10) أو الصغيرة جداً (أقل من 1) والمحافظة على دقة الأرقام المعنوية.
• عند تحويل عدد كبير إلى الترميز العلمي، تكون قوة العدد 10 موجبة.
• في الآلة الحاسبة، يظهر الترميز العلمي غالباً بالحرف E (مثال: `2.4E11` تعني 2.4 × 10^{11}).
• عند إجراء العمليات (ضرب أو قسمة)، نتعامل مع جزأي العدد العلمي بشكل منفصل: الجزء العشري (a) والأساس 10 مرفوعاً للأس.

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء يستعمل الفيزيائيون الدلالة العلمية مع القياسات التي تزيد على 10 أو الأقل من 1 للتعبير عنها، والمقارنة بينها، وحسابها. فمثلاً تكتب كتلة البروتون على صورة 10⁻²⁸ × 6.73 ، وتكتب كثافة الماء على الصورة 3 kg/m¹⁰ ، وهذا يوضح استعمال قواعد الأرقام المعنوية، حيث يساوي هذا القياس 1000 تماماً، وذلك لأربعة أرقام معنوية. لذا عند كتابة الماء على الصورة 3 kg/m¹⁰ فهذا يشير إلى أن الرقم يتضمن رقماً معنوياً واحداً، وهذا غير صحيح. لقد ساعدت الدلالة العلمية الفيزيائيين على الحفاظ على المسار الدقيق للأرقام المعنوية.

إن عملية الضرب للقوة 10 تشبه تماماً عملية تحريك النقطة العشرية لنفس العدد المنزلة إلى يسار العدد (إذا كانت القوة سالبة)، أو إلى اليمين (إذا كانت القوة موجبة). وللتعبير عن الرقم الكبير في الدلالة العلمية، حدد أولاً قيمة الحد a، ثم عدد المنازل العشرية من النقطة العشرية في الحد a. لغاية النقطة العشرية في العدد، ثم استعمل العدد كقوة للعدد 10. وتبين الآلة الحاسبة الدلالة العلمية باستعمال E لبيان الأسس كما في 11+2.4 = 2.4×10¹¹ وبعض الآلات الحاسبة تستخدم E لبيان أس أو يوجد غالباً على الشاشة موضع مخصص، حيث تظهر أرقام ذات أحجام صغيرة نسبياً لتشمل الأسس في الآلة الحاسبة.

مثال: اكتب 7,530,000 بالدلالة العلمية.

إن قيمة a هي 7.53. النقطة العشرية عن يمين أول رقم غير صفري )، لذلك سيكون الشكل في صورة 6 ×10 7.53.

7,530,000 = 7.53×10⁶

لذلك سيكون الشكل في صورة 6 ×10 7.53. اكتب قيمة a، ووضع أصفاراً إضافية عن يمين الرقم. استعمل القوة للرقم a عدة منازل إلى اليمين.

مثال: اكتب الرقم الآتي في صورته القياسية

لإجراء العمليات الرياضية للأرقام المعبر عنها بدلالتها العلمية نستخدم خصائص الأسس.

عملية الضرب: أوجد حاصل ضرب الحدود، ثم اجمع القوى للأساس 10.

(4.0×10⁻⁸) (1.2×10⁵) = (4.0×1.2) (10⁻⁸ × 10⁵)

= (4.8) (10⁻⁸⁺⁵)

= (4.8) (10⁻³)

= 4.8×10⁻³

ثم اطرح أسس الأساس 10.

9.60×10⁷ 1.60×10³

= (9.60 / 1.60) × (10⁷ / 10³)

= 6.00 × 10⁷⁻³

= 6.00 × 10⁴

عملية القسمة: قم بإجراء عملية القسمة الممثلة للأرقام ذات الأساس 10.

مثال: بسّط

جمع الحدود والأرقام ذات الأساس 10

قسم الحدود واطرح القوس للأساس 10

وزارة 191 Ministry of Education 2025 - 1447

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء يستعمل الفيزيائيون الدلالة العلمية مع القياسات التي تزيد على 10 أو الأقل من 1 للتعبير عنها، والمقارنة بينها، وحسابها. فمثلاً تكتب كتلة البروتون على صورة 10⁻²⁸ × 6.73 ، وتكتب كثافة الماء على الصورة 3 kg/m¹⁰ ، وهذا يوضح استعمال قواعد الأرقام المعنوية، حيث يساوي هذا القياس 1000 تماماً، وذلك لأربعة أرقام معنوية. لذا عند كتابة الماء على الصورة 3 kg/m¹⁰ فهذا يشير إلى أن الرقم يتضمن رقماً معنوياً واحداً، وهذا غير صحيح. لقد ساعدت الدلالة العلمية الفيزيائيين على الحفاظ على المسار الدقيق للأرقام المعنوية. --- SECTION: الأرقام الكبيرة، واستخدام الأسس الموجبة --- إن عملية الضرب للقوة 10 تشبه تماماً عملية تحريك النقطة العشرية لنفس العدد المنزلة إلى يسار العدد (إذا كانت القوة سالبة)، أو إلى اليمين (إذا كانت القوة موجبة). وللتعبير عن الرقم الكبير في الدلالة العلمية، حدد أولاً قيمة الحد a، ثم عدد المنازل العشرية من النقطة العشرية في الحد a. لغاية النقطة العشرية في العدد، ثم استعمل العدد كقوة للعدد 10. وتبين الآلة الحاسبة الدلالة العلمية باستعمال E لبيان الأسس كما في 11+2.4 = 2.4×10¹¹ وبعض الآلات الحاسبة تستخدم E لبيان أس أو يوجد غالباً على الشاشة موضع مخصص، حيث تظهر أرقام ذات أحجام صغيرة نسبياً لتشمل الأسس في الآلة الحاسبة. مثال: اكتب 7,530,000 بالدلالة العلمية. إن قيمة a هي 7.53. النقطة العشرية عن يمين أول رقم غير صفري )، لذلك سيكون الشكل في صورة 6 ×10 7.53. 7,530,000 = 7.53×10⁶ لذلك سيكون الشكل في صورة 6 ×10 7.53. اكتب قيمة a، ووضع أصفاراً إضافية عن يمين الرقم. استعمل القوة للرقم a عدة منازل إلى اليمين. مثال: اكتب الرقم الآتي في صورته القياسية --- SECTION: إجراء العمليات الرياضية بدلالتها العلمية --- لإجراء العمليات الرياضية للأرقام المعبر عنها بدلالتها العلمية نستخدم خصائص الأسس. عملية الضرب: أوجد حاصل ضرب الحدود، ثم اجمع القوى للأساس 10. (4.0×10⁻⁸) (1.2×10⁵) = (4.0×1.2) (10⁻⁸ × 10⁵) = (4.8) (10⁻⁸⁺⁵) = (4.8) (10⁻³) = 4.8×10⁻³ ثم اطرح أسس الأساس 10. 9.60×10⁷ 1.60×10³ = (9.60 / 1.60) × (10⁷ / 10³) = 6.00 × 10⁷⁻³ = 6.00 × 10⁴ عملية القسمة: قم بإجراء عملية القسمة الممثلة للأرقام ذات الأساس 10. مثال: بسّط جمع الحدود والأرقام ذات الأساس 10 قسم الحدود واطرح القوس للأساس 10 وزارة 191 Ministry of Education 2025 - 1447