التغير العكسي Inverse Variation - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 التغير العكسي Inverse Variation

المفاهيم الأساسية

التغير العكسي: علاقة رياضية حيث يتغير أحد المتغيرين عكسيًا مع تغير الآخر. أي أنه عندما يزداد أحدهما، يتناقص الآخر، والعكس صحيح. التمثيل البياني لهذه العلاقة هو قطع زائد.

خريطة المفاهيم

```markmap

التمثيل البياني للعلاقات

المستوى الإحداثي (الديكارتي)

المحور السيني (x)

• خط الأعداد الأفقي
• يمثل المتغير المستقل

المحور الصادي (y)

• خط الأعداد العمودي
• يمثل المتغير التابع

نقطة الأصل (0,0)

• نقطة تقاطع المحورين

الزوج المرتب (x, y)

• تمثل نقطة على المستوى
• تكتب قيمة x أولاً

خطوات عمل رسم بياني

ارسم محورين متعامدين

حدد المتغيرات وعيّن المحاور

حدد مدى البيانات والمقياس المناسب

عيّن كل نقطة بيانيًا

ارسم خطًا أو منحنى يمر بأكبر عدد من النقاط

اكتب عنوانًا وصفيًا

أنواع العلاقات (من الأمثلة)

علاقة خطية (خط مستقيم)

• مثال: تحويل الريال السعودي إلى دولار

علاقة غير خطية (منحنى)

• عندما لا تقع النقاط على خط واحد

لا ميل واضح

• إما خط أو منحنى

الاستيفاء والاستقراء

الاستيفاء

• تقدير قيمة داخل نطاق البيانات
• مثال: تقدير الدولار المقابل لـ 500 ريال

الاستقراء

• تقدير قيمة خارج نطاق البيانات
• مثال: تقدير الدولار المقابل لـ 1100 ريال

المعادلة الخطية

• تساعد في عمليتي الاستيفاء والاستقراء

تفسير الرسم البياني الخطي

يوضح العلاقة الخطية بين متغيرين

نوعان من الرسوم البيانية الخطية تصف الحركة

مثال: رسم بياني (الموقع - الزمن)

• يوضح علاقة خطية متغيرة
• ثلاث مراحل: حركة بعيداً، ثبات، عودة

المعادلة الخطية Linear Equation

الصيغة العامة

• y = mx + b
• m: ميل الخط
• b: التقاطع الصادي

التمثيل البياني

• يمثل بخط مستقيم
• يلزم نقطتان لرسم الخط

خطوات التمثيل

اختر قيم للمتغير المستقل (x)

احسب القيم المقابلة للمتغير التابع (y)

عيّن النقاط (x, y) على المستوى

ارسم أفضل خط يمر بالنقاط

مثال تطبيقي

• المعادلة: y = -\frac{1}{2}x + 3
• الأزواج المرتبة: (0, 3)، (2, 2)، (6, 0)

الميل (Slope)

التعريف

• النسبة بين Δy (التغير الصادي) و Δx (التغير السيني)
• يصف انحدار الخط (موجب أو سالب)

طريقة الحساب

• اختر نقطتين: (x₁, y₁) و (x₂, y₂)
• احسب: m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

التغير الطردي (Direct variation)

الصيغة والمعنى

• y = mx (حيث m ثابت ≠ 0)
• y تتناسب طردياً مع x
• يمر الخط البياني من نقطة الأصل (0,0)

مثال فيزيائي

• معادلة القوة المرتجعة للنابض المثالي: F = -kx
• F (القوة) تتغير طردياً مع x (استطالة النابض)

التغير العكسي (Inverse Variation)

الصيغة والمعنى

• xy = m أو y = \frac{m}{x} (حيث m ثابت ≠ 0)
• y تتغير عكسيًا مع x
• ليست معادلة خطية (تحتوي على حاصل ضرب متغيرين)

التمثيل البياني

• عبارة عن قطع زائد (منحنى زائدي)
• له فرعين: أحدهما في الربع الأول والآخر في الربع الثالث

مثال تطبيقي

• المعادلة: xy = 90

مثال فيزيائي

• معادلة سرعة الموجة: v = \lambda f
• الطول الموجي (λ) يتناسب عكسيًا مع التردد (f)
• سرعة الموجة (v) تبقى ثابتة

```

نقاط مهمة

• العلاقة العكسية تعني أن حاصل ضرب المتغيرين (x و y) يساوي ثابتًا (m).
• التمثيل البياني للعلاقة العكسية هو قطع زائد، وليس خطًا مستقيمًا.
• من الأمثلة الفيزيائية على التغير العكسي: العلاقة بين الطول الموجي والتردد في معادلة سرعة الموجة.
• يمكن استخدام جدول الأزواج المرتبة (مثل: (-10, -9)، (2, 45)) لرسم منحنى التغير العكسي.

إذا احتوت المعادلة على ثابت غير صفري m، بحيث كانت y تتغير عكسيًا بتغير x؛ فإن y تتغير عكسيًا بتغير x؛ وهذا يعني أنه عندما يزداد المتغير المستقل x و لا يتناقصان تناسبًا عكسيًا. وهذه ليست معادلة خطية؛ لأنها تشتمل على حاصل ضرب متغيرين، والتمثيل البياني لعلاقة التناسب العكسي عبارة عن قطع زائد.

ويمكن كتابة هذه العلاقة على الشكل: xy = m y = m 1 x y = m x

مثال: مثل المعادلة 90 = xy بيانيًا.

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء في معادلة سرعة الموجة v = λ f ، حيث λ الطول الموجي، و f التردد، و v سرعة الموجة، نجد أن الطول الموجي يتناسب عكسيًا مع التردد؛ وهذا يعني أنه كلما ازداد تردد الموجة تناقص الطول الموجي، أما v فتبقى قيمتها ثابتة.

--- SECTION: التغير العكسي Inverse Variation --- إذا احتوت المعادلة على ثابت غير صفري m، بحيث كانت y تتغير عكسيًا بتغير x؛ فإن y تتغير عكسيًا بتغير x؛ وهذا يعني أنه عندما يزداد المتغير المستقل x و لا يتناقصان تناسبًا عكسيًا. وهذه ليست معادلة خطية؛ لأنها تشتمل على حاصل ضرب متغيرين، والتمثيل البياني لعلاقة التناسب العكسي عبارة عن قطع زائد. ويمكن كتابة هذه العلاقة على الشكل: xy = m y = m 1 x y = m x مثال: مثل المعادلة 90 = xy بيانيًا. --- SECTION: التمثيل البياني للتغير العكسي --- --- SECTION: الأزواج المرتبة --- ارتباط الرياضيات مع الفيزياء في معادلة سرعة الموجة v = λ f ، حيث λ الطول الموجي، و f التردد، و v سرعة الموجة، نجد أن الطول الموجي يتناسب عكسيًا مع التردد؛ وهذا يعني أنه كلما ازداد تردد الموجة تناقص الطول الموجي، أما v فتبقى قيمتها ثابتة. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: التمثيل البياني للتغير العكسي Description: A graph showing two branches of a hyperbola, one in the first quadrant and one in the third quadrant, representing inverse variation. The curve in the first quadrant is decreasing, and the curve in the third quadrant is also decreasing. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of inverse variation, showing the hyperbolic shape of the graph. **TABLE**: الأزواج المرتبة Description: A table listing ordered pairs (x, y) that satisfy an inverse variation relationship. Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: -10 | -9 Row 2: -6 | -15 Row 3: -3 | -30 Row 4: -2 | -45 Row 5: 2 | 45 Row 6: 3 | 30 Row 7: 6 | 15 Row 8: 10 | 9 Calculation needed: These points can be plotted to form the graph of an inverse variation. Context: Provides specific data points that illustrate the inverse relationship between x and y.