المثلثات القائمة - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 المثلثات القائمة

المفاهيم الأساسية

نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم الزاوية، إذا كان a و b هما طولا ضلعي القائمة، و c هو طول الوتر، فإن a^2 + b^2 = c^2.

خريطة المفاهيم

```markmap

التمثيل البياني للعلاقات

المستوى الإحداثي (الديكارتي)

المحور السيني (x)

• خط الأعداد الأفقي
• يمثل المتغير المستقل

المحور الصادي (y)

• خط الأعداد العمودي
• يمثل المتغير التابع

نقطة الأصل (0,0)

• نقطة تقاطع المحورين

الزوج المرتب (x, y)

• تمثل نقطة على المستوى
• تكتب قيمة x أولاً

خطوات عمل رسم بياني

ارسم محورين متعامدين

حدد المتغيرات وعيّن المحاور

حدد مدى البيانات والمقياس المناسب

عيّن كل نقطة بيانيًا

ارسم خطًا أو منحنى يمر بأكبر عدد من النقاط

اكتب عنوانًا وصفيًا

أنواع العلاقات (من الأمثلة)

علاقة خطية (خط مستقيم)

• مثال: تحويل الريال السعودي إلى دولار

علاقة غير خطية (منحنى)

• عندما لا تقع النقاط على خط واحد

لا ميل واضح

• إما خط أو منحنى

الاستيفاء والاستقراء

الاستيفاء

• تقدير قيمة داخل نطاق البيانات
• مثال: تقدير الدولار المقابل لـ 500 ريال

الاستقراء

• تقدير قيمة خارج نطاق البيانات
• مثال: تقدير الدولار المقابل لـ 1100 ريال

المعادلة الخطية

• تساعد في عمليتي الاستيفاء والاستقراء

تفسير الرسم البياني الخطي

يوضح العلاقة الخطية بين متغيرين

نوعان من الرسوم البيانية الخطية تصف الحركة

مثال: رسم بياني (الموقع - الزمن)

• يوضح علاقة خطية متغيرة
• ثلاث مراحل: حركة بعيداً، ثبات، عودة

المعادلة الخطية Linear Equation

الصيغة العامة

• y = mx + b
• m: ميل الخط
• b: التقاطع الصادي

التمثيل البياني

• يمثل بخط مستقيم
• يلزم نقطتان لرسم الخط

خطوات التمثيل

اختر قيم للمتغير المستقل (x)

احسب القيم المقابلة للمتغير التابع (y)

عيّن النقاط (x, y) على المستوى

ارسم أفضل خط يمر بالنقاط

مثال تطبيقي

• المعادلة: y = -\frac{1}{2}x + 3
• الأزواج المرتبة: (0, 3)، (2, 2)، (6, 0)

الميل (Slope)

التعريف

• النسبة بين Δy (التغير الصادي) و Δx (التغير السيني)
• يصف انحدار الخط (موجب أو سالب)

طريقة الحساب

• اختر نقطتين: (x₁, y₁) و (x₂, y₂)
• احسب: m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

التغير الطردي (Direct variation)

الصيغة والمعنى

• y = mx (حيث m ثابت ≠ 0)
• y تتناسب طردياً مع x
• يمر الخط البياني من نقطة الأصل (0,0)

مثال فيزيائي

• معادلة القوة المرتجعة للنابض المثالي: F = -kx
• F (القوة) تتغير طردياً مع x (استطالة النابض)

التغير العكسي (Inverse Variation)

الصيغة والمعنى

• xy = m أو y = \frac{m}{x} (حيث m ثابت ≠ 0)
• y تتغير عكسيًا مع x
• ليست معادلة خطية (تحتوي على حاصل ضرب متغيرين)

التمثيل البياني

• عبارة عن قطع زائد (منحنى زائدي)
• له فرعين: أحدهما في الربع الأول والآخر في الربع الثالث

مثال تطبيقي

• المعادلة: xy = 90

مثال فيزيائي

• معادلة سرعة الموجة: v = \lambda f
• الطول الموجي (λ) يتناسب عكسيًا مع التردد (f)
• سرعة الموجة (v) تبقى ثابتة

المعادلة التربيعية Quadratic Equation

الصيغة العامة

• y = ax² + bx + c حيث a ≠ 0

التمثيل البياني

• قطع مكافئ (Parabola)

اتجاه الفتحة

• يعتمد على معامل a
• إذا كان a موجباً: فتحة القطع للأعلى
• إذا كان a سالباً: فتحة القطع للأسفل

مثال تطبيقي

• المعادلة: y = -x² + 4x - 1
• فتحة القطع للأسفل (لأن a = -1)
• الرأس (النقطة العظمى) عند (2, 3)

الارتباط مع الفيزياء

• منحنى (الموقع - الزمن) على شكل قطع مكافئ
• يعني أن الجسم يتحرك بتسارع ثابت

مثال فيزيائي

• التمثيل البياني للمعادلة التربيعية للتسارع الثابت
• المحور السيني: الزمن (s)
• المحور الصادي: الموقع (m)
• نقاط المثال: (0,0)، (1,4)، (2,8)، (3,12)، (4,18)

المثلثات القائمة

نظرية فيثاغورس

• الصيغة: a^2 + b^2 = c^2
• a, b: طولا ضلعي القائمة
• c: طول الوتر
• صيغة حساب الوتر: c = \sqrt{a^2 + b^2}

مثال تطبيقي

• إذا كان a = 4 cm و b = 3 cm
• فإن: c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

مثلث 45° - 45° - 90°

• طول الوتر = \sqrt{2} \times طول ضلع المثلث

مثلث 30° - 60° - 90°

• طول الوتر = \sqrt{3} \times طول الضلع الأطول
• طول الضلع الأقصر = نصف طول الضلع الأصغر

```

نقاط مهمة

• نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة الزاوية.
• لحساب طول الوتر، نستخدم الصيغة: c = \sqrt{a^2 + b^2}.
• في المثلث القائم ذي الزوايا 45°، 45°، 90°، يكون طول الوتر \sqrt{2} مضروبًا في طول أي ضلع من ضلعي القائمة.
• في المثلث القائم ذي الزوايا 30°، 60°، 90°، توجد علاقات محددة بين أطوال الأضلاع والوتر.

Right Triangles

تنص نظرية فيثاغورس على أنه إذا كان كل من a، b يمثلان قياس ضلعي المثلث القائم الزاوية وكانت c تمثل قياس الوتر فإن $a^2 + b^2 = c^2$ . ولأن المسافة موجبة وليس لها معنى فإن القيمة السالبة للجذر التربيعي تستعمل.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

احسب طول الوتر c في المثلث القائم حيث $a = 4$ cm و $b = 3$ cm

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

$= \sqrt{(4 \text{ cm})^2 + (3 \text{ cm})^2}$

$= \sqrt{16 \text{ cm}^2 + 9 \text{ cm}^2}$

$= \sqrt{25 \text{ cm}^2}$

$= 5 \text{ cm}$

إذا كان قياس زوايا المثلث القائم الزاوية 45°، 45°، 90° فإن طول الوتر يساوي $\sqrt{2}$ مضروبًا في طول ضلع المثلث.

إذا كان قياس زوايا المثلث القائم الزاوية 30°، 60°، 90° فإن طول الوتر يساوي $\sqrt{3}$ مرة من طول الضلع الأطول، وطول الضلع الأقصر يساوي نصف طول الضلع الأصغر.

--- SECTION: المثلثات القائمة --- Right Triangles تنص نظرية فيثاغورس على أنه إذا كان كل من a، b يمثلان قياس ضلعي المثلث القائم الزاوية وكانت c تمثل قياس الوتر فإن $a^2 + b^2 = c^2$ . ولأن المسافة موجبة وليس لها معنى فإن القيمة السالبة للجذر التربيعي تستعمل. $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ --- SECTION: مثال --- احسب طول الوتر c في المثلث القائم حيث $a = 4$ cm و $b = 3$ cm $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ $= \sqrt{(4 \text{ cm})^2 + (3 \text{ cm})^2}$ $= \sqrt{16 \text{ cm}^2 + 9 \text{ cm}^2}$ $= \sqrt{25 \text{ cm}^2}$ $= 5 \text{ cm}$ إذا كان قياس زوايا المثلث القائم الزاوية 45°، 45°، 90° فإن طول الوتر يساوي $\sqrt{2}$ مضروبًا في طول ضلع المثلث. إذا كان قياس زوايا المثلث القائم الزاوية 30°، 60°، 90° فإن طول الوتر يساوي $\sqrt{3}$ مرة من طول الضلع الأطول، وطول الضلع الأقصر يساوي نصف طول الضلع الأصغر. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle with sides labeled 'a' and 'b' as legs (ضلع) and 'c' as the hypotenuse (وتر). A right angle symbol is shown between sides a and b. Context: Illustrates the sides of a right-angled triangle for the Pythagorean theorem. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle with legs labeled '3' and '4', and the hypotenuse labeled 'c'. The right angle is between the legs. Context: Visual example for calculating the hypotenuse using the Pythagorean theorem with given leg lengths. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle with one angle labeled 45 degrees. The side opposite this angle is labeled 'x', and the hypotenuse is labeled '(√2)x'. The other leg is also labeled 'x'. Context: Illustrates the properties of a 45-45-90 triangle, showing the relationship between legs and hypotenuse. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle with angles labeled 30° and 60°. The side opposite the 30° angle is labeled 'x', the side opposite the 60° angle is labeled '2x', and the hypotenuse is labeled '(√3)x'. Context: Illustrates the properties of a 30-60-90 triangle, showing the relationships between sides and angles.