النسب المثلثية - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 النسب المثلثية وقوانين المثلثات

المفاهيم الأساسية

النسب المثلثية: نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية.

قانون جيب التمام وقانون الجيب: يمنحان القدرة على حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث.

خريطة المفاهيم

```markmap

التمثيل البياني للعلاقات

المستوى الإحداثي (الديكارتي)

المحور السيني (x)

• خط الأعداد الأفقي
• يمثل المتغير المستقل

المحور الصادي (y)

• خط الأعداد العمودي
• يمثل المتغير التابع

نقطة الأصل (0,0)

• نقطة تقاطع المحورين

الزوج المرتب (x, y)

• تمثل نقطة على المستوى
• تكتب قيمة x أولاً

خطوات عمل رسم بياني

ارسم محورين متعامدين

حدد المتغيرات وعيّن المحاور

حدد مدى البيانات والمقياس المناسب

عيّن كل نقطة بيانيًا

ارسم خطًا أو منحنى يمر بأكبر عدد من النقاط

اكتب عنوانًا وصفيًا

أنواع العلاقات (من الأمثلة)

علاقة خطية (خط مستقيم)

• مثال: تحويل الريال السعودي إلى دولار

علاقة غير خطية (منحنى)

• عندما لا تقع النقاط على خط واحد

لا ميل واضح

• إما خط أو منحنى

الاستيفاء والاستقراء

الاستيفاء

• تقدير قيمة داخل نطاق البيانات
• مثال: تقدير الدولار المقابل لـ 500 ريال

الاستقراء

• تقدير قيمة خارج نطاق البيانات
• مثال: تقدير الدولار المقابل لـ 1100 ريال

المعادلة الخطية

• تساعد في عمليتي الاستيفاء والاستقراء

تفسير الرسم البياني الخطي

يوضح العلاقة الخطية بين متغيرين

نوعان من الرسوم البيانية الخطية تصف الحركة

مثال: رسم بياني (الموقع - الزمن)

• يوضح علاقة خطية متغيرة
• ثلاث مراحل: حركة بعيداً، ثبات، عودة

المعادلة الخطية Linear Equation

الصيغة العامة

• y = mx + b
• m: ميل الخط
• b: التقاطع الصادي

التمثيل البياني

• يمثل بخط مستقيم
• يلزم نقطتان لرسم الخط

خطوات التمثيل

اختر قيم للمتغير المستقل (x)

احسب القيم المقابلة للمتغير التابع (y)

عيّن النقاط (x, y) على المستوى

ارسم أفضل خط يمر بالنقاط

مثال تطبيقي

• المعادلة: y = -\frac{1}{2}x + 3
• الأزواج المرتبة: (0, 3)، (2, 2)، (6, 0)

الميل (Slope)

التعريف

• النسبة بين Δy (التغير الصادي) و Δx (التغير السيني)
• يصف انحدار الخط (موجب أو سالب)

طريقة الحساب

• اختر نقطتين: (x₁, y₁) و (x₂, y₂)
• احسب: m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

التغير الطردي (Direct variation)

الصيغة والمعنى

• y = mx (حيث m ثابت ≠ 0)
• y تتناسب طردياً مع x
• يمر الخط البياني من نقطة الأصل (0,0)

مثال فيزيائي

• معادلة القوة المرتجعة للنابض المثالي: F = -kx
• F (القوة) تتغير طردياً مع x (استطالة النابض)

التغير العكسي (Inverse Variation)

الصيغة والمعنى

• xy = m أو y = \frac{m}{x} (حيث m ثابت ≠ 0)
• y تتغير عكسيًا مع x
• ليست معادلة خطية (تحتوي على حاصل ضرب متغيرين)

التمثيل البياني

• عبارة عن قطع زائد (منحنى زائدي)
• له فرعين: أحدهما في الربع الأول والآخر في الربع الثالث

مثال تطبيقي

• المعادلة: xy = 90

مثال فيزيائي

• معادلة سرعة الموجة: v = \lambda f
• الطول الموجي (λ) يتناسب عكسيًا مع التردد (f)
• سرعة الموجة (v) تبقى ثابتة

المعادلة التربيعية Quadratic Equation

الصيغة العامة

• y = ax² + bx + c حيث a ≠ 0

التمثيل البياني

• قطع مكافئ (Parabola)

اتجاه الفتحة

• يعتمد على معامل a
• إذا كان a موجباً: فتحة القطع للأعلى
• إذا كان a سالباً: فتحة القطع للأسفل

مثال تطبيقي

• المعادلة: y = -x² + 4x - 1
• فتحة القطع للأسفل (لأن a = -1)
• الرأس (النقطة العظمى) عند (2, 3)

الارتباط مع الفيزياء

• منحنى (الموقع - الزمن) على شكل قطع مكافئ
• يعني أن الجسم يتحرك بتسارع ثابت

مثال فيزيائي

• التمثيل البياني للمعادلة التربيعية للتسارع الثابت
• المحور السيني: الزمن (s)
• المحور الصادي: الموقع (m)
• نقاط المثال: (0,0)، (1,4)، (2,8)، (3,12)، (4,18)

المثلثات القائمة

نظرية فيثاغورس

• الصيغة: a^2 + b^2 = c^2
• a, b: طولا ضلعي القائمة
• c: طول الوتر
• صيغة حساب الوتر: c = \sqrt{a^2 + b^2}

مثال تطبيقي

• إذا كان a = 4 cm و b = 3 cm
• فإن: c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

مثلث 45° - 45° - 90°

• طول الوتر = \sqrt{2} \times طول ضلع المثلث

مثلث 30° - 60° - 90°

• طول الوتر = \sqrt{3} \times طول الضلع الأطول
• طول الضلع الأقصر = نصف طول الضلع الأصغر

النسب المثلثية

التعريف

• نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية

النسب الأساسية

• الجيب (sin θ): sin θ = \frac{المقابل}{الوتر}
• جيب التمام (cos θ): cos θ = \frac{المجاور}{الوتر}
• الظل (tan θ): tan θ = \frac{المقابل}{المجاور}

مساعدة الذاكرة (SOH-CAH-TOA)

• SOH: جيب = مقابل / وتر
• CAH: جيب تمام = مجاور / وتر
• TOA: ظل = مقابل / مجاور

قانون جيب التمام وقانون الجيب

الغرض

• حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث

ملاحظة

• قانون جيب التمام يشبه نظرية فيثاغورس مع حد إضافي
• إذا كانت الزاوية θ = 90°، فإن cos θ = 0 ويختفي الحد الأخير

```

نقاط مهمة

• النسب المثلثية الأساسية هي sin θ، cos θ، tan θ.
• اختصار SOH-CAH-TOA يساعد على تذكر تعريفات النسب.
• قانون جيب التمام وقانون الجيب يعممان الحسابات على جميع المثلثات، وليس فقط القائمة.

النسب المثلثية عبارة عن نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. والنسب المثلثية الأكثر شيوعًا هي الجيب sin θ، وجيب التمام cos θ، والظل tan θ. ولاختصار هذه النسب تعلم الاختصارات الآتية SOH-CAH-TOA. وتشير SOH إلى جيب، مقابل الوتر، وتشير CAH إلى جيب تمام، مجاور الوتر، وتشير TOA إلى ظل تمام.

جدول يوضح الرموز ومساعدة الذاكرة والتعابير للنسب المثلثية.

في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت a=3 cm، b = 4 cm، c=5 cm، فأوجد كلا من cos θ و sin θ. sin θ = 3 cm / 5 cm = 0.6 cos θ = 4 cm / 5 cm = 0.8

مثال: في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت θ = 30.0°، c = 20.0 cm، فأوجد a و b . sin 30.0° = a / 20.0 cm cos 30.0° = b / 20.0 cm a = (20.0 cm)(sin 30.0°) = 10.0 cm b = (20.0 cm)(cos 30.0°) = 17.3 cm

قانون جيب التمام وقانون الجيب يمنحك قانونا جيب التمام والجيب القدرة على حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث. قانون جيب التمام يشبه قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس فيما عدا الحد الأخير. وتمثل θ الزاوية المقابلة للضلع c. فإذا كان قياس الزاوية 90° = θ فإن جتا θ = 0 واحد الحد الأخير يساوي صفراً.

--- SECTION: النسب المثلثية --- النسب المثلثية عبارة عن نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. والنسب المثلثية الأكثر شيوعًا هي الجيب sin θ، وجيب التمام cos θ، والظل tan θ. ولاختصار هذه النسب تعلم الاختصارات الآتية SOH-CAH-TOA. وتشير SOH إلى جيب، مقابل الوتر، وتشير CAH إلى جيب تمام، مجاور الوتر، وتشير TOA إلى ظل تمام. --- SECTION: الرموز ومساعدة الذاكرة والتعابير --- جدول يوضح الرموز ومساعدة الذاكرة والتعابير للنسب المثلثية. --- SECTION: مثال: --- في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت a=3 cm، b = 4 cm، c=5 cm، فأوجد كلا من cos θ و sin θ. sin θ = 3 cm / 5 cm = 0.6 cos θ = 4 cm / 5 cm = 0.8 مثال: في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت θ = 30.0°، c = 20.0 cm، فأوجد a و b . sin 30.0° = a / 20.0 cm cos 30.0° = b / 20.0 cm a = (20.0 cm)(sin 30.0°) = 10.0 cm b = (20.0 cm)(cos 30.0°) = 17.3 cm --- SECTION: Law of Cosines and Law of Sines --- قانون جيب التمام وقانون الجيب يمنحك قانونا جيب التمام والجيب القدرة على حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث. قانون جيب التمام يشبه قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس فيما عدا الحد الأخير. وتمثل θ الزاوية المقابلة للضلع c. فإذا كان قياس الزاوية 90° = θ فإن جتا θ = 0 واحد الحد الأخير يساوي صفراً. --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: الرموز | مساعدة الذاكرة | التعابير Rows: Row 1: sin θ = a/c | يشير الـ sin إلى نسبة المقابل للزاوية إلى الوتر | sin θ = المقابل / الوتر Row 2: cos θ = b/c | يشير الـ cos إلى نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر. | cos θ = المجاور / الوتر Row 3: tan θ = a/b | يشير الـ tan إلى نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور للزاوية | tan θ = المقابل / المجاور Calculation needed: Definitions and formulas for trigonometric ratios. Context: This table defines the basic trigonometric ratios (sine, cosine, tangent) and provides mnemonic aids and their mathematical expressions. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle labeled ABC. Angle A is labeled with θ. Side opposite angle C (hypotenuse) is labeled c. Side opposite angle A is labeled a (مقابل - opposite). Side adjacent to angle A is labeled b (مجاور - adjacent). The right angle is at C. Context: Illustrates the sides of a right triangle relative to an angle θ, used in trigonometric definitions and examples.