سؤال 11: 11. افترض أن القمر في المثال السابق تحرك إلى مدار نصف قطره أكبر 24 km من نصف القطر السابق، فكم يصبح مقدار سرعته ؟ وهل هذه السرعة أكبر أم أقل مما في المثال السابق؟
الإجابة: س11: $v \approx 7.75 \times 10^3 \text{ m/s}$ وهي أقل من سرعة المثال السابق لأن $7.75 \times 10^3 < 7.76 \times 10^3$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا قمر يتحرك في مدار. - في المثال السابق، كان له نصف قطر معين وسرعة معينة. - في هذا السؤال، ينتقل القمر إلى مدار جديد. - نصف قطر المدار الجديد أكبر من نصف القطر السابق بمقدار 24 كيلومتر. - نحتاج إلى إيجاد سرعة القمر في هذا المدار الجديد ومقارنتها بالسرعة السابقة.
- **الخطوة 2 (القانون):** نتذكر قانون سرعة الجسم في مدار دائري حول كوكب (مثل الأرض). $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ حيث: - $v$ هي السرعة المدارية. - $G$ هو ثابت الجذب العام. - $M$ هي كتلة الكوكب (الأرض في هذه الحالة). - $r$ هو نصف قطر المدار (المسافة من مركز الكوكب إلى القمر). من هذا القانون، نلاحظ أن السرعة $v$ تتناسب عكسياً مع الجذر التربيعي لنصف القطر $r$. أي: إذا زاد نصف القطر $r$، فإن السرعة $v$ تقل.
- **الخطوة 3 (الحل):** السؤال يقول إن نصف القطر الجديد أكبر من نصف القطر السابق بمقدار 24 كم. هذا يعني أن $r_{\text{جديد}} = r_{\text{قديم}} + 24 \text{ km}$. بما أن السرعة تتناسب عكسياً مع $\sqrt{r}$، فإن زيادة $r$ ستؤدي إلى نقصان السرعة $v$. لحساب السرعة الجديدة بدقة، نحتاج إلى قيم $G$ و $M$ و $r_{\text{قديم}}$ من المثال السابق. لكن السؤال يعطينا الإجابة مباشرة بعد الحساب. بالتعويض في القانون مع القيم المناسبة (التي يجب أن تكون معطاة في المثال السابق)، نحصل على: $$v_{\text{جديد}} \approx 7.75 \times 10^3 \ \text{m/s}$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: 1. مقدار السرعة الجديدة هو: **$7.75 \times 10^3 \ \text{m/s}$**. 2. للمقارنة: السرعة في المثال السابق كانت $7.76 \times 10^3 \ \text{m/s}$. بما أن $7.75 \times 10^3 < 7.76 \times 10^3$، فإن السرعة الجديدة **أقل** من السرعة في المثال السابق. وهذا يتوافق مع قانون السرعة المدارية: عندما يزداد نصف قطر المدار، تقل السرعة المطلوبة للبقاء في ذلك المدار.