صفحة 216 - كتاب الفيزياء - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 ارتباط الرياضيات مع الفيزياء

المفاهيم الأساسية

المعادلة التربيعية: تعبير عام على الصورة 0 = c + bx + ax^2، حيث a \neq 0، وتتضمن متغيراً مرفوعاً للأس 2 وآخر مرفوعاً للأس 1.

خريطة المفاهيم

```markmap

دليل الرياضيات

VI. المعادلات

حل المعادلات

#### فصل المتغير (عزل المتغير)

##### المفهوم

• حل معادلة متعددة المتغيرات بالنسبة لمتغير واحد.
• يصبح معامل المتغير 1 في أحد الطرفين.

##### مثال من الفيزياء

• عزل الضغط (P) في قانون الغاز المثالي.

- PV = nRT

- قسمة الطرفين على V: PV / V = nRT / V

- P (V / V) = nRT / V

- P = nRT / V

#### خاصية الجذر التربيعي

##### القاعدة

• إذا كان a² = n و n ≥ 0، فإن a = ± √n.

##### تطبيق في الفيزياء

• حل المعادلة بالنسبة لـ v في قانون نيوتن للقمر.

- mv^2/r = Gm_E m / r^2

- الضرب في r: mv^2 = Gm_E m / r

- القسمة على m: v^2 = Gm_E / r

- أخذ الجذر التربيعي: v = \sqrt{Gm_E / r}

- نختار القيمة الموجبة للسرعة.

المعادلات التربيعية

#### الصيغة العامة

• 0 = c + bx + ax^2 حيث a \neq 0.

#### طرق الحل

• التمثيل البياني.
• إذا كانت b = 0، نحل بإيجاد الجذر التربيعي.

#### الصيغة التربيعية

• حلول المعادلة 0 = c + bx + ax^2 تُعطى بـ:

- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

• يجب مراعاة واقعية الحل (قد يكون غير حقيقي).

```

نقاط مهمة

• عند حل المعادلة بالنسبة لمتغير معين (مثل v)، نختار القيمة المنطقية (الموجبة) للجذر التربيعي، حيث تشير القيمة السالبة إلى فترة زمنية قبل بدء الدراسة.
• يمكن تقدير حلول المعادلة التربيعية ببساطة باستخدام التمثيل البياني.
• عند استخدام الصيغة التربيعية أو خاصية الجذر التربيعي، من المهم الأخذ بعين الاعتبار واقعية الحل الناتج.

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء حل المعادلة بالنسبة للمتغير v في القانون الثاني لنيوتن لقمر يدور حول الأرض.

mv^2/r = Gm_E m / r^2

mv^2 = rGm_E m / r^2

اضرب طرفي المعادلة كليهما في المتغير r

mv^2 = Gm_E m / r

قسم طرفي المعادلة على m.

mv^2 / m = Gm_E m / rm

v^2 = Gm_E / r

بالتعويض عن 1 = r/r

بالتعويض عن 1 = m/m

ضع الجذر التربيعي على طرفي المعادلة

sqrt(v^2) = +/- sqrt(Gm_E / r)

استعمل القيمة الموجبة للسرعة.

v = sqrt(Gm_E / r)

المهم الانتباه للمتغير الذي ستقوم بحل المعادلة بالنسبة له. لأننا قمنا بحل المعادلة بالنسبة لـ v، لذلك لم يكن من المنطق استعمال القيمة السالبة أو الموجبة للجذر الصحيح، فمثلاً عندما تستعمل خاصية الجذر التربيعي القيمة السالبة تشير إلى الفترة الزمنية قبل بدء دراستها.

المعادلات التربيعية Quadratic Equations

التعبير العام للمعادلة التربيعية 0 = c + bx + ax^2 ، حيث 0 ≠ a ، وتتضمن حلول المعادلة التربيعية متغيراً واحداً مرفوعاً للقوة (الأس) 2 بالإضافة إلى المتغير نفسه مرفوعاً للأس 1 . كما يمكن تقدير حلول المعادلة التربيعية ببساطة بواسطة التمثيل البياني بفضل استعمال الآلة الحاسبة الرسمة بيانيا. إذا كانت 0 = b فإن الحد x غير موجود في المعادلة التربيعية. ويمكن حل المعادلة بفضل المتغير المربع، ثم إيجاد الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة.

الصيغة التربيعية Quadratic Formula

باستعمال الصيغة التربيعية، لذلك فإن حلول المعادلة 0 = c + bx + ax^2 ، لذلك فإن حلول المعادلة التربيعية 0 = c + bx + ax^2 ، لذلك فإن حلول المعادلة التربيعية تُعطى من خلال المعادلة الآتية:

x = -b ± sqrt(b^2 - 4ac) / 2a

وكما في حالة خاصية الجذر التربيعي، من المهم الأخذ بعين الاعتبار لحلوله لكونه حلاً غير حقيقي. تتطلب حركة المقذوف معادلة، لذلك حافظ على واقعية الحل في ذهنك عند حل المعادلة.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

216

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء حل المعادلة بالنسبة للمتغير v في القانون الثاني لنيوتن لقمر يدور حول الأرض. mv^2/r = Gm_E m / r^2 mv^2 = rGm_E m / r^2 اضرب طرفي المعادلة كليهما في المتغير r mv^2 = Gm_E m / r قسم طرفي المعادلة على m. mv^2 / m = Gm_E m / rm v^2 = Gm_E / r بالتعويض عن 1 = r/r بالتعويض عن 1 = m/m ضع الجذر التربيعي على طرفي المعادلة sqrt(v^2) = +/- sqrt(Gm_E / r) استعمل القيمة الموجبة للسرعة. v = sqrt(Gm_E / r) المهم الانتباه للمتغير الذي ستقوم بحل المعادلة بالنسبة له. لأننا قمنا بحل المعادلة بالنسبة لـ v، لذلك لم يكن من المنطق استعمال القيمة السالبة أو الموجبة للجذر الصحيح، فمثلاً عندما تستعمل خاصية الجذر التربيعي القيمة السالبة تشير إلى الفترة الزمنية قبل بدء دراستها. المعادلات التربيعية Quadratic Equations التعبير العام للمعادلة التربيعية 0 = c + bx + ax^2 ، حيث 0 ≠ a ، وتتضمن حلول المعادلة التربيعية متغيراً واحداً مرفوعاً للقوة (الأس) 2 بالإضافة إلى المتغير نفسه مرفوعاً للأس 1 . كما يمكن تقدير حلول المعادلة التربيعية ببساطة بواسطة التمثيل البياني بفضل استعمال الآلة الحاسبة الرسمة بيانيا. إذا كانت 0 = b فإن الحد x غير موجود في المعادلة التربيعية. ويمكن حل المعادلة بفضل المتغير المربع، ثم إيجاد الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة. الصيغة التربيعية Quadratic Formula باستعمال الصيغة التربيعية، لذلك فإن حلول المعادلة 0 = c + bx + ax^2 ، لذلك فإن حلول المعادلة التربيعية 0 = c + bx + ax^2 ، لذلك فإن حلول المعادلة التربيعية تُعطى من خلال المعادلة الآتية: x = -b ± sqrt(b^2 - 4ac) / 2a وكما في حالة خاصية الجذر التربيعي، من المهم الأخذ بعين الاعتبار لحلوله لكونه حلاً غير حقيقي. تتطلب حركة المقذوف معادلة، لذلك حافظ على واقعية الحل في ذهنك عند حل المعادلة. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 216