مثال - كتاب الفيزياء - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المعادلات

المفاهيم الأساسية

حل المعادلة: إيجاد قيمة المتغير الذي يجعل المعادلة تعبيراً رياضياً صحيحاً.

الخاصية التوزيعية: لأي أعداد a، b، c تكون:

a(b+c)=ab+ac

a(b-c)=ab-ac

خريطة المفاهيم

```markmap

دليل الرياضيات

IV. الأسس والقوى والجذور والقيمة المطلقة

خصائص الأسس

#### ضرب القوى (نفس الأساس)

• (aᵐ)(aⁿ) = aᵐ⁺ⁿ

#### قسمة القوى (نفس الأساس)

• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

#### قوة مرفوعة لقوة

• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

#### الجذر مرفوع لقوة

• ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ

#### قوة حاصل الضرب

• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

القيمة المطلقة

#### التعريف

• قيمة الرقم بغض النظر عن إشارته.
• |n| ≥ 0 دائماً.

#### أمثلة

• |3| = 3
• |-3| = 3

الدلالة العلمية

#### الصيغة

• a × 10ⁿ

#### الشروط

• 1 ≤ a < 10
• n عدد صحيح.

#### المكونات

• الحد (a)
• الأساس (10)
• القوة (n)

#### الارتباط مع الفيزياء

• تستخدم للتعبير عن القياسات الكبيرة (مثل كتلة البروتون) أو الصغيرة.
• تحافظ على المسار الدقيق للأرقام المعنوية.
• مثال: كثافة الماء 1000 kg/m³ لأربعة أرقام معنوية تكتب 1.000 \times 10^3.

#### التحويل من الصورة العادية إلى العلمية

• مثال: 7,530,000 = 7.53 \times 10^6
• القاعدة: تحريك الفاصلة العشرية لليمين حتى يصبح a بين 1 و10. عدد المنازل = القوة (n).

#### التحويل من الصورة العلمية إلى العادية

• مثال: 2.389 \times 10^5 = 238,900
• القاعدة: تحريك الفاصلة العشرية في a لليمين بمقدار n منزلة (تضيف أصفاراً إذا لزم الأمر).

#### تمثيل الآلة الحاسبة

• تستخدم الحاسبة "e" أو "E" للأسس (مثال: 2.4e+11 تعني 2.4 \times 10^{11}).

#### الأرقام الصغيرة والأسس السالبة

##### التحويل إلى الصيغة العلمية

• حدد قيمة a (1 ≤ a < 10).
• احسب عدد المنازل العشرية من النقطة العشرية في a إلى النقطة العشرية في الرقم الأصلي.
• استخدم ذلك العدد قوة سالبة للأساس 10.
• مثال: 0.000000285 = 2.85 \times 10^{-7}

##### التحويل إلى الصورة القياسية

• اكتب قيمة a.
• أضف أصفاراً إضافية عن يسار a.
• استخدم القوة وحرك النقطة العشرية في a عدة منازل إلى اليسار.

#### إجراء العمليات الرياضية

##### الضرب

• أوجد حاصل ضرب الحدود (a).
• اجمع القوى للأساس 10.
• مثال: (4.0 \times 10^{-8})(1.2 \times 10^{5}) = (4.0 \times 1.2) \times (10^{-8+5}) = 4.8 \times 10^{-3}

##### القسمة

• قم بقسمة الأرقام الممثلة للقواعد (a).
• اطرح أسس الأساس 10.
• مثال: \frac{9.60 \times 10^{7}}{1.60 \times 10^{3}} = (9.60/1.60) \times (10^{7-3}) = 6.00 \times 10^{4}

##### الجمع والطرح

• الشرط الأساسي: يجب أن تكون قوى الأساس 10 متماثلة.
• إذا كانت القوى متساوية: استخدم الخاصية التوزيعية.

- مثال: (3.2×10⁵) + (4.8×10⁵) = (3.2+4.8) ×10⁵ = 8.0×10⁵

• إذا كانت القوى مختلفة: أعد كتابة أحد الأرقام ليكون له نفس القوة.

- مثال: (3.2×10⁵) + (4.8×10⁴) = (3.2×10⁵) + (0.48×10⁵) = (3.2+0.48) ×10⁵ = 3.68×10⁵ ≈ 3.7×10⁵

• التقريب: قرب النتيجة باستخدام قاعدة الجمع/الطرح للأرقام المعنوية.

VI. المعادلات

ترتيب العمليات

#### الخطوات

بسط التعبيرات داخل الرموز التجميعية: ( )، [ ]، { }، أعمدة الكسر.

قدّر قيمة جميع القوى والجذور.

نفذ جميع عمليات الضرب و/أو القسمة من اليسار إلى اليمين.

نفذ جميع عمليات الجمع و/أو الطرح من اليسار إلى اليمين.

#### مثال

• 4+3 (3) -2³ = 4+3 (3) - 8 =4+9-8 = 5

حل المعادلات

#### تعريف

• إيجاد قيمة المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.

#### القاعدة الأساسية

• إذا طبقت خاصية في طرف، وجب تطبيقها في الطرف الآخر.

#### خصائص المتكافئات

##### خاصيتا الجمع والطرح

• إذا تساوت كميتان وأضيف أو طرح منهما العدد نفسه، فالناتجان متساويان.

- مثال: x - 3 = 7 \Rightarrow x - 3 + 3 = 7 + 3 \Rightarrow x = 10

- مثال: t + 2 = -5 \Rightarrow t + 2 - 2 = -5 - 2 \Rightarrow t = -7

##### خاصيتا الضرب والقسمة

• إذا ضربت أو قسمت كميتين متساويتين في العدد نفسه (غير الصفر)، فالناتجان متساويان.

- مثال: \frac{1}{4}a = 3 \Rightarrow (4)(\frac{1}{4})a = 3(4) \Rightarrow a = 12

#### الخاصية التوزيعية

• a(b+c)=ab+ac
• a(b-c)=ab-ac
• مثال: 3(x+2) = 3x + (3)(2) = 3x + 6

```

نقاط مهمة

• عند حل المسائل الفيزيائية، لا تجري التقريب للأرقام المعنوية إلا بعد حساب النتيجة النهائية.
• في الحسابات التي تتضمن تعابير في المقام، عالج البسط والمقام كمجموعتين منفصلتين، ثم أجرِ عملية القسمة.
• عند حل المعادلات، طبق خاصية التوزيع وخصائص التكافؤ مع مراعاة تطبيق نفس الخصائص على طرفي المعادلة.

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء يوضح المثال السابق عملية ترتيب العمليات الحسابية خطوة بخطوة. فعند حل المسائل الفيزيائية لا تجري عملية التقريب للأرقام المعنوية إلا بعد حساب النتيجة النهائية. في حالة الحسابات التي تتضمن تعابير رياضية في المقام عليك معاملة كل من البسط والمقام بوصفهما مجموعتين منفصلتين، ثم تجري عملية القسمة فقط أن تجري عملية الضرب / القسمة

حل المعادلات

إن حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المتغير الذي يجعل المعادلة تعبيراً رياضياً صحيحاً. وعند حل المعادلات طبّق خاصية التوزيع وخصائص التكافؤ، وإذا طبقت أياً من خصائص المتكافئات في أحد طرفي المعادلة وجب أن تطبق الخصائص نفسها في الطرف الآخر.

الخاصية التوزيعية لأي من الأعداد a ، b ، c يكون:

a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac

استعمل الخاصية التوزيعية لفكك التعبير الآتي:

3 (x + 2) = 3 x + (3) (2) = 3x + 6

خاصيتا الجمع والطرح للمتكافئات إذا تساوت كميتان وأضيف العدد نفسه أو طرح منه فإن الناتجين متساويان أيضاً.

حل المعادلة 7 = 3 - x مستعملاً خاصية الجمع

x-3 = 7 x-3 + 3 = 7 + 3 x=10

حل المعادلة 5 - = 2 + t مستعملاً خاصية الطرح

t + 2 = -5 t + 2 - 2 = -5 - 2 t = -7

خاصيتا الضرب والقسمة للمتكافئات إذا ضربت أو قسمت كميتين متساويتين في العدد نفسه، فستكون الكميات

الناتجة متساوية أيضاً.

حل المعادلة 3 = a 4 / 1 مستعملاً خاصية الضرب

ac = bc a/c = b, for c ≠ 0

(1/4) a = 3 (4) (1/4) a = 3 (4) a = 12

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

214

ارتباط الرياضيات مع الفيزياء يوضح المثال السابق عملية ترتيب العمليات الحسابية خطوة بخطوة. فعند حل المسائل الفيزيائية لا تجري عملية التقريب للأرقام المعنوية إلا بعد حساب النتيجة النهائية. في حالة الحسابات التي تتضمن تعابير رياضية في المقام عليك معاملة كل من البسط والمقام بوصفهما مجموعتين منفصلتين، ثم تجري عملية القسمة فقط أن تجري عملية الضرب / القسمة حل المعادلات إن حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المتغير الذي يجعل المعادلة تعبيراً رياضياً صحيحاً. وعند حل المعادلات طبّق خاصية التوزيع وخصائص التكافؤ، وإذا طبقت أياً من خصائص المتكافئات في أحد طرفي المعادلة وجب أن تطبق الخصائص نفسها في الطرف الآخر. الخاصية التوزيعية لأي من الأعداد a ، b ، c يكون: a(b+c)=ab+ac a(b-c)=ab-ac --- SECTION: مثال --- استعمل الخاصية التوزيعية لفكك التعبير الآتي: 3 (x + 2) = 3 x + (3) (2) = 3x + 6 خاصيتا الجمع والطرح للمتكافئات إذا تساوت كميتان وأضيف العدد نفسه أو طرح منه فإن الناتجين متساويان أيضاً. --- SECTION: مثال --- حل المعادلة 7 = 3 - x مستعملاً خاصية الجمع x-3 = 7 x-3 + 3 = 7 + 3 x=10 --- SECTION: مثال --- حل المعادلة 5 - = 2 + t مستعملاً خاصية الطرح t + 2 = -5 t + 2 - 2 = -5 - 2 t = -7 خاصيتا الضرب والقسمة للمتكافئات إذا ضربت أو قسمت كميتين متساويتين في العدد نفسه، فستكون الكميات الناتجة متساوية أيضاً. --- SECTION: مثال --- حل المعادلة 3 = a 4 / 1 مستعملاً خاصية الضرب ac = bc a/c = b, for c ≠ 0 (1/4) a = 3 (4) (1/4) a = 3 (4) a = 12 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 214