المعادلة الخطية - كتاب الفيزياء - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 دليل الرياضيات: المعادلة الخطية والتمثيل البياني

المفاهيم الأساسية

المعادلة الخطية (Linear Equation): يمكن كتابتها بالشكل y = mx + b، حيث:

* m: ميل الخط (عدد حقيقي).

* b: التقاطع الصادي، وهو نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي.

خريطة المفاهيم

```markmap

دليل الرياضيات

VI. المعادلات

حل المعادلات

#### فصل المتغير (عزل المتغير)

##### المفهوم

• حل معادلة متعددة المتغيرات بالنسبة لمتغير واحد.
• يصبح معامل المتغير 1 في أحد الطرفين.

##### مثال من الفيزياء

• عزل الضغط (P) في قانون الغاز المثالي.

- PV = nRT

- قسمة الطرفين على V: PV / V = nRT / V

- P (V / V) = nRT / V

- P = nRT / V

#### خاصية الجذر التربيعي

##### القاعدة

• إذا كان a² = n و n ≥ 0، فإن a = ± √n.

##### تطبيق في الفيزياء

• حل المعادلة بالنسبة لـ v في قانون نيوتن للقمر.

- mv^2/r = Gm_E m / r^2

- الضرب في r: mv^2 = Gm_E m / r

- القسمة على m: v^2 = Gm_E / r

- أخذ الجذر التربيعي: v = \sqrt{Gm_E / r}

- نختار القيمة الموجبة للسرعة.

المعادلات التربيعية

#### الصيغة العامة

• 0 = c + bx + ax^2 حيث a \neq 0.

#### طرق الحل

• التمثيل البياني.
• إذا كانت b = 0، نحل بإيجاد الجذر التربيعي.

#### الصيغة التربيعية

• حلول المعادلة 0 = c + bx + ax^2 تُعطى بـ:

- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

• يجب مراعاة واقعية الحل (قد يكون غير حقيقي).

VII. حسابات الوحدات

المبدأ الأساسي

• كتابة وحدة كل قياس مع الحساب.
• إجراء العمليات الحسابية على الوحدات كما على الأعداد.

مثال تطبيقي (تسارع الجاذبية)

• معادلة التسارع: a = \frac{2 \Delta x}{(\Delta t)^2}
• حساب تسارع القمر:

- a = \frac{2 (20.5 \, \text{m})}{(5.00 \, \text{s})^2}

- a = 1.64 \, \text{m/s}^2

• الأرقام المعنوية: العدد 2 دقيق ولا يؤثر في الحساب.

VIII. تحويل الوحدات

المبدأ الأساسي

• استخدام معامل التحويل (مثل \frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}} = 1 ).
• يعادل الضرب في 1، فلا يغير القيمة.

مثال تطبيقي (حساب الإزاحة)

• معادلة الإزاحة: \Delta x = v \Delta t
• حساب الإزاحة مع تحويل الوحدات:

- \Delta x = (67 \, \text{m/s}) \times (5.0 \, \text{min}) \times (\frac{60 \, \text{s}}{1 \, \text{min}})

- \Delta x = 20100 \, \text{m} = 2.0 \times 10^4 \, \text{m}

• الأرقام المعنوية: معاملات التحويل (60 و 1) دقيقة ولا تؤثر.

IX. تحليل الوحدات

المفهوم

• طريقة لتنفيذ العمليات الجبرية باستخدام الوحدات.
• يستعمل لاختبار صحة وحدات الناتج النهائي وصحة الحسابات.

خطوات التطبيق

#### 1. التعويض عن وحدات كل متغير

• مثال: d_f = d_i + v_i t + \frac{1}{2} a t^2

- d_i تقاس بوحدة m

- t تقاس بوحدة s

- v_i تقاس بوحدة m/s

- a تقاس بوحدة m/s²

#### 2. تبسيط الكسور

• باستخدام الخاصية التوزيعية.
• باستخدام 1 = s/s و 1 = s^2/s^2.

#### 3. التحقق من الوحدة النهائية

• d_f = m + (m/s)(s) + \frac{1}{2} (m/s^2)(s^2)
• = m + (m)(s/s) + \frac{1}{2} (m)(s^2/s^2)
• = m + (m)(1) + \frac{1}{2} (m)(1)
• = m + m + \frac{1}{2} m
• جميع الحدود أعطت الوحدة m، لذلك d_f بوحدة m.

ملاحظات مهمة

• لا يطبق المعامل الرقمي (مثل ½) في تحليل الوحدات.
• من السهل إزالة المعاملات الرقمية عند بدء تحليل الوحدات.

X. التمثيل البياني للعلاقات

المستوى الإحداثي (الديكارتي)

#### المحاور

• المحور السيني (x): خط الأعداد الأفقي، يمثل المتغير المستقل.
• المحور الصادي (y): خط الأعداد العمودي، يمثل المتغير التابع.

#### النقاط

• النقطة الأصل: (0,0) نقطة تقاطع المحورين.
• الزوج المرتب: يمثل كل نقطة على المستوى.

رسم البيانات لتحديد العلاقات

#### خطوات عمل رسم بياني

ارسم محورين متعامدين.

حدد المتغيرات المستقلة (x) والتابعة (y) وعيّن محور كل منها.

حدد مدى البيانات والمقياس المناسب لكل محور، ثم رقم المقاييس.

عيّن كل نقطة بيانياً.

ارسم الخط الأكثر ملائمة أو منحنى بسيط يمر بأكبر عدد من النقاط، أو لا ترسم شيئاً إذا لم يكن هناك اتجاه.

اكتب عنواناً يصف الرسم البياني.

XI. الاستيفاء والاستقراء

الاستيفاء

• تقدير قيمة تقع بين قيمتين معلومتين على الخط المائل لعلاقة ما.

الاستقراء

• تقدير قيمة تقع خارج مدى القيم المعلومة.

الأداة المساعدة

• معادلة الخط المائل تساعد في عمليتي الاستيفاء والاستقراء.

XII. تفسير الرسم البياني الخطي

المفهوم

• يوضح العلاقة بين متغيرين.

في الفيزياء

• هناك نوعان من الرسوم البيانية الخطية التي تصف الحركة تستخدم عادة.

XIII. ارتباط الرياضيات مع الفيزياء

مثال: الرسم البياني

• يوضح علاقة خطية متغيرة بين (الموقع – الزمن).

XIV. المعادلة الخطية والتمثيل البياني

المعادلة الخطية

#### الصيغة العامة

• y = mx + b
• m: ميل الخط (عدد حقيقي).
• b: التقاطع الصادي.

التمثيل البياني للمعادلة الخطية

#### خطوات الرسم

اختر قيمتين للمتغير المستقل (x).

احسب القيم المقابلة للمتغير التابع (y).

عيّن الزوجين المرتبين (x, y) على المستوى.

ارسم أفضل خط مستقيم يمر بالنقاط.

#### مثال تطبيقي

• المعادلة: y = -\frac{1}{2}x + 3
• الأزواج المرتبة: (0, 3)، (2, 2)، (6, 0)

```

نقاط مهمة

* يمثل الخط البياني المستقيم علاقة خطية ثابتة بين متغيرين (مثل الموقع والزمن).

* لتمثيل معادلة خطية بيانياً، يكفي تحديد نقطتين فقط، وتستخدم النقطة الثالثة للتحقق من صحة الرسم.

* في المعادلة y = mx + b، يحدد الميل (m) اتجاه الخط، ويحدد التقاطع الصادي (b) نقطة تقاطعه مع المحور الرأسي.

دليل الرياضيات

b. يوضح الخط البياني علاقة خطية ثابتة بين متغيرين (الموقع – الزمن).

المعادلة الخطية Linear Equation

يمكن كتابة المعادلة الخطية بالشكل: y = mx + b ، حيث m ، b أعداد حقيقية، و (m) يمثل ميل الخط، و (b) يمثل التقاطع الصادي؛ وهي نقطة تقاطع الخط البياني مع المحور الصادي.

المتغير التابع الميل المتغير المستقل التقاطع الصادي y = mx + b

تمثل المعادلة الخطية بخط مستقيم، ولتمثيلها بيانياً قم باختيار قيم للمتغير المستقل (يلزم نقطتان فقط، والنقطة الثالثة تستخدم لإجراء اختبار). احسب القيم المقابلة للمتغير التابع، ثم عين زوجين مرتبين (X,y)، وارسم أفضل خط يمر بجميع النقاط.

مثل بيانيا المعادلة الخطية: y = -(1/2)x + 3 احسب ثلاثة أزواج مرتبة للحصول على نقاط لتعيينها.

دليل الرياضيات b. يوضح الخط البياني علاقة خطية ثابتة بين متغيرين (الموقع – الزمن). المعادلة الخطية Linear Equation يمكن كتابة المعادلة الخطية بالشكل: y = mx + b ، حيث m ، b أعداد حقيقية، و (m) يمثل ميل الخط، و (b) يمثل التقاطع الصادي؛ وهي نقطة تقاطع الخط البياني مع المحور الصادي. --- SECTION: المعادلة الخطية --- المتغير التابع الميل المتغير المستقل التقاطع الصادي y = mx + b تمثل المعادلة الخطية بخط مستقيم، ولتمثيلها بيانياً قم باختيار قيم للمتغير المستقل (يلزم نقطتان فقط، والنقطة الثالثة تستخدم لإجراء اختبار). احسب القيم المقابلة للمتغير التابع، ثم عين زوجين مرتبين (X,y)، وارسم أفضل خط يمر بجميع النقاط. --- SECTION: مثال --- مثل بيانيا المعادلة الخطية: y = -(1/2)x + 3 احسب ثلاثة أزواج مرتبة للحصول على نقاط لتعيينها. --- SECTION: الأزواج المرتبة --- --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: سرعة متجهة منتظمة Description: A straight line graph sloping downwards from left to right, indicating a decreasing relationship between the two variables. The y-axis is labeled 'سرعة متجهة منتظمة' and the x-axis is labeled 'الزمن'. The origin (0,0) is marked. X-axis: الزمن Y-axis: سرعة متجهة منتظمة Data: The line starts near the top of the y-axis and ends on the positive x-axis. Key Values: y-intercept is approximately 5, x-intercept is 6 (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: تمثيل الأزواج المرتبة Description: A graph plotting three points and a line passing through them. The line slopes downwards from left to right. The x-axis ranges from 0 to 6, and the y-axis ranges from 0 to 6. The points plotted are (0, 3), (2, 2), and (6, 0). X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a line segment connecting the points (0, 3), (2, 2), and (6, 0). Key Values: y-intercept is 3, x-intercept is 6