تحقق من فهمك 1: المتغير العشوائي المنفصل - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال س1: في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة، عين الحادثة B التي تمثل ظهور عدد أصغر من أو يساوي 4، وحدد عدد نتائجها.

الإجابة: س1: B = {1،2،3،4}، وعدد نتائجها 4.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم التجربة):** لنفهم التجربة أولاً. التجربة هي رمي حجر النرد مرة واحدة. حجر النرد العادي له ستة أوجه، وكل وجه يحمل رقماً من 1 إلى 6. إذن، فضاء العينة (جميع النتائج الممكنة) لهذه التجربة هو: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. **الخطوة 2 (تحديد الحادثة B):** السؤال يطلب منا تحديد الحادثة B، وهي ظهور عدد أصغر من أو يساوي 4. هذا يعني أننا نبحث عن جميع الأرقام في فضاء العينة S التي تحقق الشرط: الرقم ≤ 4. لنراجع الأرقام في S: - الرقم 1: أصغر من 4 (يحقق الشرط). - الرقم 2: أصغر من 4 (يحقق الشرط). - الرقم 3: أصغر من 4 (يحقق الشرط). - الرقم 4: يساوي 4 (يحقق الشرط). - الرقم 5: أكبر من 4 (لا يحقق الشرط). - الرقم 6: أكبر من 4 (لا يحقق الشرط). إذن، الحادثة B هي مجموعة النتائج التي تحقق الشرط، أي: B = {1, 2, 3, 4}.
3. **الخطوة 3 (تحديد عدد النتائج):** عدد نتائج أي حادثة هو ببساطة عدد العناصر (الأرقام) الموجودة في مجموعة تلك الحادثة. مجموعة الحادثة B هي {1, 2, 3, 4}. دعونا نحسب عناصرها: 1، 2، 3، 4. إذن، عدد النتائج في الحادثة B هو 4.

سؤال س2: في التجربة السابقة؛ هل يعد ظهور الأعداد الأكبر من 7 حادثة؟ فسر إجابتك.

الإجابة: ٢: لا، لأن أعداد حجر النرد هي {1،2،3،4،5،6}.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفكر في هذا السؤال. السؤال يتعلق بنفس التجربة، وهي رمي حجر النرد مرة واحدة. كما ناقشنا سابقاً، فضاء العينة لهذه التجربة هو جميع الأرقام التي يمكن أن تظهر على وجه حجر النرد، وهي الأرقام من 1 إلى 6 فقط، أي S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. الآن، السؤال يسأل: هل ظهور الأعداد الأكبر من 7 يُعد حادثة في هذه التجربة؟ نتذكر أن الحادثة في نظرية الاحتمالات هي مجموعة جزئية من فضاء العينة. أي أنها مجموعة من بعض النتائج الممكنة للتجربة (أو كلها أو لا شيء). المهم أن تكون كل نتيجة في الحادثة موجودة أصلاً في فضاء العينة. لنطبق هذا على السؤال. الحادثة المقترحة هي "ظهور أعداد أكبر من 7". أي أننا نبحث عن الأرقام في فضاء العينة S التي تكون أكبر من 7. لنراجع جميع عناصر S: 1، 2، 3، 4، 5، 6. هل أي من هذه الأرقام أكبر من 7؟ الرقم 1 ليس أكبر من 7. الرقم 2 ليس أكبر من 7. الرقم 3 ليس أكبر من 7. الرقم 4 ليس أكبر من 7. الرقم 5 ليس أكبر من 7. الرقم 6 ليس أكبر من 7. لا يوجد أي رقم في فضاء العينة S يحقق شرط "أكبر من 7". إذن، مجموعة النتائج التي تمثل هذه الحادثة المقترحة هي مجموعة خالية (لا تحتوي على أي عناصر). في الرياضيات، تسمى هذه المجموعة بالمجموعة الخالية أو الفارغة. هل المجموعة الخالية تعتبر حادثة؟ نعم، المجموعة الخالية تعتبر حادثة وتسمى بالحادثة المستحيلة، لأن احتمال وقوعها هو صفر. فهي مجموعة جزئية من فضاء العينة (كل عناصرها - وهي لا شيء - موجودة في S). ولكن، انتبه إلى صياغة السؤال. السؤال يقول: "هل يعد ظهور الأعداد الأكبر من 7 حادثة؟ فسر إجابتك." ويبدو أن الإجابة المعطاة هي "لا". هذا قد يشير إلى أن السؤال يقصد: هل هذه مجموعة ذات نتائج فعلية ممكنة الحدوث في التجربة؟ التفسير الصحيح هو: بما أن أرقام حجر النرد هي فقط من 1 إلى 6، فإن ظهور أي رقم أكبر من 7 هو أمر مستحيل الحدوث في هذه التجربة. لذلك، الحادثة المقصودة (ظهور أعداد أكبر من 7) هي حادثة مستحيلة، أو بشكل أدق، هي المجموعة الخالية. ومع ذلك، في سياق قد يركز على النتائج الممكنة الفعلية، يمكن القول إنها ليست حادثة ذات نتائج قابلة للتحقق من فضاء العينة (لأن فضاء العينة لا يحتوي على أعداد أكبر من 7 أصلاً). بناءً على الإجابة المعطاة ("لا، لأن أعداد حجر النرد هي {1،2،3،4،5،6}")، يبدو أن التفسير المطلوب هو التأكيد على أن فضاء العينة لا يحتوي على أرقام أكبر من 7، وبالتالي لا توجد نتائج فعلية في التجربة تحقق هذا الشرط، مما يجعلها حادثة مستحيلة الحدوث (أو ليست حادثة ذات محتوى نواتج حقيقية من S). لذلك، الإجابة هي: **لا، لأن أعداد حجر النرد الممكن ظهورها هي فقط {1، 2، 3، 4، 5، 6}، ولا يوجد بينها أي عدد أكبر من 7.**

ما هو تعريف المتغير العشوائي المنفصل (Discrete Random Variable)؟

الإجابة: هو المتغير الذي يأخذ قيماً تنتمي إلى مجموعة منتهية، أو غير منتهية، ولكنها قابلة للعد؛ أي أنه يأخذ قيماً منفصلة عن بعضها.

الشرح: التعريف يوضح أن المتغير المنفصل يأخذ قيماً محددة يمكن عدها، سواء كانت المجموعة منتهية أو غير منتهية، بشرط أن تكون قابلة للعد.

تلميح: فكر في نوع القيم التي يأخذها هذا المتغير وخاصية العد.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في مثال الأسرة التي لديها ثلاثة أبناء، إذا كان X هو المتغير العشوائي لعدد الذكور، فما هي جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها X؟

الإجابة: القيم الممكنة هي: 0، 1، 2، 3.

الشرح: من فضاء العينة S = {GGG, GGB, GBG, GBB, BGG, BGB, BBG, BBB}، عدد الذكور في كل نتيجة هو: 3، 2، 2، 1، 2، 1، 1، 0 على التوالي. وبجمع القيم المميزة نحصل على {0، 1، 2، 3}.

تلميح: تذكر أن كل طفل يمكن أن يكون ذكراً (G) أو أنثى (B). فكر في جميع التركيبات الممكنة لثلاثة أطفال واحسب عدد الذكور في كل حالة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة، إذا عُرفت الحادثة B بأنها 'ظهور عدد أصغر من أو يساوي 4'، فما هي نتائج هذه الحادثة؟

الإجابة: نتائج الحادثة B هي: ظهور العدد 1، أو 2، أو 3، أو 4.

الشرح: بما أن حجر النرد له النتائج {1، 2، 3، 4، 5، 6}، فإن الحادثة B (عدد أصغر من أو يساوي 4) تشمل النتائج {1، 2، 3، 4}.

تلميح: تذكر أن حجر النرد القياسي له أوجه مرقمة من 1 إلى 6. اختر الأرقام التي تحقق الشرط.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل

في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة، هل يعد 'ظهور الأعداد الأكبر من 7' حادثة؟ فسر إجابتك.

الإجابة: لا، لا يعد ظهور أعداد أكبر من 7 حادثة في تجربة رمي النرد. لأن فضاء العينة لهذه التجربة هو {1، 2، 3، 4، 5، 6} فقط، ولا توجد نتيجة ضمن هذا الفضاء تحقق الشرط 'أكبر من 7'.

الشرح: الشرط 'أكبر من 7' يصف مجموعة خالية من النتائج بالنسبة لفضاء عينة النرد، وبالتالي فهو يمثل الحادثة المستحيلة، وليس حادثة يمكن حدوثها في التجربة.

تلميح: تذكر تعريف الحادثة في الإحصاء. الحادثة هي مجموعة جزئية من فضاء العينة. تحقق مما إذا كانت النتائج المطلوبة موجودة في فضاء العينة الأساسي.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط