توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution)

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

مستوى الصعوبة: متوسط

📝 ملخص الصفحة

تتناول هذه الصفحة مفهوم توزيع ذي الحدين في الاحتمالات، وهو توزيع احتمالي يستخدم لنمذجة التجارب التي تتكرر عددًا محددًا من المرات (n) بنتيجتين فقط (نجاح وفشل). يتم تقديم دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع، والتي تُعطى بالمعادلة P(X = x) = (n choose x) p^x q^(n-x)، حيث p هو احتمال النجاح، وq هو احتمال الفشل، وX يمثل عدد مرات النجاح.

تشمل الصفحة شرحًا لخصائص توزيع ذي الحدين، مثل المتوسط الحسابي (μ = np) والتباين (σ² = npq)، مع التأكيد على أن p + q = 1. كما تتضمن أمثلة تطبيقية، مثل تحليل تجربة رمي قطعة نقود معدنية 3 مرات، حيث يُطلب حساب دالة التوزيع والمتوسط والتباين واحتمال ظهور صورتين.

تُقدم أيضًا تمارين تفكير ناقد، مثل تقييم ما إذا كانت تجربة بنسب نجاح وفشل معينة تخضع لتوزيع ذي الحدين، مما يعزز الفهم العميق للمفاهيم. الصفحة مناسبة لمستوى متوسط من الصعوبة، مع استخدام صيغ رياضية وأيقونات توضيحية لدعم التعلم.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

وبالإضافة إلى التعبير عن التوزيع الاحتمالي باستخدام الجدول؛ يمكن أيضًا التعبير عنه باستخدام معادلة، كما في توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون.

نوع: محتوى تعليمي

توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution)

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان لدينا تجربة ما تتكرر n مرة (بفرضيتين نجاح وفشل)، وكان احتمال ظهور حدث ما (X) وليكن (النجاح) هو p، واحتمال عدم ظهور هذا الحدث (الفشل) هو q، فإن احتمال ظهور الحدث (X) من بين التكرارات n، يتبع توزيع ذي الحدين الذي دالته الاحتمالية (وتسمى بدالة الكتلة الاحتمالية) تعطى بالمعادلة الآتية:

نوع: محتوى تعليمي

P(X = x) = (n choose x) p^x q^(n-x) ; X = 0, 1, 2, ..., n

لاحظ:

نوع: محتوى تعليمي

لاحظ:
(n choose x) = n! / (x! (n - x)!)
n! = (n) (n - 1) (n - 2) ... (1)

نوع: محتوى تعليمي

من خصائص توزيع ذي الحدين:

نوع: محتوى تعليمي

المتوسط الحسابي μ = np والتباين σ² = npq.
p+q=1.

تفكير ناقد

نوع: QUESTION

إذا كانت نسبة النجاح في تجربة 76% وكانت نسبة الفشل 21%، فهل تخضع هذه التجربة للتوزيع الاحتمالي ذي الحدين؟ فسر إجابتك.

2

نوع: QUESTION

في تجربة رمي قطعة نقود معدنية 3 مرات، إذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد مرات ظهور الصورة، فأوجد دالة توزيع ذي الحدين للتجربة، ثم احسب المتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X، واحسب احتمال ظهور صورتين.

الحل:

نوع: محتوى تعليمي

الحل:
باستخدام دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين:

نوع: محتوى تعليمي

P(X = i) = (n choose x) p^x q^(n-x) ; X = 0, 1, 2, ..., n

نوع: METADATA

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
166

🔍 عناصر مرئية

Formula for the probability mass function of a binomial distribution.

Formula for calculating combinations (n choose x), which is a component of the binomial probability formula.

Definition of the factorial function (n!).

An icon depicting a stylized brain with a thought bubble, indicating a critical thinking exercise or question.

An icon resembling interlocking rings or gears, typically used to denote an example or a problem-solving section.

The binomial probability mass function, repeated as part of the solution for Example 2.

📄 النص الكامل للصفحة

وبالإضافة إلى التعبير عن التوزيع الاحتمالي باستخدام الجدول؛ يمكن أيضًا التعبير عنه باستخدام معادلة، كما في توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون.

--- SECTION: توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution) ---
توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution)

إذا كان لدينا تجربة ما تتكرر n مرة (بفرضيتين نجاح وفشل)، وكان احتمال ظهور حدث ما (X) وليكن (النجاح) هو p، واحتمال عدم ظهور هذا الحدث (الفشل) هو q، فإن احتمال ظهور الحدث (X) من بين التكرارات n، يتبع توزيع ذي الحدين الذي دالته الاحتمالية (وتسمى بدالة الكتلة الاحتمالية) تعطى بالمعادلة الآتية:

P(X = x) = (n choose x) p^x q^(n-x) ; X = 0, 1, 2, ..., n

--- SECTION: لاحظ: ---
لاحظ:
(n choose x) = n! / (x! (n - x)!)
n! = (n) (n - 1) (n - 2) ... (1)

من خصائص توزيع ذي الحدين:

المتوسط الحسابي μ = np والتباين σ² = npq.
p+q=1.

--- SECTION: تفكير ناقد ---
إذا كانت نسبة النجاح في تجربة 76% وكانت نسبة الفشل 21%، فهل تخضع هذه التجربة للتوزيع الاحتمالي ذي الحدين؟ فسر إجابتك.

--- SECTION: 2 ---
في تجربة رمي قطعة نقود معدنية 3 مرات، إذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد مرات ظهور الصورة، فأوجد دالة توزيع ذي الحدين للتجربة، ثم احسب المتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X، واحسب احتمال ظهور صورتين.

--- SECTION: الحل: ---
الحل:
باستخدام دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين:

P(X = i) = (n choose x) p^x q^(n-x) ; X = 0, 1, 2, ..., n

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
166

--- VISUAL CONTEXT ---
**FORMULA**: Untitled
Description: Formula for the probability mass function of a binomial distribution.
Context: Defines the core mathematical expression for binomial probability.

**FORMULA**: Untitled
Description: Formula for calculating combinations (n choose x), which is a component of the binomial probability formula.
Context: Provides the definition for the combination term used in the binomial probability formula.

**FORMULA**: Untitled
Description: Definition of the factorial function (n!).
Context: Provides the definition for the factorial operation used in the combinations formula.

**ICON**: Untitled
Description: An icon depicting a stylized brain with a thought bubble, indicating a critical thinking exercise or question.
Context: Visually marks a section requiring deeper analytical thought.

**ICON**: Untitled
Description: An icon resembling interlocking rings or gears, typically used to denote an example or a problem-solving section.
Context: Visually marks a worked example problem.

**FORMULA**: Untitled
Description: The binomial probability mass function, repeated as part of the solution for Example 2.
Context: Reiterates the formula to be used in solving the example problem.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال مربع-1: إذا كانت نسبة النجاح في تجربة 76% وكانت نسبة الفشل 21%، فهل تخضع هذه التجربة للتوزيع الاحتمالي ذي الحدين؟ فسر إجابتك.

الإجابة: لا، لأن p + q = 0.76 + 0.21 = 0.97 ≠ 1 (أي 97% ≠ 100%)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفهم هذا السؤال. التوزيع الاحتمالي ذو الحدين هو نموذج إحصائي يصف عدد مرات النجاح في سلسلة من المحاولات المستقلة. من أهم شروط تطبيقه أن تكون هناك نتيجتان فقط لكل محاولة: نجاح أو فشل. هذا يعني أن مجموع احتمالية النجاح (p) واحتمالية الفشل (q) يجب أن يساوي 1 بالضبط، أي p + q = 1 أو 100%.
**الخطوة 2 (التطبيق):** بتطبيق هذا المبدأ على المعطيات في السؤال: - نسبة النجاح (p) = 76% = 0.76 - نسبة الفشل (q) = 21% = 0.21 نقوم بجمع هاتين النسبتين: 0.76 + 0.21 = 0.97، وهو ما يعادل 97%.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن المجموع 0.97 لا يساوي 1، فهذا يعني أن هناك احتمالاً (3%) لنتيجة أخرى غير النجاح أو الفشل في كل محاولة (مثل: نتيجة محايدة، أو إلغاء التجربة). لذلك، لا تنطبق شروط التوزيع ذي الحدين على هذه التجربة. إذن الإجابة هي: **لا، لأن مجموع نسبة النجاح ونسبة الفشل (0.76 + 0.21 = 0.97) لا يساوي 1، مما يدل على وجود احتمالية لنتيجة أخرى.**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي دالة الكتلة الاحتمالية (دالة الاحتمال) لتوزيع ذي الحدين؟

الإجابة: P(X = x) = (n choose x) p^x q^(n-x) حيث X = 0, 1, 2, ..., n

الشرح: هذه المعادلة تعطي احتمال ظهور الحدث (النجاح) x مرة من بين n محاولة مستقلة، حيث p هو احتمال النجاح في كل محاولة.

تلميح: تتضمن المعادلة ثلاثة رموز أساسية: n، p، وq. تذكر العلاقة بين p و q.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

كيف تحسب (n choose x) المستخدم في صيغة توزيع ذي الحدين؟

الإجابة: (n choose x) = n! / (x! (n - x)!)

الشرح: هذا التعبير يمثل عدد التوليفات (التركيبات) الممكنة لاختيار x نجاح من أصل n محاولة، بغض النظر عن الترتيب.

تلميح: يتضمن الحساب عملية رياضية خاصة تتعلق بترتيب العناصر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هي قيمتا المتوسط الحسابي (μ) والتباين (σ²) لمتغير عشوائي يتبع توزيع ذي الحدين؟

الإجابة: المتوسط الحسابي μ = np، والتباين σ² = npq.

الشرح: هاتان الصيغتان هما من الخصائص المهمة لتوزيع ذي الحدين، حيث تربط معاملات التوزيع (n, p, q) بخصائصه الإحصائية المركزية والتشتت.

تلميح: لحساب المتوسط، فكر في عدد المحاولات مضروباً في احتمال النجاح. للتباين، استخدم نفس الرموز مع إضافة احتمال الفشل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي العلاقة بين احتمال النجاح (p) واحتمال الفشل (q) في تجربة تخضع لتوزيع ذي الحدين؟

الإجابة: p + q = 1

الشرح: بما أن النجاح والفشل هما النتيجتان الوحيدتان الممكنتان لأي محاولة في التجربة، فإن مجموعهما الاحتمالي يجب أن يساوي 1.

تلميح: فكر في أن نتيجتي أي محاولة فردية (نجاح أو فشل) تشكلان معاً جميع النتائج الممكنة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كانت نسبة النجاح في تجربة 76% ونسبة الفشل 21%، فهل تخضع هذه التجربة لتوزيع ذي الحدين؟ فسر إجابتك.

الإجابة: لا، لا تخضع للتوزيع ذي الحدين، لأن مجموع احتمالي النجاح والفشل (76% + 21% = 97%) لا يساوي 1 (أو 100%).

الشرح: من الشروط الأساسية لتوزيع ذي الحدين أن تكون احتمالات النجاح والفشل في كل محاولة مكملة لبعضها، أي p + q = 1. هنا المجموع 97%، مما يعني وجود نتيجة محتملة أخرى غير النجاح أو الفشل، أو خطأ في البيانات.

تلميح: تحقق من الشرط الأساسي الذي يجب أن يحققه أي توزيع ذي حدين فيما يتعلق باحتمالات النتائج.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب