توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

مستوى الصعوبة: متوسط

📝 ملخص الصفحة

تتناول هذه الصفحة مفهومين رئيسيين في الاحتمالات المنفصلة: توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون. يبدأ المحتوى بشرح توزيع ذي الحدين من خلال مثال عملي يتعلق برمي عملة معدنية، حيث يتم حساب احتمالات ظهور الصورة باستخدام دالة الاحتمال، مع توضيح كيفية حساب المتوسط الحسابي والتباين. كما يتضمن تمرينًا تطبيقيًا حول عينة طلابية لتعزيز الفهم.

ثم ينتقل المحتوى إلى تقديم توزيع بواسون، موضحًا أنه يستخدم في الحوادث النادرة والمستقلة مثل الحرائق أو الحوادث المرورية، مع ذكر أمثلة تطبيقية. يتم تقديم نبذة تاريخية عن العالم سيمون بواسون، الذي ساهم في تطوير هذا التوزيع، مع الإشارة إلى تطبيقاته في مجالات متعددة مثل النشاط الإشعاعي والإدارة.

يحتوي النص على أقسام منظمة تشمل ملاحظات رياضية وتمارين تحقق من الفهم، مما يساعد في ترسيخ المفاهيم. الصفحة مناسبة للطلاب في مراحل متوسطة إلى متقدمة، مع تركيز على الجانب التطبيقي والنظري للاحتمالات.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

المتغير العشوائي X = عدد مرات ظهور الصورة 3

نوع: محتوى تعليمي

p = 1/2, q = 1/2, n = 3

نوع: محتوى تعليمي

P(X = x) = (3 choose x) * (1/2)^x * (1/2)^(3-x) ; X = 0, 1, 2, 3

نوع: محتوى تعليمي

وعليه يكون المتوسط الحسابي:

نوع: محتوى تعليمي

μ = np = 3 * (1/2) = 3/2

نوع: محتوى تعليمي

ويكون التباين:

نوع: محتوى تعليمي

σ² = npq = 3 * (1/2) * (1/2) = 3/4

نوع: محتوى تعليمي

ويكون احتمال ظهور صورتين ويعني 2 = X ، يساوي:

نوع: محتوى تعليمي

P(X = 2) = (3 choose 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2) = (3) * (1/4) * (1/2) = 3/8

لاحظ:

نوع: محتوى تعليمي

0! = 1 (n C 0) = n! / ((n-0)!0!) = 1/1 = 1 (n C n) = n! / ((n-n)!n!) = 1/1 = 1

2

نوع: QUESTION

تحقق من فهمك 2

2

نوع: QUESTION

إذا كان 40% من طلاب إحدى المدارس لا يملكون سيارات، وأخذت عينة عشوائية حجمها 8 طلاب من هذه المدرسة. أوجد دالة التوزيع الاحتمالي والمتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X باستخدام دالة الاحتمال لتوزيع ذي الحدين؛ وأوجد احتمال ألا يمتلك 4 منهم سيارات.

توزيع بواسون (Poisson Distribution)

نوع: محتوى تعليمي

توزيع بواسون (Poisson Distribution)

نوع: محتوى تعليمي

توزيع احتمالي منفصل يُستخدم في حالة الحوادث المستقلة، ويهتم بحساب الاحتمالات للحوادث النادرة، مثل: حرائق المدارس في إحدى المدن، الحوادث المرورية على طريق محدد، الأخطاء المطبعية في إحدى صفحات كتاب، ونحو ذلك. فإذا كانت (X) ترمز لعدد مرات ظهور حادثة نادرة فإن الدالة الاحتمالية لتوزيع بواسون تعطى بالمعادلة الآتية:

سيمون بواسون Poisson

نوع: محتوى تعليمي

سيمون بواسون Poisson عالم فرنسي، كانت له جهود بارزة في علم الاحتمالات، أشهرها التوزيع المعروف باسمه «قانون توزيع بواسون»، ولهذا التوزيع تطبيقات مهمة في تحليل مسائل تتعلق بالنشاط الإشعاعي والكيمياء والفيزياء، كما أنه ذو أهمية كبيرة في التنظيمات الإدارية والمالية.

نوع: METADATA

167 Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

سيمون بواسون Poisson

A black and white portrait image of Simeon Poisson, a French scientist. The accompanying text describes his significant contributions to probability theory, particularly the Poisson distribution, and its applications in radioactivity, chemistry, physics, and administrative/financial regulations.

📄 النص الكامل للصفحة

المتغير العشوائي X = عدد مرات ظهور الصورة 3 p = 1/2, q = 1/2, n = 3 P(X = x) = (3 choose x) * (1/2)^x * (1/2)^(3-x) ; X = 0, 1, 2, 3 وعليه يكون المتوسط الحسابي: μ = np = 3 * (1/2) = 3/2 ويكون التباين: σ² = npq = 3 * (1/2) * (1/2) = 3/4 ويكون احتمال ظهور صورتين ويعني 2 = X ، يساوي: P(X = 2) = (3 choose 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2) = (3) * (1/4) * (1/2) = 3/8 --- SECTION: لاحظ: --- 0! = 1 (n C 0) = n! / ((n-0)!0!) = 1/1 = 1 (n C n) = n! / ((n-n)!n!) = 1/1 = 1 --- SECTION: 2 --- تحقق من فهمك 2 --- SECTION: 2 --- إذا كان 40% من طلاب إحدى المدارس لا يملكون سيارات، وأخذت عينة عشوائية حجمها 8 طلاب من هذه المدرسة. أوجد دالة التوزيع الاحتمالي والمتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X باستخدام دالة الاحتمال لتوزيع ذي الحدين؛ وأوجد احتمال ألا يمتلك 4 منهم سيارات. --- SECTION: توزيع بواسون (Poisson Distribution) --- توزيع بواسون (Poisson Distribution) توزيع احتمالي منفصل يُستخدم في حالة الحوادث المستقلة، ويهتم بحساب الاحتمالات للحوادث النادرة، مثل: حرائق المدارس في إحدى المدن، الحوادث المرورية على طريق محدد، الأخطاء المطبعية في إحدى صفحات كتاب، ونحو ذلك. فإذا كانت (X) ترمز لعدد مرات ظهور حادثة نادرة فإن الدالة الاحتمالية لتوزيع بواسون تعطى بالمعادلة الآتية: --- SECTION: سيمون بواسون Poisson --- سيمون بواسون Poisson عالم فرنسي، كانت له جهود بارزة في علم الاحتمالات، أشهرها التوزيع المعروف باسمه «قانون توزيع بواسون»، ولهذا التوزيع تطبيقات مهمة في تحليل مسائل تتعلق بالنشاط الإشعاعي والكيمياء والفيزياء، كما أنه ذو أهمية كبيرة في التنظيمات الإدارية والمالية. 167 Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: سيمون بواسون Poisson Description: A black and white portrait image of Simeon Poisson, a French scientist. The accompanying text describes his significant contributions to probability theory, particularly the Poisson distribution, and its applications in radioactivity, chemistry, physics, and administrative/financial regulations. Context: Provides biographical and contextual information about the mathematician Simeon Poisson, whose work is relevant to the Poisson Distribution discussed in the text.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال مربع-1: إذا كان 40% من طلاب إحدى المدارس لا يملكون سيارات، وأخذت عينة عشوائية حجمها 8 طلاب من هذه المدرسة. أوجد دالة التوزيع الاحتمالي والمتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X باستخدام دالة الاحتمال لتوزيع ذي الحدين؛ وأوجد احتمال ألا يمتلك 4 منهم سيارات.

الإجابة: س٢: لنكن X عدد الطلاب الذين لا يملكون سيارات (n = 8, p = 0.4) P(X = x) = (8 C x) (0.4)^x (0.6)^{8-x} μ = np = 8(0.4) = 3.2 σ^2 = npq = 8(0.4)(0.6) = 1.92 P(X = 4) = (8 C 4) (0.4)^4 (0.6)^4 ≈ 0.2322

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من معلومات في السؤال: - نسبة الطلاب الذين لا يملكون سيارات في المدرسة هي 40%، أي أن احتمال أن يكون طالب عشوائي لا يملك سيارة هو $p = 0.4$. - حجم العينة العشوائية المأخوذة هو $n = 8$ طالب. - المتغير العشوائي $X$ يمثل عدد الطلاب في العينة الذين لا يملكون سيارات. - نعلم أن التجربة تناسب نموذج توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution) لأن: 1. عدد المحاولات $n$ ثابت (8 طلاب). 2. كل محاولة لها نتيجتان فقط: الطالب لا يملك سيارة (نجاح) أو يملك سيارة (فشل). 3. الاحتمال $p$ ثابت لكل محاولة (0.4). 4. المحاولات مستقلة عن بعضها (عينة عشوائية).
  2. **الخطوة 2 (دالة التوزيع الاحتمالي):** دالة الاحتمال لتوزيع ذي الحدين تُعطى بالصيغة: $$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ حيث $\binom{n}{x}$ هو معامل التوافق (Combination) ويساوي $\frac{n!}{x!(n-x)!}$. بالتعويض بالقيم $n=8$ و $p=0.4$: $$P(X = x) = \binom{8}{x} (0.4)^x (0.6)^{8-x}$$ هذه هي دالة التوزيع الاحتمالي المطلوبة للمتغير $X$.
  3. **الخطوة 3 (المتوسط الحسابي والتباين):** لحساب المتوسط الحسابي (القيمة المتوقعة) والتباين لتوزيع ذي الحدين، نستخدم القوانين: - المتوسط: $\mu = n \times p$ - التباين: $\sigma^2 = n \times p \times (1-p)$ بالتعويض: - المتوسط: $\mu = 8 \times 0.4 = 3.2$ - التباين: $\sigma^2 = 8 \times 0.4 \times 0.6 = 1.92$
  4. **الخطوة 4 (احتمال ألا يمتلك 4 منهم سيارات):** المطلوب هو إيجاد $P(X = 4)$، أي احتمال أن يكون بالضبط 4 طلاب من العينة لا يملكون سيارات. نستخدم دالة الاحتمال من الخطوة 2 مع $x = 4$: $$P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.4)^4 (0.6)^{4}$$ نحسب قيمة معامل التوافق: $$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \times 4!} = \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576} = 70$$ نحسب القوى: $$(0.4)^4 = 0.0256$$ $$(0.6)^4 = 0.1296$$ الآن نضرب: $$P(X = 4) = 70 \times 0.0256 \times 0.1296$$ $$70 \times 0.0256 = 1.792$$ $$1.792 \times 0.1296 \approx 0.2322432$$ إذن، احتمال ألا يمتلك 4 منهم سيارات هو تقريباً **0.2322** (أو 23.22%).

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي دالة الاحتمال لتوزيع ذي الحدين للمتغير العشوائي X (عدد مرات النجاح)؟

الإجابة: P(X = x) = (n choose x) * p^x * q^(n-x) حيث X = 0, 1, 2, ..., n

الشرح: هذه الصيغة الأساسية لحساب احتمال الحصول على عدد محدد من النجاحات (x) في عدد معين من المحاولات المستقلة (n) مع احتمال نجاح ثابت (p).

تلميح: تذكر أن الصيغة تعتمد على عدد المحاولات (n)، احتمال النجاح (p)، واحتمال الفشل (q).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

كيف تحسب المتوسط الحسابي (μ) والتباين (σ²) لمتغير عشوائي يتبع توزيع ذي الحدين؟

الإجابة: المتوسط الحسابي: μ = n * p ، التباين: σ² = n * p * q

الشرح: هذه الصيغ المباشرة لحساب مقاييس النزعة المركزية والتشتت للتوزيع ذي الحدين، مما يوفر الوقت بدلاً من الحساب من دالة الاحتمال مباشرة.

تلميح: المتوسط هو حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمال النجاح. التباين يستخدم نفس العناصر مع إضافة احتمال الفشل.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هو توزيع بواسون (Poisson Distribution) وفي أي الحالات يُستخدم؟

الإجابة: توزيع احتمالي منفصل يُستخدم في حالة الحوادث المستقلة، ويهتم بحساب الاحتمالات للحوادث النادرة.

الشرح: يختلف توزيع بواسون عن التوزيع ذي الحدين في كونه يركز على معدل حدوث الأحداث النادرة في فترات مستمرة (زمن، مساحة) بدلاً من عدد محاولات ثابت.

تلميح: فكر في الأحداث التي يكون احتمال حدوثها منخفضاً في فترة زمنية أو مساحة محددة.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

إذا رميت قطعة نقود متزنة 3 مرات، ما احتمال ظهور الصورة مرتين بالضبط (X=2)؟

الإجابة: الاحتمال هو 3/8.

الشرح: P(X=2) = (3 choose 2) * (0.5)^2 * (0.5)^(1) = 3 * (1/4) * (1/2) = 3/8.

تلميح: طبق دالة الاحتمال للتوزيع ذي الحدين حيث n=3, p=0.5, x=2.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل

ما قيمة (n C 0) و (n C n) في معامل الحدين؟

الإجابة: قيمة كل منهما تساوي 1.

الشرح: (n C 0) = n!/(n! * 0!) = 1 و (n C n) = n!/(0! * n!) = 1. هذا منطقي لأن هناك طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي عنصر، وطريقة واحدة لاختيار جميع العناصر.

تلميح: تذكر أن 0! = 1. فكر في عدد الطرق لاختيار 0 عنصر أو جميع العناصر من مجموعة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل