توزيع بواسون: مثال تطبيقي على حساب الاحتمالات - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال س٣: في مثال (3) السابق؛ احسب احتمال حدوث أربعة أخطاء.

الإجابة: س٣: إذا كان X ~ Poisson(λ = 3) فإن P(X = 4) = e^{-3} 3^4 / 4! ≈ 0.169

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من السؤال: - التوزيع الاحتمالي المستخدم هو توزيع بواسون. - معلمة التوزيع (λ) تساوي 3، أي أن متوسط عدد الأحداث (الأخطاء) هو 3. - المطلوب هو حساب احتمال أن يكون عدد الأحداث (X) مساوياً للرقم 4 بالضبط.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الاحتمال لتوزيع بواسون لحساب احتمال وقوع عدد محدد (k) من الأحداث: $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{k}}{k!}$$ حيث: - $e$ هو العدد النيبيري (ثابت رياضي ≈ 2.71828). - $\lambda$ هو متوسط معدل الحدوث. - $k$ هو عدد الأحداث المطلوب حساب احتمالها. - $k!$ هو مضروب العدد k.
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القانون بالقيم المعطاة: - $\lambda = 3$ - $k = 4$ $$P(X = 4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^{4}}{4!}$$ نحسب كل جزء: 1. $e^{-3} ≈ 0.049787$ 2. $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 3. $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ نعوض: $$P(X = 4) = \frac{0.049787 \times 81}{24} = \frac{4.032747}{24} ≈ 0.168031$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، احتمال حدوث أربعة أخطاء بالضبط هو تقريباً **0.168** أو **0.169** عند التقريب لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

ما هي الصيغة العامة لدالة الاحتمال لتوزيع بواسون؟

الإجابة: P(X = xᵢ) = (e⁻λ λˣ) / x! حيث X = 0, 1, 2, ...

الشرح: هذه الصيغة تعطي احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المنفصل X قيمة محددة xᵢ في توزيع بواسون.

تلميح: تتضمن الصيغة ثابتاً رياضياً ومتغيراً يمثل المتوسط الحسابي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي أهم خاصية لتوزيع بواسون فيما يتعلق بالمتوسط الحسابي والتباين؟

الإجابة: المتوسط الحسابي = التباين = λ.

الشرح: في توزيع بواسون، قيمة λ لا تمثل المتوسط الحسابي فقط، بل تساوي أيضاً قيمة التباين، وهي خاصية مميزة لهذا التوزيع.

تلميح: فكر في العلاقة بين مقياسين مركزيين للتشتت في هذا التوزيع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كان متوسط الأخطاء المطبعية في صفحة كتاب هو 3، فما قيمة λ في دالة توزيع بواسون لهذا المثال؟

الإجابة: λ = 3

الشرح: في توزيع بواسون، λ تمثل المتوسط الحسابي للمتغير قيد الدراسة، لذا إذا كان المتوسط 3، فإن λ = 3.

تلميح: تذكر العلاقة بين λ والمتوسط الحسابي في توزيع بواسون.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي خطوات حساب احتمال عدم حدوث أي خطأ (X=0) في صفحة كتاب إذا كان متوسط الأخطاء λ=3 ويتبع توزيع بواسون؟

الإجابة: 1. التعويض في الصيغة: P(X = 0) = (e⁻³ 3⁰) / 0! 2. حساب القيم: e⁻³ ≈ 0.05، 3⁰ = 1، 0! = 1 3. النتيجة: P(X = 0) = 0.05

الشرح: يتم حساب الاحتمال بتطبيق الصيغة مباشرة بعد تحديد قيمة x المطلوبة (0 في هذه الحالة) وقيمة λ المعطاة (3).

تلميح: ابدأ بالصيغة العامة واستبدل x بالقيمة 0.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هو احتمال حدوث خطأين (X=2) في صفحة كتاب إذا كان متوسط الأخطاء 3 ويتبع توزيع بواسون؟

الإجابة: P(X = 2) = 0.225

الشرح: بالتعويض في الصيغة: P(X=2) = (e⁻³ * 3²) / 2! = (0.05 * 9) / 2 = 0.225.

تلميح: استخدم الصيغة مع x=2 و λ=3، وتذكر حساب المضروب.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط