--- SECTION: 10 --- - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 10: 10: إذا كان متوسط عدد الداخلين إلى محل تجاري خلال دقيقة هو 3 زبائن؛ أوجد الاحتمالات الآتية: .a. عدم دخول أي زبون خلال دقيقة معينة. .b. دخول 4 زبائن فقط خلال دقيقة واحدة.

الإجابة: P(X = 0) = e^{-3} ≈ 0.0498 (a :10 س) P(X = 4) = e^{-3} 3^4 / 4! ≈ 0.1680 (b)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط عدد الزبائن خلال دقيقة: λ = 3 - نريد إيجاد الاحتمالات باستخدام توزيع بواسون.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون: $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$ حيث: - $X$ هو عدد الزبائن خلال دقيقة. - $k$ هو العدد المطلوب (0 أو 4). - $e$ هو العدد النيبيري (تقريباً 2.71828).
3. **الخطوة 3 (الحل - الجزء أ):** لإيجاد احتمال عدم دخول أي زبون (k = 0): $$P(X = 0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = e^{-3}$$ بما أن $3^0 = 1$ و $0! = 1$. باستخدام الآلة الحاسبة: $e^{-3} \approx 0.0498$.
4. **الخطوة 4 (الحل - الجزء ب):** لإيجاد احتمال دخول 4 زبائن فقط (k = 4): $$P(X = 4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24}$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $\frac{81}{24} = 3.375$، ثم $e^{-3} \approx 0.0498$، إذن: $P(X = 4) \approx 0.0498 \times 3.375 \approx 0.1680$.
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن: - أ) احتمال عدم دخول أي زبون ≈ **0.0498** - ب) احتمال دخول 4 زبائن فقط ≈ **0.1680**

سؤال 11: 11: إذا كان X هو عدد المراجعين الذي يستقبلهم قسم إدارة الموارد البشرية خلال يوم واحد، متغيراً عشوائياً له توزيع بواسون بمتوسط 7 مراجعين؛ فالمطلوب: .a. اكتب شكل التوزيع الاحتمالي (دالة الكتلة الاحتمالية) للمتغير العشوائي X. .b. احتمال أن يستقبل القسم 4 مراجعين خلال اليوم الواحد. .c. احتمال ألا يستقبل القسم أي مراجع خلال اليوم الواحد. .d. التباين الخاص بعدد المراجعين للقسم خلال اليوم الواحد.

الإجابة: P(X = x) = e^{-7} 7^x / x!, x = 0,1,... P(X = 4) ≈ 0.0912 (b) P(X = 0) ≈ 0.0009 (c) Var(X) = 7 (d)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط عدد المراجعين خلال يوم: λ = 7 - المتغير العشوائي $X$ يتبع توزيع بواسون.
2. **الخطوة 2 (القانون - الجزء أ):** شكل التوزيع الاحتمالي (دالة الكتلة الاحتمالية) لتوزيع بواسون هو: $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$ حيث $x = 0, 1, 2, ...$ بالتعويض بـ λ = 7: $$P(X = x) = \frac{e^{-7} 7^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, ...$$
3. **الخطوة 3 (الحل - الجزء ب):** لإيجاد احتمال استقبال 4 مراجعين (x = 4): $$P(X = 4) = \frac{e^{-7} \cdot 7^4}{4!} = \frac{e^{-7} \cdot 2401}{24}$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $e^{-7} \approx 0.00091188$، إذن: $P(X = 4) \approx 0.00091188 \times \frac{2401}{24} \approx 0.0912$.
4. **الخطوة 4 (الحل - الجزء ج):** لإيجاد احتمال عدم استقبال أي مراجع (x = 0): $$P(X = 0) = \frac{e^{-7} \cdot 7^0}{0!} = e^{-7}$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $e^{-7} \approx 0.0009$.
5. **الخطوة 5 (الحل - الجزء د):** في توزيع بواسون، التباين يساوي المتوسط. إذن: $\text{Var}(X) = \lambda = 7$.
6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن: - أ) دالة الكتلة الاحتمالية: **$P(X = x) = \frac{e^{-7} 7^x}{x!}, x = 0,1,2,...$** - ب) احتمال استقبال 4 مراجعين ≈ **0.0912** - ج) احتمال عدم استقبال أي مراجع ≈ **0.0009** - د) التباين = **7**

سؤال 12: 12: إذا كان متوسط عدد الشركات الأسبوعية على مؤشر زيادة سوق الأسهم المحلي هو 3 شركات؛ فما احتمال أن يزيد المؤشر في أحد الأسابيع لشركتين.

الإجابة: P(X = 2) = e^{-3} 3^2 / 2! ≈ 0.2240

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط عدد الشركات الأسبوعية: λ = 3 - نريد إيجاد احتمال زيادة المؤشر لشركتين في أسبوع معين.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم توزيع بواسون، حيث: $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$ هنا، $k = 2$ (شركتين).
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{e^{-3} \cdot 9}{2}$$ باستخدام الآلة الحاسبة: $e^{-3} \approx 0.0498$، إذن: $P(X = 2) \approx 0.0498 \times 4.5 \approx 0.2240$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن احتمال أن يزيد المؤشر لشركتين في أسبوع معين ≈ **0.2240**

سؤال 13: 13: إذا كانت أعمار المصابيح الكهربائية تتبع توزيعاً طبيعياً متوسطه μ يساوي 100 ساعة وانحرافه المعياري σ يساوي 8 ساعات، واخترنا مصباحاً عشوائياً؛ فما احتمال أن: .a. يزيد عمره عن 116 ساعة. .b. يتراوح عمره بين 90 و 120 ساعة.

الإجابة: P(Z > 2) ≈ 0.0228 (a :13 س) b($P)-1.25

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط عمر المصابيح: μ = 100 ساعة - الانحراف المعياري: σ = 8 ساعات - التوزيع طبيعي.
2. **الخطوة 2 (التحويل إلى التوزيع الطبيعي المعياري - الجزء أ):** نحول القيمة 116 إلى قيمة Z باستخدام: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ حيث X = 116. إذن: $Z = \frac{116 - 100}{8} = \frac{16}{8} = 2$. نريد $P(X > 116)$ وهو نفسه $P(Z > 2)$.
3. **الخطوة 3 (استخدام الجدول - الجزء أ):** من جدول التوزيع الطبيعي المعياري: - $P(Z < 2) \approx 0.9772$ - بما أن المساحة الكلية تحت المنحنى = 1، إذن: $P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$.
4. **الخطوة 4 (التحويل - الجزء ب):** نريد $P(90 < X < 120)$. أولاً، نحول 90 و 120 إلى قيم Z: - لـ X = 90: $Z = \frac{90 - 100}{8} = \frac{-10}{8} = -1.25$ - لـ X = 120: $Z = \frac{120 - 100}{8} = \frac{20}{8} = 2.5$ إذن نريد $P(-1.25 < Z < 2.5)$.
5. **الخطوة 5 (استخدام الجدول - الجزء ب):** من الجدول: - $P(Z < 2.5) \approx 0.9938$ - $P(Z < -1.25) = 1 - P(Z < 1.25) \approx 1 - 0.8944 = 0.1056$ إذن: $P(-1.25 < Z < 2.5) = P(Z < 2.5) - P(Z < -1.25) \approx 0.9938 - 0.1056 = 0.8882$.
6. **الخطوة 6 (النتيجة):** إذن: - أ) احتمال أن يزيد عمر المصباح عن 116 ساعة ≈ **0.0228** - ب) احتمال أن يتراوح عمره بين 90 و 120 ساعة ≈ **0.8882**

سؤال 14: 14: تستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية، حيث تختلف كمية الماء اختلافاً ضئيلاً بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 120 عبوة يتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 1.1 لتر، وانحراف معياري 0.02 لتر، فأجب عما يأتي: .a. كم عبوة تقريباً يكون حجم الماء فيها أقل من 1.06 لتر؟ .b. ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين 1.08 لتر و 1.14 لتر؟

الإجابة: P(Z < -2) ≈ 0.0228 (a :14 س) العدد ≈ 120 × 0.0228 ≈ 3 عبوات b($P)-1

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - عدد العبوات: n = 120 - متوسط الحجم: μ = 1.1 لتر - الانحراف المعياري: σ = 0.02 لتر - التوزيع طبيعي.
2. **الخطوة 2 (التحويل إلى التوزيع الطبيعي المعياري - الجزء أ):** نريد عدد العبوات التي حجمها أقل من 1.06 لتر. أولاً، نجد احتمال أن يكون حجم عبوة واحدة أقل من 1.06. نحول 1.06 إلى قيمة Z: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{1.06 - 1.1}{0.02} = \frac{-0.04}{0.02} = -2$$ إذن نريد $P(X < 1.06) = P(Z < -2)$.
3. **الخطوة 3 (استخدام الجدول - الجزء أ):** من جدول التوزيع الطبيعي المعياري: - $P(Z < -2) = 1 - P(Z < 2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228$. هذا هو احتمال أن تكون عبوة واحدة أقل من 1.06 لتر.
4. **الخطوة 4 (حساب عدد العبوات - الجزء أ):** عدد العبوات المتوقع = إجمالي العبوات × الاحتمال $$\text{عدد العبوات} \approx 120 \times 0.0228 \approx 2.736$$ بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح: **3 عبوات** تقريباً.
5. **الخطوة 5 (التحويل - الجزء ب):** نريد $P(1.08 < X < 1.14)$. نحول 1.08 و 1.14 إلى قيم Z: - لـ X = 1.08: $Z = \frac{1.08 - 1.1}{0.02} = \frac{-0.02}{0.02} = -1$ - لـ X = 1.14: $Z = \frac{1.14 - 1.1}{0.02} = \frac{0.04}{0.02} = 2$ إذن نريد $P(-1 < Z < 2)$.
6. **الخطوة 6 (استخدام الجدول - الجزء ب):** من الجدول: - $P(Z < 2) \approx 0.9772$ - $P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$ إذن: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -1) \approx 0.9772 - 0.1587 = 0.8185$.
7. **الخطوة 7 (النتيجة):** إذن: - أ) عدد العبوات التي حجمها أقل من 1.06 لتر ≈ **3 عبوات** - ب) احتمال أن يكون الحجم بين 1.08 و 1.14 لتر ≈ **0.8185**

سؤال 15: 15: إذا كانت الأجور الأسبوعية للعاملين في أحد المصانع موزعة طبيعياً بمتوسط 210 دولارات، وانحراف معياري مقداره 10 دولارات. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لعامل يتراوح أجره بين 184 و 233 دولاراً.

الإجابة: P)184$ :15

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط الأجر الأسبوعي: μ = 210 دولار - الانحراف المعياري: σ = 10 دولار - التوزيع طبيعي. - نريد $P(184 < X < 233)$.
2. **الخطوة 2 (التحويل إلى التوزيع الطبيعي المعياري):** نحول القيمتين 184 و 233 إلى قيم Z: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ - لـ X = 184: $Z = \frac{184 - 210}{10} = \frac{-26}{10} = -2.6$ - لـ X = 233: $Z = \frac{233 - 210}{10} = \frac{23}{10} = 2.3$ إذن نريد $P(-2.6 < Z < 2.3)$.
3. **الخطوة 3 (استخدام الجدول):** من جدول التوزيع الطبيعي المعياري: - $P(Z < 2.3) \approx 0.9893$ - $P(Z < -2.6) = 1 - P(Z < 2.6) \approx 1 - 0.9953 = 0.0047$ إذن: $P(-2.6 < Z < 2.3) = P(Z < 2.3) - P(Z < -2.6) \approx 0.9893 - 0.0047 = 0.9846$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن احتمال أن يتراوح أجر العامل بين 184 و 233 دولاراً ≈ **0.9846**

سؤال 16: 16: إذا كان مؤشر إغلاق سوق الأسهم يتبع توزيعاً طبيعياً متوسطه 6000 نقطة وانحرافه المعياري 1000 نقطة، فأوجد احتمال أن يتراوح مؤشر إغلاق السوق بين 5700 و 6100 نقطة.

الإجابة: P)5700$ :16

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط مؤشر الإغلاق: μ = 6000 نقطة - الانحراف المعياري: σ = 1000 نقطة - التوزيع طبيعي. - نريد $P(5700 < X < 6100)$.
2. **الخطوة 2 (التحويل إلى التوزيع الطبيعي المعياري):** نحول القيمتين 5700 و 6100 إلى قيم Z: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ - لـ X = 5700: $Z = \frac{5700 - 6000}{1000} = \frac{-300}{1000} = -0.3$ - لـ X = 6100: $Z = \frac{6100 - 6000}{1000} = \frac{100}{1000} = 0.1$ إذن نريد $P(-0.3 < Z < 0.1)$.
3. **الخطوة 3 (استخدام الجدول):** من جدول التوزيع الطبيعي المعياري: - $P(Z < 0.1) \approx 0.5398$ - $P(Z < -0.3) = 1 - P(Z < 0.3) \approx 1 - 0.6179 = 0.3821$ إذن: $P(-0.3 < Z < 0.1) = P(Z < 0.1) - P(Z < -0.3) \approx 0.5398 - 0.3821 = 0.1577$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن احتمال أن يتراوح مؤشر الإغلاق بين 5700 و 6100 نقطة ≈ **0.1577**

ما هي الخطوات العامة لحل مسألة احتمالية باستخدام توزيع بواسون؟

الإجابة: 1. تحديد الحدث النادر (λ) أو متوسط الحدوث في الفترة الزمنية. 2. تحديد القيمة المطلوبة (x) لعدد مرات الحدوث. 3. تطبيق صيغة توزيع بواسون: P(X = x) = (e^(-λ) * λ^x) / x!

الشرح: توزيع بواسون يستخدم لنمذجة عدد مرات حدوث حدث نادر في فترة زمنية أو مكانية محددة، ولحساب الاحتمال يجب معرفة متوسط الحدث (λ) وعدد المرات المطلوب (x).

تلميح: فكر في العناصر الثلاثة الأساسية المطلوبة لأي مسألة احتمالية: الحدث، ومعدل حدوثه، والنتيجة المطلوبة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الخطوات العامة لحل مسألة احتمالية باستخدام التوزيع الطبيعي؟

الإجابة: 1. تحديد متوسط التوزيع (μ) وانحرافه المعياري (σ). 2. تحديد القيمة أو المدى المطلوب (مثل: X > a أو b < X < c). 3. تحويل القيمة/القيم إلى قيم معيارية (Z-score) باستخدام الصيغة: Z = (X - μ) / σ. 4. استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري (جدول Z) لإيجاد الاحتمال المطلوب.

الشرح: التوزيع الطبيعي هو توزيع مستمر، ولحساب الاحتمالات تحت منحنى التوزيع الطبيعي لأي متوسط وانحراف معياري، يجب أولاً تحويل القيم إلى التوزيع الطبيعي المعياري (متوسط = 0، انحراف معياري = 1).

تلميح: تذكر أن التوزيع الطبيعي يتطلب تحويلاً إلى وحدات معيارية (Z-scores) قبل البحث في الجدول.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الفرق الأساسي بين تطبيقات توزيع بواسون والتوزيع الطبيعي في الإحصاء؟

الإجابة: يُستخدم توزيع بواسون لنمذجة عدد مرات حدوث حدث نادر ومستقل في فترة زمنية أو مكانية محددة (بيانات منفصلة)، مثل عدد الزبائن في الدقيقة. بينما يُستخدم التوزيع الطبيعي لنمذجة البيانات المستمرة التي تتجمع حول متوسط معين، مثل الأعمار أو الأوزان أو الأحجام.

الشرح: بواسون مناسب للأحداث المعدودة (مثل: 0، 1، 2، 3 زبائن)، بينما الطبيعي مناسب للقياسات التي يمكن أن تأخذ أي قيمة في مدى معين (مثل: 100.5 ساعة، 1.12 لتر).

تلميح: فكر في نوع البيانات التي يمثلها كل توزيع: هل هي أعداد صحيحة (منفصلة) أم قياسات (مستمرة)؟

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: صعب

في مسألة التوزيع الطبيعي، إذا كان متوسط الأجور الأسبوعية 210 دولارات وانحرافها المعياري 10 دولارات، كيف تحسب احتمال أن يكون أجر عامل بين 184 و233 دولاراً؟

الإجابة: 1. حساب Z-score للحد الأدنى: Z1 = (184 - 210) / 10 = -2.6. 2. حساب Z-score للحد الأعلى: Z2 = (233 - 210) / 10 = 2.3. 3. البحث في جدول Z عن الاحتمال P(Z < 2.3) و P(Z < -2.6). 4. احتمال أن يكون Z بين -2.6 و 2.3 = P(Z < 2.3) - P(Z < -2.6).

الشرح: احتمال وقوع القيمة في مدى معين في التوزيع الطبيعي يساوي المساحة تحت المنحنى بين قيمتي Z المقابلتين لحدي ذلك المدى.

تلميح: احرص على ترتيب الخطوات: تحويل كل حد من الحدود إلى قيمة Z، ثم إيجاد المساحة تحت المنحنى بين هاتين القيمتين.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب