مشروع الفصل: تصميم استبانة إلكترونية وتطبيق توزيع ذي الحدين - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال س: a: أ. مثل نتائج الاستبيان تقنيًا باستخدام تمثيل بياني مناسب، وبرر سبب اختيار هذا النوع من التمثيل البياني.

الإجابة: التمثيل المناسب: مخطط أعمدة (Bar Chart) لبيانات (نعم/لا). السبب: لأن البيانات نوعية، والأعمدة توضح المقارنة.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. لدينا نتائج استبيان عن سؤال كانت إجاباته "نعم" أو "لا"، أي بيانات نوعية (فئوية). عند تمثيل البيانات النوعية بيانيًا، نبحث عن رسم يوضح المقارنة بين الفئات بوضوح. مخطط الأعمدة (Bar Chart) هو الأنسب هنا لأنه يعرض كل فئة (نعم، لا) بعمود منفصل، ويمكن بسهولة مقارنة ارتفاع الأعمدة لمعرفة أي الإجابات أكثر تكرارًا. إذن الإجابة هي: **التمثيل المناسب هو مخطط أعمدة (Bar Chart)، والسبب أن البيانات نوعية والأعمدة توضح المقارنة بين الفئات بوضوح.**

سؤال س: b: ب. إذا كان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين كانت إجاباتهم عن هذا السؤال بنعم؛ حدد نوع المتغير العشوائي ومن ثم اكتب دالته الاحتمالية.

الإجابة: X متغير عشوائي (توزيع ذي الحدين): X ~ Bin(n,p) دالته: P(X = x) = (n choose x) p^x (1-p)^{n-x}

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - المتغير العشوائي X يمثل عدد الطلاب الذين أجابوا "نعم". - التجربة: سؤال كل طالب (تجربة برنولي) بنتيجتين: نعم (نجاح) أو لا (فشل). - عدد التجارب: n (حجم العينة). - احتمال النجاح (الإجابة بنعم): p.
2. **الخطوة 2 (نوع المتغير):** بما أن X يحسب عدد النجاحات (إجابات نعم) في n تجربة مستقلة، مع احتمال نجاح ثابت p، فإن X يتبع توزيعًا احتماليًا معروفًا يسمى **التوزيع ذي الحدين**. إذن: X ~ Bin(n, p)
3. **الخطوة 3 (الدالة الاحتمالية):** دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين هي: $$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ حيث x = 0, 1, 2, ..., n إذن الإجابة هي: **X متغير عشوائي يتبع توزيع ذي الحدين، ودالته الاحتمالية: P(X = x) = (n choose x) p^x (1-p)^{n-x}**

سؤال س: c: ج. إذا كان المتغير العشوائي Y يدل على عدد الطلاب الذين كانت إجاباتهم عن هذا السؤال بلا؛ اكتب دالته الاحتمالية.

الإجابة: Y يدل (1 - p) واحتماله (توزيع ذي الحدين): Y ~ Bin(n,1-p) P(Y = y) = (n choose y) (1-p)^y p^{n-y}

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - المتغير العشوائي Y يمثل عدد الطلاب الذين أجابوا "لا". - هذه هي الحالة المكملة لـ X (إذن احتمال الإجابة بلا هو 1 - p). - عدد التجارب: n (نفس حجم العينة).
2. **الخطوة 2 (نوع المتغير):** بما أن Y يحسب عدد النجاحات (إجابات لا) في n تجربة مستقلة، مع احتمال نجاح ثابت (1-p)، فإن Y يتبع أيضًا **التوزيع ذي الحدين**. إذن: Y ~ Bin(n, 1-p)
3. **الخطوة 3 (الدالة الاحتمالية):** دالة الكتلة الاحتمالية لـ Y مشابهة لـ X ولكن باحتمال (1-p): $$P(Y = y) = \binom{n}{y} (1-p)^y p^{n-y}$$ حيث y = 0, 1, 2, ..., n إذن الإجابة هي: **Y متغير عشوائي يتبع توزيع ذي الحدين، ودالته الاحتمالية: P(Y = y) = (n choose y) (1-p)^y p^{n-y}**

سؤال س: d: د. أوجد الانحراف المعياري، مع تفسير القيمة التي تم الحصول عليها.

الإجابة: الانحراف المعياري: σ = √{np(1 - p)} التفسير: يقيس تشتت الإجابات عن المتوسط μ = np

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (القانون):** لحساب الانحراف المعياري لمتغير عشوائي يتبع توزيع ذي الحدين، نستخدم الصيغة: $$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$$ حيث: - n: عدد التجارب (حجم العينة). - p: احتمال النجاح (الإجابة بنعم). - σ: الانحراف المعياري.
2. **الخطوة 2 (الحساب والتفسير):** بالتعويض بقيم n و p نحصل على قيمة σ. التفسير: الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت أو انتشار القيم (عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم) حول المتوسط (μ = np). فإذا كانت σ صغيرة، فهذا يعني أن الإجابات متقاربة حول المتوسط، وإذا كانت كبيرة، فهذا يعني أن الإجابات أكثر تشتتًا. إذن الإجابة هي: **الانحراف المعياري: σ = √{np(1-p)}، وهو يقيس تشتت الإجابات عن المتوسط μ = np**

سؤال س: e: ه. لنفترض أنه تمت زيادة حجم العينة إلى 1000 طالب وكان المتغير العشوائي Y يدل على عدد الطلاب الذين كانت إجاباتهم عن هذا السؤال بلا، وحيث إنه عند زيادة حجم العينة أصبحت نسبة الطلاب الذين أجابوا بلا هي 0.005. في هذه الحالة هل يفضل استخدام توزيع ذي الحدين أم توزيع بواسون؟ مع ذكر السبب وكتابة صيغة التوزيع.

الإجابة: بما أن n = 1000 كبير و p = 0.005 صغير، نستخدم بواسون: λ = 1000 × 0.005 = 5 P(Y = y) = e^{-5} 5^y / y!

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - حجم العينة الجديد: n = 1000 (كبير). - احتمال الإجابة بلا: p = 0.005 (صغير جدًا). - المتغير Y يتبع توزيع ذي الحدين: Y ~ Bin(1000, 0.005).
2. **الخطوة 2 (المقارنة بين التوزيعات):** عندما n كبير و p صغير (عادة عندما n ≥ 20 و p ≤ 0.05، أو np ≤ 5 تقريبًا)، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بـ **توزيع بواسون** لأنه أسهل في الحساب ويكون التقريب جيدًا. هنا: np = 1000 × 0.005 = 5 (صغير)، لذا نفضل استخدام توزيع بواسون.
3. **الخطوة 3 (صيغة التوزيع):** في تقريب بواسون، نضع λ = np = 5. دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون هي: $$P(Y = y) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^y}{y!} = \frac{e^{-5} 5^y}{y!}$$ حيث y = 0, 1, 2, ... إذن الإجابة هي: **نفضل استخدام توزيع بواسون لأن n كبير و p صغير (np = 5)، وصيغته: P(Y = y) = e^{-5} 5^y / y!**

ما هي الخطوات الأساسية لمشروع الفصل في الإحصاء الذي يتطلب تطبيق توزيع ذي الحدين؟

الإجابة: تصميم استبانة إلكترونية في المسار التخصصي تتطلب إجابة عن سؤال محدد لطلاب المدرسة، ثم تمثيل النتائج بيانيًا، وتحديد المتغيرات العشوائية وكتابة دوالها الاحتمالية، وحساب الانحراف المعياري، واختيار التوزيع المناسب عند زيادة حجم العينة.

الشرح: يحدد المشروع سلسلة من المهام الإحصائية المتكاملة التي تبدأ بجمع البيانات عبر استبانة وتنتهي بتحليلها باستخدام التوزيعات الاحتمالية المناسبة، مما يعزز الفهم التطبيقي للإحصاء.

تلميح: فكر في المراحل المتتابعة للعمل الإحصائي بدءًا من جمع البيانات وحتى تحليلها.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الفرق بين استخدام توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون في التجارب الاحتمالية؟

الإجابة: يُستخدم توزيع ذي الحدين عندما يكون عدد المحاولات (n) محدودًا واحتمال النجاح (p) ثابتًا. بينما يُفضل استخدام توزيع بواسون عند زيادة حجم العينة (n) بشكل كبير جدًا وصغر احتمال النجاح (p) بحيث يصبح np ثابتًا تقريبًا، حيث يقارب توزيع بواسون توزيع ذي الحدين في هذه الحالة.

الشرح: يقدم المشروع حالة تطبيقية حيث زيادة حجم العينة إلى 1000 طالب مع صغر احتمال الإجابة بلا (0.005) يجعل استخدام توزيع بواسون أكثر ملاءمة كتقريب لتوزيع ذي الحدين.

تلميح: ركز على العلاقة بين حجم العينة واحتمال النجاح في كل توزيع.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: صعب

ما هو المتغير العشوائي X في مشروع الفصل وكيف يتم تحديد نوعه؟

الإجابة: المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين كانت إجابتهم عن السؤال في الاستبانة بـ 'نعم'. نوعه هو متغير عشوائي متقطع (منفصل) يتبع توزيع ذي الحدين، حيث يمثل كل طالب محاولة مستقلة ونتيجة الإجابة (نعم/لا) تمثل النجاح/الفشل.

الشرح: يتم تحديد نوع المتغير بناءً على طبيعة البيانات (عددي متقطع) وطريقة جمعها (محاولات مستقلة بنتيجتين)، مما يجعله مثالًا نموذجيًا للتوزيع ذي الحدين.

تلميح: تذكر خصائص التجارب التي تنطبق عليها توزيع ذي الحدين.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

ما أهمية تفسير قيمة الانحراف المعياري التي يتم الحصول عليها في التحليل الإحصائي؟

الإجابة: تفسير قيمة الانحراف المعياري يوضح مدى تشتت أو انتشار البيانات حول المتوسط. قيمة الانحراف المعياري الأكبر تشير إلى تشتت أكبر في الإجابات، بينما القيمة الأصغر تشير إلى تجمع الإجابات حول القيمة المتوسطة، مما يساعد في فهم درجة تجانس أو تباين آراء الطلاب.

الشرح: طلب المشروع تفسير القيمة يؤكد على أن الهدف من الإحصاء ليس مجرد حساب، بل فهم دلالة الأرقام واتخاذ قرارات مبنية على هذه الدلالة.

تلميح: فكر في مقياس التشتت الإحصائي وما تعكسه قيمته عن مجموعة البيانات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي المهام المطلوبة في مشروع الفصل بعد تمثيل النتائج بيانيًا؟

الإجابة: بعد التمثيل البياني، المطلوب هو: 1) تحديد نوع المتغير العشوائي X (عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم) وكتابة دالته الاحتمالية. 2) كتابة الدالة الاحتمالية للمتغير العشوائي Y (عدد الطلاب الذين أجابوا بلا). 3) إيجاد الانحراف المعياري وتفسير قيمته. 4) في حالة زيادة حجم العينة، تقرير ما إذا كان يفضل استخدام توزيع ذي الحدين أم بواسون مع ذكر السبب.

الشرح: يتبع المشروع منهجية متسلسلة تبدأ بالعرض البصري للبيانات ثم الانتقال إلى التحليل الكمي الاحتمالي، وانتهاءً باختيار النموذج الإحصائي الأمثل.

تلميح: راجع تسلسل الأسئلة من (ب) إلى (ه) في نص المشروع.

التصنيف: ملخص | المستوى: متوسط