قانون كبلر الثالث المعدل - كتاب علوم الأرض و الفضاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال مثال 2: مركبة فضائية تدور حول الأرض في مدار بيضاوي، على متوسط بعد يساوي 10 أضعاف نصف قطر الأرض، احسب مدة دورتها حول الأرض بـ day. علماً بأن نصف قطر الأرض Re=6378km وكتلة الأرض Me=5.98x10$^{24}$kg وكتلة الشمس Ms=1.98x10$^{30}$kg.

الإجابة: الحل: المعلوم a=10Re a=63780 km Me=6x10$^{24}$ kg المجهول T=? إيجاد الكمية المجهولة: بقسمة بعد المركبة على 15x10$^{7}$ (متوسط بعد الأرض عن الشمس) لحساب بعد المركبة بالوحدة الفلكية AU. a = 63780 / 15x10$^{7}$ = 4.25x10$^{-4}$ AU بقسمة كتلة الأرض على كتلة الشمس لحساب كتلة الأرض بدلالة كتلة الشمس M = Me / Ms = 5.98x10$^{24}$ / 1.98x10$^{30}$ = 3x10$^{-6}$ Ms من قانون كبلر الثالث المعدل (تهمل كتلة المركبة لصغرها مقابل كتلة الأرض) a$^{3}$ = T$^{2}$M T$^{2}$ = a$^{3}$ / M = (4.25x10$^{-4}$)$^{3}$ / 3x10$^{-6}$ = 7.67x10$^{-11}$ / 3x10$^{-6}$ T$^{2}$ = 2.55x10$^{-5}$ T = $\sqrt{2.55x10^{-5}}$ T = 5.1x10$^{-3}$ years بالضرب في 365.25 للتحويل إلى days T = 5.1x10$^{-3}$ x 365.25 = 1.84 day

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - متوسط بعد المركبة عن مركز الأرض: a = 10 × نصف قطر الأرض (Re). - نصف قطر الأرض: Re = 6378 km. - كتلة الأرض: Me = 5.98 × 10²⁴ kg. - كتلة الشمس: Ms = 1.98 × 10³⁰ kg. - المطلوب: مدة دورة المركبة (T) بالأيام (day).
2. **الخطوة 2 (الفكرة والقانون):** الفكرة هنا هي استخدام قانون كبلر الثالث للحركة الكوكبية، والذي ينص على أن مربع زمن الدورة (T²) يتناسب مع مكعب نصف المحور الرئيسي للمدار (a³). نحتاج إلى تطبيق صيغة معدلة تأخذ في الاعتبار كتلة الجسم المركزي (الأرض) بالنسبة لكتلة الشمس، حيث تُقاس المسافات بوحدة فلكية (AU) والكتل بوحدة كتلة الشمس (Ms). الصيغة هي: $$a^3 = T^2 \times M$$ حيث: - a: نصف المحور الرئيسي للمدار بوحدة (AU). - T: زمن الدورة بوحدة (سنوات أرضية). - M: كتلة الجسم المركزي (الأرض) بوحدة (Ms).
3. **الخطوة 3 (الحسابات):** أولاً: نحسب متوسط بعد المركبة (a) بالكيلومتر: $$a = 10 \times Re = 10 \times 6378 = 63780 \text{ km}$$ ثانياً: نحول هذا البعد إلى الوحدة الفلكية (AU). نعلم أن متوسط بعد الأرض عن الشمس هو 1 AU ≈ 1.5 × 10⁸ km. $$a_{\text{(AU)}} = \frac{63780}{1.5 \times 10^8} = 4.252 \times 10^{-4} \text{ AU}$$ ثالثاً: نحسب كتلة الأرض (M) بوحدة كتلة الشمس (Ms): $$M = \frac{Me}{Ms} = \frac{5.98 \times 10^{24}}{1.98 \times 10^{30}} = 3.020 \times 10^{-6} \text{ Ms}$$ رابعاً: نطبق قانون كبلر الثالث المعدل: $$a^3 = T^2 \times M$$ $$T^2 = \frac{a^3}{M} = \frac{(4.252 \times 10^{-4})^3}{3.020 \times 10^{-6}}$$ نحسب قيمة a³: $$a^3 = (4.252 \times 10^{-4})^3 = 7.685 \times 10^{-11}$$ نعوض: $$T^2 = \frac{7.685 \times 10^{-11}}{3.020 \times 10^{-6}} = 2.545 \times 10^{-5}$$ خامساً: نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد T بالسنوات: $$T = \sqrt{2.545 \times 10^{-5}} = 5.045 \times 10^{-3} \text{ years}$$ سادساً: نحول الزمن من سنوات إلى أيام، حيث السنة = 365.25 يوم: $$T_{\text{(days)}} = 5.045 \times 10^{-3} \times 365.25 = 1.842 \text{ days}$$ **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، مدة دورة المركبة الفضائية حول الأرض هي تقريباً **1.84 يوم**.

ما هو قانون كبلر الثالث المعدل (Modified 3rd Kepler's law)؟

الإجابة: قانون كبلر الثالث المعدل هو: a³ = T²M، حيث a هو متوسط بعد الجرم عن الجسم المركزي (بالوحدة الفلكية)، T هو زمن دورته (بالسنوات)، وM هي كتلة الجسم المركزي (بكتلة شمسية).

الشرح: قام نيوتن بتعديل قانون كبلر الثالث وفقاً لقوانين الحركة وقانون الجذب العام، مما أدى إلى هذه الصيغة التي تربط بين بعد الجرم، وزمن دورته، وكتلة الجسم الذي يدور حوله.

تلميح: فكر في العلاقة بين مكعب المسافة ومربع الزمن، ومن قام بتعديل القانون الأصلي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة العامة لقانون كبلر الثالث المعدل المشتقة من قانون نيوتن للجذب العام؟

الإجابة: الصيغة العامة هي: T² = a³ (4π² / G(M+m))، حيث M كتلة الجسم المركزي (مثل الشمس)، وm كتلة الجرم الذي يدور حوله، وG ثابت الجذب العام.

الشرح: هذه الصيغة هي التعديل الدقيق الذي قدمه نيوتن، حيث يظهر الثابت 4π²/G. عند استخدام وحدات فلكية (AU، سنوات، كتلة شمسية) يصبح هذا الثابت يساوي 1، مما يبسط القانون.

تلميح: تذكر أن هذه الصيغة تأخذ في الاعتبار كتلة كلا الجسمين، وليس الجسم المركزي فقط.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

كيف تحول الكتلة إلى كتلة شمسية، والبعد إلى وحدة فلكية (AU) عند تطبيق قانون كبلر الثالث المعدل؟

الإجابة: لتحويل الكتلة إلى كتلة شمسية: نقسم الكتلة على كتلة الشمس (Ms). لتحويل البعد إلى وحدة فلكية: نقسم المسافة على متوسط بعد الأرض عن الشمس (1 AU ≈ 15x10⁷ km).

الشرح: هذه الخطوات ضرورية لاستخدام الصيغة المبسطة a³ = T²M، والتي تفترض أن الوحدات المستخدمة هي الوحدة الفلكية للمسافة، والسنة للزمن، وكتلة الشمس للكتلة.

تلميح: فكر في أن التحويل يتم باستخدام وحدات قياسية مرجعية (الشمس للأرض).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في مثال المركبة الفضائية، إذا كان متوسط بعدها عن الأرض a = 10Re (حيث Re نصف قطر الأرض)، وكتلة الأرض Me، وكتلة الشمس Ms، فما هي خطوات إيجاد زمن دورة المركبة T بالأيام؟

الإجابة: 1. تحويل البعد a إلى AU: a(AU) = (10 * Re) / (15x10⁷ km). 2. تحويل كتلة الأرض M إلى كتلة شمسية: M = Me / Ms. 3. تطبيق قانون كبلر الثالث المعدل (بإهمال كتلة المركبة): T² = a³ / M. 4. حل المعادلة لإيجاد T بالسنوات. 5. تحويل T من سنوات إلى أيام: T(days) = T(years) * 365.25.

الشرح: يوضح هذا المثال التطبيق العملي للخطوات المذكورة سابقاً (تحويل الوحدات، ثم تطبيق القانون المبسط)، مع إهمال كتلة المركبة لأنها صغيرة جداً مقارنة بكتلة الأرض.

تلميح: ركز على خطوتي التحويل الأساسيتين (المسافة والكتلة) قبل التعويض في القانون.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما هو الشرط الذي يسمح لنا باستخدام الصيغة المبسطة لقانون كبلر الثالث (a³ = T²M) بدلاً من الصيغة العامة؟

الإجابة: الشرط هو استخدام وحدات قياسية محددة: أن تكون المسافة a مقاسة بالوحدة الفلكية (AU)، والزمن T بالسنوات، والكتلة M بكتلة الشمس. عندها يصبح الثابت (4π² / G) في الصيغة العامة مساوياً للواحد (1).

الشرح: هذا الشرط يبسط الحسابات بشكل كبير عند دراسة الأجرام في النظام الشمسي، حيث تصبح الكميات مقاسة نسبة إلى معايير الأرض والشمس.

تلميح: فكر في الوحدات التي تجعل الثابت الرياضي في المعادلة يساوي 1.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط