تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص صفحة التدريبات (102)

1. log₈ 512 = 3

الصورة الأسية: 8^3 = 512

2. log₅ 625 = 4

الصورة الأسية: 5^4 = 625

3. log₂ 16 = 4

الصورة الأسية: 2^4 = 16

4. log₇ 343 = 4

الصورة الأسية: 7^4 = 343

5. log₉ (1/81) = -2

الصورة الأسية: 9^{-2} = \frac{1}{81}

6. log₃ (1/27) = -3

الصورة الأسية: 3^{-3} = \frac{1}{27}

7. log₁₂ 144 = 2

الصورة الأسية: 12^2 = 144

8. log₉ 1 = 0

الصورة الأسية: 9^0 = 1

9. 11³ = 1331

الصورة اللوغاريتمية: log₁₁ 1331 = 3

10. 16⁴ = 8

الصورة اللوغاريتمية: log₁₆ 8 = \frac{1}{4}

11. 9⁻¹ = 1/9

الصورة اللوغاريتمية: log₉ (\frac{1}{9}) = -1

12. 6⁻³ = 1/216

الصورة اللوغاريتمية: log₆ (\frac{1}{216}) = -3

13. 2⁸ = 256

الصورة اللوغاريتمية: log₂ 256 = 8

14. 4⁶ = 4096

الصورة اللوغاريتمية: log₄ 4096 = 6

15. 27^{2/3} = 9

الصورة اللوغاريتمية: log₂₇ 9 = \frac{2}{3}

16. 25^{3/2} = 125

الصورة اللوغاريتمية: log₂₅ 125 = \frac{3}{2}

17. log₁₃ 169

بما أن 13^2 = 169، إذن log₁₃ 169 = 2.

18. log₈ (1/128)

بما أن 128 = 2^7 و 8 = 2^3، فإن \frac{1}{128} = 2^{-7} و 8 = 2^3. نبحث عن الأس x حيث (2^3)^x = 2^{-7}، أي 2^{3x} = 2^{-7}، لذا 3x = -7، x = -\frac{7}{3}. إذن log₈ (1/128) = -\frac{7}{3}.

19. log₆ 1

6^0 = 1، إذن log₆ 1 = 0.

20. log₄ 1

4^0 = 1، إذن log₄ 1 = 0.

21. log₁₀ 10

10^1 = 10، إذن log₁₀ 10 = 1.

22. log₁₀ 0.01

0.01 = 10^{-2}، إذن log₁₀ 0.01 = -2.

23. log₃ (1/9)

\frac{1}{9} = 3^{-2}، إذن log₃ (1/9) = -2.

24. log₆₄ (1/4)

بما أن 64 = 4^3، فإن \frac{1}{4} = 4^{-1} = (64^{1/3})^{-1} = 64^{-1/3}. إذن log₆₄ (1/4) = -\frac{1}{3}.

25. log₆ 216

216 = 6^3، إذن log₆ 216 = 3.

26. log₂₇ 3

3 = 27^{1/3}، إذن log₂₇ 3 = \frac{1}{3}.

27. log₃₂ 2

2 = 32^{1/5}، إذن log₃₂ 2 = \frac{1}{5}.

28. log₁₂١ 11

121 = 11^2، إذن log₁₂١ 11 = \frac{1}{2}.

29. log₅ 3125

3125 = 5^5، إذن log₅ 3125 = 5.

30. log₈ 512

512 = 8^3، إذن log₈ 512 = 3.

31. log₆ (1/216)

\frac{1}{216} = 6^{-3}، إذن log₆ (1/216) = -3.

32. f(x) = log₃ x

التمثيل البياني: منحنى الدالة اللوغاريتمية الأساسية ذات الأساس 3، يمر بالنقطة (1,0)، مجالها x > 0، مداها جميع الأعداد الحقيقية.

33. f(x) = log₆ x

التمثيل البياني: منحنى الدالة اللوغاريتمية الأساسية ذات الأساس 6، يمر بالنقطة (1,0)، مجالها x > 0، مداها جميع الأعداد الحقيقية.

34. f(x) = 4 log₄ (x - 6)

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₄ x. انسحاب أفقي لليمين بمقدار 6 وحدات (بسبب x-6)، وتمدد رأسي بعامل 4 (بسبب الضرب في 4). مجال الدالة: x > 6.

35. f(x) = 2 log₁₀ x - 5

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₁₀ x. تمدد رأسي بعامل 2، ثم انسحاب رأسي للأسفل بمقدار 5 وحدات. مجال الدالة: x > 0.

36. f(x) = 4 log₂ x + 6

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₂ x. تمدد رأسي بعامل 4، ثم انسحاب رأسي للأعلى بمقدار 6 وحدات. مجال الدالة: x > 0.

37. f(x) = log₉ x

التمثيل البياني: منحنى الدالة اللوغاريتمية الأساسية ذات الأساس 9، يمر بالنقطة (1,0)، مجالها x > 0، مداها جميع الأعداد الحقيقية.

38. f(x) = -3 log₁₂ x + 2

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₁₂ x. انعكاس حول المحور x (بسبب الإشارة السالبة)، تمدد رأسي بعامل 3، ثم انسحاب رأسي للأعلى بمقدار وحدتين. مجال الدالة: x > 0.

39. f(x) = 6 log₁₀ (x + 2)

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₁₀ x. انسحاب أفقي لليسار بمقدار وحدتين (بسبب x+2)، وتمدد رأسي بعامل 6. مجال الدالة: x > -2.

40. f(x) = -8 log₃ (x - 4)

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₃ x. انسحاب أفقي لليمين بمقدار 4 وحدات، انعكاس حول المحور x، وتمدد رأسي بعامل 8. مجال الدالة: x > 4.

41. f(x) = log_{1/4} (x + 9) - 1

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log_{1/4} x. انسحاب أفقي لليسار بمقدار 9 وحدات، ثم انسحاب رأسي للأسفل بمقدار وحدة واحدة. مجال الدالة: x > -9.

42. علوم. عد إلى فقرة "لماذا؟" ببداية الدرس. أوجد معكوس الدالة اللوغاريتمية المعطاة. (مثال 7)

البيانات غير متوفرة في هذه الصفحة. يجب الرجوع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس 3-2.

43. تصوير: n = log₂ (1/p)

أ) إذا كانت نسبة الإضاءة في اليوم الغائم p = \frac{1}{4}، فإن:

n = log₂ (1 / (\frac{1}{4})) = log₂ (4) = log₂ (2^2) = 2

يجب أن يستعمل خالد درجة زر ضبط الإضاءة n = 2.

ب) مثل الدالة n = log₂ (1/p) بيانيًا. (يجب رسم المنحنى اللوغاريتمي، حيث يكون p هو المتغير المستقل و n هو المتغير التابع).

ج) باستعمال التمثيل البياني: إذا قلت n بمقدار 3 درجات (مثلاً من n=2 إلى n=-1)، فإن قيمة p المقابلة ستزداد (لأن العلاقة عكسية). يؤدي ذلك إلى زيادة نسبة الإضاءة p.

44. تربية: y(t) = 85 - 6 log₂ (t + 1)

أ) عند t = 0: y(0) = 85 - 6 log₂ (0 + 1) = 85 - 6 log₂ (1) = 85 - 6(0) = 85

ب) عند t = 3: y(3) = 85 - 6 log₂ (3 + 1) = 85 - 6 log₂ (4) = 85 - 6(2) = 85 - 12 = 73

ج) عند t = 15: y(15) = 85 - 6 log₂ (15 + 1) = 85 - 6 log₂ (16) = 85 - 6(4) = 85 - 24 = 61

45. مثل الدالة y = 15 log₁₄ (x - 9) + 1 بيانيًا.

التمثيل البياني: تحويل للدالة الأساسية log₁₄ x. انسحاب أفقي لليمين بمقدار 9 وحدات، تمدد رأسي بعامل 15، ثم انسحاب رأسي للأعلى بمقدار وحدة واحدة. مجال الدالة: x > 9.

46. تحليليًا: معادلة الدالة المطلوبة هي تحويل للدالة y = log₃ x بإزاحة 4 وحدات لليسار (x \to x + 4) ووحدة واحدة لأعلى (+1). إذن المعادلة هي:

y = log₃ (x + 4) + 1

47. إعلانات: S(a) = 10 + 20 log₄ (a + 1)

أ) حساب القيم:

S(63) = 10 + 20 log₄ (63 + 1) = 10 + 20 log₄ (64) = 10 + 20 log₄ (4^3) = 10 + 20(3) = 10 + 60 = 70

S(15) = 10 + 20 log₄ (15 + 1) = 10 + 20 log₄ (16) = 10 + 20 log₄ (4^2) = 10 + 20(2) = 10 + 40 = 50

S(3) = 10 + 20 log₄ (3 + 1) = 10 + 20 log₄ (4) = 10 + 20(1) = 10 + 20 = 30

ب) تفسير القيم: تمثل S(a) قيمة المبيعات بآلاف الريالات.

* S(63)=70: يعني أن إنفاق 63 ألف ريال على الدعاية يولد مبيعات بقيمة 70 ألف ريال.

* S(15)=50: يعني أن إنفاق 15 ألف ريال على الدعاية يولد مبيعات بقيمة 50 ألف ريال.

* S(3)=30: يعني أن إنفاق 3 آلاف ريال على الدعاية يولد مبيعات بقيمة 30 ألف ريال.

ج) مثل الدالة S(a) = 10 + 20 log₄ (a + 1) بيانيًا. (منحنى لوغاريتمي يبدأ من النقطة (0,10) تقريباً ويتزايد ببطء).

د) يظهر من التمثيل البياني ومن الحسابات أن معدل زيادة المبيعات (ميل المنحنى) يتناقص مع زيادة a. فمثلاً، الزيادة من a=3 إلى a=15 (زيادة 12 ألف) رفعت المبيعات 20 ألف، بينما الزيادة من a=15 إلى a=63 (زيادة 48 ألف) رفعت المبيعات 20 ألف فقط. هذا يدل على تناقص العائد (الأثر) لكل ريال إضافي يُنفق على الدعاية عند الإنفاق بمبالغ كبيرة.

تدرب وحل المسائل

اكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي على الصورة الأسية: (مثال 1)

log₈ 512 = 3

log₅ 625 = 4

log₂ 16 = 4

log₇ 343 = 4

log₉ (1/81) = -2

log₃ (1/27) = -3

log₁₂ 144 = 2

log₉ 1 = 0

اكتب كل معادلة أسية مما يأتي على الصورة اللوغاريتمية: (مثال 2)

11³ = 1331

16⁴ = 8

9⁻¹ = 1/9

6⁻³ = 1/216

2⁸ = 256

4⁶ = 4096

27^(2/3) = 9

25^(3/2) = 125

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل مما يأتي: (المثالان 3, 4)

log₁₃ 169

log₈ (1/128)

log₆ 1

log₄ 1

log₁₀ 10

log₁₀ 0.01

log₃ (1/9)

log₆₄ (1/4)

log₆ 216

log₂₇ 3

log₃₂ 2

log₁₂₁ 11

log₅ 3125

log₈ 512

log₆ (1/216)

مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا: (المثالان 5, 6)

f(x) = log₃ x

f(x) = log₆ x

f(x) = 4 log₄ (x - 6)

f(x) = 2 log₁₀ x - 5

f(x) = 4 log₂ x + 6

f(x) = log₉ x

f(x) = -3 log₁₂ x + 2

f(x) = 6 log₁₀ (x + 2)

f(x) = -8 log₃ (x - 4)

f(x) = log₁/₄ (x + 9) - 1

علوم. عد إلى فقرة "لماذا؟" ببداية الدرس. أوجد معكوس الدالة اللوغاريتمية المعطاة. (مثال 7)

تصوير: تمثل الصيغة n = log₂ (1/p) درجة زر ضبط الإضاءة في آلة التصوير والمستعملة عند نقص الإضاءة، حيث p نسبة ضوء الشمس في منطقة التقاط الصورة. (مثال 7)

تربية: لقياس مدى احتفاظ الطلاب بالمعلومات، يتم عادة اختبارهم بعد وقت من تعلمها، ويمكن تقدير درجة سلمان في مادة الرياضيات بعد انتهاء الفصل الدراسي باستعمال المعادلة y(t) = 85 - 6 log₂ (t + 1)، حيث t عدد الأشهر التي مضت بعد انتهاء الفصل الدراسي.

مثل الدالة y = 15 log₁₄ (x - 9) + 1 بيانيًا.

تحليليًا: اكتب معادلة لدالة يكون تمثيلها البياني يشبه التمثيل البياني للدالة y = log₃ x بعد إزاحتها ٤ وحدات إلى اليسار ووحدة إلى أعلى.

إعلانات: تزداد المبيعات عادة مع زيادة الإنفاق على الدعاية والإعلان، وتقدر قيمة المبيعات لشركة بآلاف الريالات بالمعادلة S(a) = 10 + 20 log₄ (a + 1)، حيث a المبلغ الذي يتم إنفاقه على الدعاية والإعلان بآلاف الريالات، a ≥ 0.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 102

--- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: Instruction for 1-8 --- اكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي على الصورة الأسية: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- log₈ 512 = 3 --- SECTION: 2 --- log₅ 625 = 4 --- SECTION: 3 --- log₂ 16 = 4 --- SECTION: 4 --- log₇ 343 = 4 --- SECTION: 5 --- log₉ (1/81) = -2 --- SECTION: 6 --- log₃ (1/27) = -3 --- SECTION: 7 --- log₁₂ 144 = 2 --- SECTION: 8 --- log₉ 1 = 0 --- SECTION: Instruction for 9-16 --- اكتب كل معادلة أسية مما يأتي على الصورة اللوغاريتمية: (مثال 2) --- SECTION: 9 --- 11³ = 1331 --- SECTION: 10 --- 16⁴ = 8 --- SECTION: 11 --- 9⁻¹ = 1/9 --- SECTION: 12 --- 6⁻³ = 1/216 --- SECTION: 13 --- 2⁸ = 256 --- SECTION: 14 --- 4⁶ = 4096 --- SECTION: 15 --- 27^(2/3) = 9 --- SECTION: 16 --- 25^(3/2) = 125 --- SECTION: Instruction for 17-31 --- دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل مما يأتي: (المثالان 3, 4) --- SECTION: 17 --- log₁₃ 169 --- SECTION: 18 --- log₈ (1/128) --- SECTION: 19 --- log₆ 1 --- SECTION: 20 --- log₄ 1 --- SECTION: 21 --- log₁₀ 10 --- SECTION: 22 --- log₁₀ 0.01 --- SECTION: 23 --- log₃ (1/9) --- SECTION: 24 --- log₆₄ (1/4) --- SECTION: 25 --- log₆ 216 --- SECTION: 26 --- log₂₇ 3 --- SECTION: 27 --- log₃₂ 2 --- SECTION: 28 --- log₁₂₁ 11 --- SECTION: 29 --- log₅ 3125 --- SECTION: 30 --- log₈ 512 --- SECTION: 31 --- log₆ (1/216) --- SECTION: Instruction for 32-41 --- مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا: (المثالان 5, 6) --- SECTION: 32 --- f(x) = log₃ x --- SECTION: 33 --- f(x) = log₆ x --- SECTION: 34 --- f(x) = 4 log₄ (x - 6) --- SECTION: 35 --- f(x) = 2 log₁₀ x - 5 --- SECTION: 36 --- f(x) = 4 log₂ x + 6 --- SECTION: 37 --- f(x) = log₉ x --- SECTION: 38 --- f(x) = -3 log₁₂ x + 2 --- SECTION: 39 --- f(x) = 6 log₁₀ (x + 2) --- SECTION: 40 --- f(x) = -8 log₃ (x - 4) --- SECTION: 41 --- f(x) = log₁/₄ (x + 9) - 1 --- SECTION: 42 --- علوم. عد إلى فقرة "لماذا؟" ببداية الدرس. أوجد معكوس الدالة اللوغاريتمية المعطاة. (مثال 7) --- SECTION: 43 --- تصوير: تمثل الصيغة n = log₂ (1/p) درجة زر ضبط الإضاءة في آلة التصوير والمستعملة عند نقص الإضاءة، حيث p نسبة ضوء الشمس في منطقة التقاط الصورة. (مثال 7) --- SECTION: 44 --- تربية: لقياس مدى احتفاظ الطلاب بالمعلومات، يتم عادة اختبارهم بعد وقت من تعلمها، ويمكن تقدير درجة سلمان في مادة الرياضيات بعد انتهاء الفصل الدراسي باستعمال المعادلة y(t) = 85 - 6 log₂ (t + 1)، حيث t عدد الأشهر التي مضت بعد انتهاء الفصل الدراسي. --- SECTION: 45 --- مثل الدالة y = 15 log₁₄ (x - 9) + 1 بيانيًا. --- SECTION: 46 --- تحليليًا: اكتب معادلة لدالة يكون تمثيلها البياني يشبه التمثيل البياني للدالة y = log₃ x بعد إزاحتها ٤ وحدات إلى اليسار ووحدة إلى أعلى. --- SECTION: 47 --- إعلانات: تزداد المبيعات عادة مع زيادة الإنفاق على الدعاية والإعلان، وتقدر قيمة المبيعات لشركة بآلاف الريالات بالمعادلة S(a) = 10 + 20 log₄ (a + 1)، حيث a المبلغ الذي يتم إنفاقه على الدعاية والإعلان بآلاف الريالات، a ≥ 0. --- SECTION: Ministry of Education --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- SECTION: Chapter 2 Title and Page Number --- الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 102