الفصل 2 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

1. مثل الدالة f(x) = 3(4)ˣ بيانيًا، وحدد مجالها ومداها:

* التمثيل البياني: دالة أسية أساسها 4 > 1، لذا فهي متزايدة. المعامل 3 يؤدي إلى تمدد رأسي. التقاطع مع المحور y عند (0, 3) لأن f(0) = 3(4)⁰ = 3.

* المجال (Domain): المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (x→-∞) وإلى اليمين (x→+∞). المجال: (-\infty, \infty).

* المدى (Range): القيم y تبدأ من أعلى من الصفر (بسبب التمدد الرأسي) وتتزايد إلى ما لا نهاية (y→+∞). المدى: (0, \infty).

2. مثل الدالة f(x) = -(2)ˣ + 5 بيانيًا، وحدد مجالها ومداها:

* التمثيل البياني: دالة أسية أساسها 2 > 1، لكن الإشارة السالبة أمام (2)ˣ تعكسها حول المحور x، والثابت +5 يرفعها 5 وحدات لأعلى. التقاطع مع المحور y عند (0, 4) لأن f(0) = -(2)⁰ + 5 = -1 + 5 = 4. خط التقارب الأفقي يصبح y = 5.

* المجال (Domain): المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (x→-∞) وإلى اليمين (x→+∞). المجال: (-\infty, \infty).

* المدى (Range): القيم y تقع أسفل خط التقارب y = 5 وتتجه إلى -∞ (y→-∞). المدى: (-\infty, 5).

3. مثل الدالة f(x) = -0.5(3)ˣ⁺² + 4 بيانيًا، وحدد مجالها ومداها:

* التمثيل البياني: دالة أسية أساسها 3 > 1. التحويلات: انعكاس حول المحور x (معامل -0.5)، انسحاب أفقي 2 وحدة لليسار (x+2)، انسحاب رأسي 4 وحدات لأعلى (+4). خط التقارب الأفقي يصبح y = 4.

* المجال (Domain): المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (x→-∞) وإلى اليمين (x→+∞). المجال: (-\infty, \infty).

* المدى (Range): القيم y تقع أسفل خط التقارب y = 4 وتتجه إلى -∞ (y→-∞). المدى: (-\infty, 4).

4. مثل الدالة f(x) = -3(¹/₃)ˣ⁻¹ + 8 بيانيًا، وحدد مجالها ومداها:

* التمثيل البياني: دالة أسية أساسها 0 < 1/3 < 1، لذا فهي متناقصة. التحويلات: انعكاس حول المحور x (معامل -3)، انسحاب أفقي وحدة واحدة لليمين (x-1)، انسحاب رأسي 8 وحدات لأعلى (+8). خط التقارب الأفقي يصبح y = 8.

* المجال (Domain): المنحنى يمتد بلا نهاية إلى اليسار (x→-∞) وإلى اليمين (x→+∞). المجال: (-\infty, \infty).

* المدى (Range): القيم y تقع أسفل خط التقارب y = 8 وتتجه إلى -∞ (y→-∞). المدى: (-\infty, 8).

5. علوم: بدأت تجربة مخبرية بـ 6000 خلية بكتيرية، وبعد ساعتين أصبح عددها 28000 خلية.

* a) الدالة الأسية على الصورة y = abˣ، حيث y هو عدد الخلايا بعد t ساعة، و a = 6000 (العدد الابتدائي). لإيجاد b:

28000 = 6000 * b^2

b^2 = \frac{28000}{6000} = \frac{14}{3} \approx 4.6667

b = \sqrt{\frac{14}{3}} \approx 2.1602

الدالة: y = 6000(2.1602)^t

* b) العدد المتوقع بعد 4 ساعات:

y = 6000(2.1602)^4 \approx 6000 * 21.7778 \approx 130666.8

العدد المتوقع ≈ 130667 خلية.

6. اختيار من متعدد: أي الدوال الأسية الآتية يمر تمثيلها البياني بالنقطتين (0, 125) و (3, 1000)؟

* الخيارات: A) f(x) = 125(3)ˣ، B) f(x) = 1000(3)ˣ، C) f(x) = 125(1000)ˣ، D) f(x) = 125(2)ˣ.

* الحل: الدالة على الصورة f(x) = abˣ.

من النقطة (0, 125): f(0) = a b⁰ = a = 125. إذن a = 125. هذا يستبعد الخيار B.

من النقطة (3, 1000): f(3) = 125 b³ = 1000.

b^3 = \frac{1000}{125} = 8

b = \sqrt[3]{8} = 2

* الدالة هي f(x) = 125(2)ˣ.

* الإجابة الصحيحة: D

7. سكان: كان عدد سكان إحدى المدن 45000 نسمة عام 1995م، وتزايد عددهم ليصبح 68000 نسمة عام 2007م.

* a) الدالة الأسية على الصورة y = abˣ، حيث y هو عدد السكان بعد t سنة منذ 1995، و a = 45000. الفترة الزمنية t بين القياسين هي 2007 - 1995 = 12 سنة.

68000 = 45000 * b^{12}

b^{12} = \frac{68000}{45000} = \frac{68}{45} \approx 1.5111

b = (1.5111)^{\frac{1}{12}} \approx 1.035

الدالة: y = 45000(1.035)^t

* b) عدد السكان المتوقع عام 2015 (t = 2015 - 1995 = 20 سنة):

y = 45000(1.035)^{20} \approx 45000 * 1.9898 \approx 89541

العدد المتوقع ≈ 89541 نسمة.

8. حل المعادلة 11²ˣ⁺¹ = 121³ˣ:

* 121 = 11^2

* 11^{2x+1} = (11^2)^{3x} = 11^{6x}

* بما أن الأساسات متساوية (11)، فإن الأسس متساوية:

2x + 1 = 6x

1 = 4x

x = \frac{1}{4}

* التحقق: بالتعويض في المعادلة الأصلية.

9. حل المعادلة 3⁴ˣ⁻⁷ = 27²ˣ⁺³:

* 27 = 3^3

* 3^{4x-7} = (3^3)^{2x+3} = 3^{6x+9}

* بما أن الأساسات متساوية (3)، فإن الأسس متساوية:

4x - 7 = 6x + 9

-7 - 9 = 6x - 4x

-16 = 2x

x = -8

* التحقق: بالتعويض في المعادلة الأصلية.

10. حل المتباينة 5²ˣ⁺³ ≤ 125:

* 125 = 5^3

* 5^{2x+3} \leq 5^3

* بما أن الأساس 5 > 1، فإن اتجاه المتباينة يبقى كما هو:

2x + 3 \leq 3

2x \leq 0

x \leq 0

* التحقق: اختيار قيمة مثل x = -1 (تتحقق) و x = 1 (لا تتحقق).

11. حل المتباينة 16²ˣ⁺³ < 64:

* 16 = 2^4 و 64 = 2^6

* (2^4)^{2x+3} < 2^6

2^{8x+12} < 2^6

* بما أن الأساس 2 > 1، فإن اتجاه المتباينة يبقى كما هو:

8x + 12 < 6

8x < -6

x < -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}

* التحقق: اختيار قيمة مثل x = -1 (تتحقق) و x = 0 (لا تتحقق).

12. حل المتباينة (¹/₃₂)ˣ⁺³ ≥ 16³ˣ:

* 1/32 = 2^{-5} و 16 = 2^4

* (2^{-5})^{x+3} \geq (2^4)^{3x}

2^{-5x-15} \geq 2^{12x}

* بما أن الأساس 2 > 1، فإن اتجاه المتباينة يبقى كما هو:

-5x - 15 \geq 12x

-15 \geq 17x

x \leq -\frac{15}{17}

* التحقق: اختيار قيمة مثل x = -1 (تتحقق) و x = 0 (لا تتحقق).

13. مثل الدالة f(x) = 3 log₂(x - 1) بيانيًا:

* التمثيل البياني: تحويل للدالة الأم y = log₂ x. خط التقارب الرأسي عند x = 1. تمدد رأسي بعامل 3. المجال: x - 1 > 0 ⇒ x > 1.

14. مثل الدالة f(x) = -4 log₃(x - 2) + 5 بيانيًا:

* التمثيل البياني: تحويل للدالة الأم y = log₃ x. خط التقارب الرأسي عند x = 2. انعكاس حول المحور x (معامل -4)، تمدد رأسي بعامل 4، انسحاب رأسي 5 وحدات لأعلى. المجال: x - 2 > 0 ⇒ x > 2.

15. مثل الدالة f(x) = 2 + log₄(1 + x) بيانيًا:

* التمثيل البياني: تحويل للدالة الأم y = log₄ x. يمكن كتابتها كـ f(x) = log₄(x + 1) + 2. خط التقارب الرأسي عند x = -1. انسحاب أفقي وحدة واحدة لليسار، انسحاب رأسي وحدتين لأعلى. المجال: 1 + x > 0 ⇒ x > -1.

16. اختيار من متعدد: ما الصورة اللوغاريتمية للمعادلة 5 = (625)¹/₄ ؟

* الخيارات: A) log₆₂₅ 5 = ¹/₄، B) log₅ 625 = 4، C) log₅ 625 = ¹/₄، D) log₄ 5 = 625.

* الحل: المعادلة الأسية: 625^{\frac{1}{4}} = 5. الأساس هو 625، الناتج هو 5، والأس هو 1/4.

الصورة اللوغاريتمية: log_{625} 5 = \frac{1}{4}.

* الإجابة الصحيحة: A

17. اختيار من متعدد: أي التمثيلات البيانية الآتية هو تمثيل الدالة f(x) = log₃(x + 5) + 3 ؟

* الخيارات: A، B، C، D.

* الحل: الدالة هي تحويل للدالة الأم y = log₃ x.

* انسحاب أفقي: x + 5 ⇒ انسحاب 5 وحدات لليسار. خط التقارب الرأسي يصبح عند x = -5.

* انسحاب رأسي: +3 ⇒ انسحاب 3 وحدات لأعلى.

* التحقق مع الرسوم البيانية: الرسم البياني A هو الوحيد الذي يظهر خط تقارب رأسي عند x = -5. النقاط المذكورة له (مثل (-4, 3)) تتوافق مع التحويل: من النقطة (1, 0) على الدالة الأم، بعد التحويل: x = 1 - 5 = -4، y = 0 + 3 = 3.

* الإجابة الصحيحة: A

18. أوجد قيمة log₄ 32:

* 32 = 4^{2.5} لأن 4^{2.5} = (2^2)^{2.5} = 2^5 = 32.

* log_4 32 = \frac{5}{2} أو 2.5.

19. أوجد قيمة log₅ 5¹²:

* باستخدام الخاصية log_b b^x = x.

* log_5 5^{12} = 12.

20. أوجد قيمة log₁₆ 4:

* 4 = 16^{0.5} لأن 16^{0.5} = \sqrt{16} = 4.

* log_{16} 4 = \frac{1}{2} أو 0.5.

21. اكتب المعادلة 3 = 729 logg على الصورة الأسية:

* المعادلة اللوغاريتمية هي log_g 729 = 3.

* الصورة الأسية المقابلة هي: g^3 = 729.

الفصل 2

اختبار منتصف الفصل

الدروس من 1-2 إلى 3-2

مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها: (الدرس 2-1)

f(x) = 3(4)ˣ

f(x) = -(2)ˣ + 5

f(x) = -0.5(3)ˣ⁺² + 4

f(x) = -3(¹/₃)ˣ⁻¹ + 8

علوم: بدأت تجربة مخبرية بـ 6000 خلية بكتيرية، وبعد ساعتين أصبح عددها 28000 خلية. (الدرس 2-2)

اختيار من متعدد: أي الدوال الأسية الآتية يمر تمثيلها البياني بالنقطتين (0, 125) و (3, 1000)؟ (الدرس 2-1)

سكان: كان عدد سكان إحدى المدن 45000 نسمة عام 1995م، وتزايد عددهم ليصبح 68000 نسمة عام 2007م. (الدرس 2-2)

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين: (الدرس 2-2)

11²ˣ⁺¹ = 121³ˣ

3⁴ˣ⁻⁷ = 27²ˣ⁺³

حل كل متباينة مما يأتي، وتحقق من صحة حلك: (الدرس 2-2)

5²ˣ⁺³ ≤ 125

16²ˣ⁺³ < 64

(¹/₃₂)ˣ⁺³ ≥ 16³ˣ

مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا: (الدرس 2-3)

f(x) = 3 log₂(x - 1)

f(x) = -4 log₃(x - 2) + 5

f(x) = 2 + log₄(1 + x)

اختيار من متعدد: ما الصورة اللوغاريتمية للمعادلة 5 = (625)¹/₄ ؟ (الدرس 2-3)

اختيار من متعدد: أي التمثيلات البيانية الآتية هو تمثيل الدالة f(x) = log₃(x + 5) + 3 ؟ (الدرس 2-3)

أوجد قيمة كل مما يأتي: (الدرس 2-3)

log₄ 32

log₅ 5¹²

log₁₆ 4

اكتب المعادلة 3 = 729 logg على الصورة الأسية. (الدرس 2-3)

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية

104

--- SECTION: الفصل 2 --- الفصل 2 --- SECTION: اختبار منتصف الفصل --- اختبار منتصف الفصل --- SECTION: الدروس من 1-2 إلى 3-2 --- الدروس من 1-2 إلى 3-2 --- SECTION: مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها --- مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدد مجالها ومداها: (الدرس 2-1) --- SECTION: 1 --- f(x) = 3(4)ˣ --- SECTION: 2 --- f(x) = -(2)ˣ + 5 --- SECTION: 3 --- f(x) = -0.5(3)ˣ⁺² + 4 --- SECTION: 4 --- f(x) = -3(¹/₃)ˣ⁻¹ + 8 --- SECTION: 5 --- علوم: بدأت تجربة مخبرية بـ 6000 خلية بكتيرية، وبعد ساعتين أصبح عددها 28000 خلية. (الدرس 2-2) --- SECTION: 6 --- اختيار من متعدد: أي الدوال الأسية الآتية يمر تمثيلها البياني بالنقطتين (0, 125) و (3, 1000)؟ (الدرس 2-1) --- SECTION: 7 --- سكان: كان عدد سكان إحدى المدن 45000 نسمة عام 1995م، وتزايد عددهم ليصبح 68000 نسمة عام 2007م. (الدرس 2-2) --- SECTION: حل كلاً من المعادلتين الآتيتين --- حل كلاً من المعادلتين الآتيتين: (الدرس 2-2) --- SECTION: 8 --- 11²ˣ⁺¹ = 121³ˣ --- SECTION: 9 --- 3⁴ˣ⁻⁷ = 27²ˣ⁺³ --- SECTION: حل كل متباينة مما يأتي، وتحقق من صحة حلك --- حل كل متباينة مما يأتي، وتحقق من صحة حلك: (الدرس 2-2) --- SECTION: 10 --- 5²ˣ⁺³ ≤ 125 --- SECTION: 11 --- 16²ˣ⁺³ < 64 --- SECTION: 12 --- (¹/₃₂)ˣ⁺³ ≥ 16³ˣ --- SECTION: مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا --- مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا: (الدرس 2-3) --- SECTION: 13 --- f(x) = 3 log₂(x - 1) --- SECTION: 14 --- f(x) = -4 log₃(x - 2) + 5 --- SECTION: 15 --- f(x) = 2 + log₄(1 + x) --- SECTION: 16 --- اختيار من متعدد: ما الصورة اللوغاريتمية للمعادلة 5 = (625)¹/₄ ؟ (الدرس 2-3) --- SECTION: 17 --- اختيار من متعدد: أي التمثيلات البيانية الآتية هو تمثيل الدالة f(x) = log₃(x + 5) + 3 ؟ (الدرس 2-3) --- SECTION: أوجد قيمة كل مما يأتي --- أوجد قيمة كل مما يأتي: (الدرس 2-3) --- SECTION: 18 --- log₄ 32 --- SECTION: 19 --- log₅ 5¹² --- SECTION: 20 --- log₁₆ 4 --- SECTION: 21 --- اكتب المعادلة 3 = 729 logg على الصورة الأسية. (الدرس 2-3) وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 104 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A logarithmic curve that increases from negative infinity along a vertical asymptote to positive infinity. It has a vertical asymptote at x = -5. X-axis: x Y-axis: f(x) Data: The curve shows an increasing trend, characteristic of a logarithmic function, with a defined vertical asymptote. Context: This graph represents a logarithmic function with a vertical asymptote at x = -5, consistent with the form f(x) = log₃(x + 5) + 3. **GRAPH**: Untitled Description: A logarithmic curve that increases from negative infinity along a vertical asymptote to positive infinity. It has a vertical asymptote at x = 0 (the y-axis). X-axis: x Y-axis: f(x) Data: The curve shows an increasing trend, characteristic of a logarithmic function, with a vertical asymptote at the y-axis. Context: This graph represents a logarithmic function with a vertical asymptote at x = 0. **GRAPH**: Untitled Description: A logarithmic curve that increases from negative infinity along a vertical asymptote to positive infinity. It has a vertical asymptote at x = 0 (the y-axis). This graph is visually identical to Graph B. X-axis: x Y-axis: f(x) Data: The curve shows an increasing trend, characteristic of a logarithmic function, with a vertical asymptote at the y-axis. Context: This graph represents a logarithmic function with a vertical asymptote at x = 0. **GRAPH**: Untitled Description: A logarithmic curve that increases from negative infinity along a vertical asymptote to positive infinity. It has a vertical asymptote at x = 0 (the y-axis). This graph is visually very similar to Graphs B and C, but the x-axis range is slightly different. X-axis: x Y-axis: f(x) Data: The curve shows an increasing trend, characteristic of a logarithmic function, with a vertical asymptote at the y-axis. Context: This graph represents a logarithmic function with a vertical asymptote at x = 0.