--- SECTION: 1 --- - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

الجدول الخاص بالسؤال 11:

| القمة الجبلية | الارتفاع (m) |

|---------------|--------------|

| إفرست | 8850 |

| تريسونتي | 7074 |

| بونيتي | 6872 |

---

ملخص الأسئلة والحلول:

1. log₄ 15:

باستخدام القيم المعطاة: 0.7925 \approx \log₄ 3 و 1.1610 \approx \log₄ 5.

نلاحظ أن 15 = 3 \times 5.

باستخدام خاصية الضرب: \log₄ 15 = \log₄ (3 \times 5) = \log₄ 3 + \log₄ 5.

بالتعويض: \log₄ 15 \approx 0.7925 + 1.1610 = 1.9535.

2. log₄ (5/2):

باستخدام القيم المعطاة: 0.7925 \approx \log₄ 3 و 1.1610 \approx \log₄ 5.

نلاحظ أن \frac{5}{2} = 5 \times 2^{-1}.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: \log₄ \frac{5}{2} = \log₄ 5 + \log₄ 2^{-1} = \log₄ 5 - \log₄ 2.

القيمة \log₄ 2 = 0.5 معطاة في التعليمات اللاحقة.

بالتعويض: \log₄ \frac{5}{2} \approx 1.1610 - 0.5 = 0.6610.

3. log₄ (3/4):

باستخدام القيم المعطاة: 0.7925 \approx \log₄ 3.

نلاحظ أن \frac{3}{4} = 3 \times 4^{-1}.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: \log₄ \frac{3}{4} = \log₄ 3 + \log₄ 4^{-1} = \log₄ 3 - \log₄ 4.

القيمة \log₄ 4 = 1 لأن 4^1 = 4.

بالتعويض: \log₄ \frac{3}{4} \approx 0.7925 - 1 = -0.2075.

4. log₄ 0.6:

باستخدام القيم المعطاة: 0.7925 \approx \log₄ 3 و 1.1610 \approx \log₄ 5.

نلاحظ أن 0.6 = \frac{3}{5}.

باستخدام خاصية القسمة: \log₄ 0.6 = \log₄ 3 - \log₄ 5.

بالتعويض: \log₄ 0.6 \approx 0.7925 - 1.1610 = -0.3685.

5. log₄ 30:

باستخدام القيم المعطاة: 0.5 \approx \log₄ 2 و 1.1610 \approx \log₄ 5.

نلاحظ أن 30 = 2 \times 3 \times 5. نحتاج أيضاً إلى \log₄ 3 \approx 0.7925 من التعليمات السابقة.

باستخدام خاصية الضرب: \log₄ 30 = \log₄ 2 + \log₄ 3 + \log₄ 5.

بالتعويض: \log₄ 30 \approx 0.5 + 0.7925 + 1.1610 = 2.4535.

6. log₄ 20:

باستخدام القيم المعطاة: 0.5 \approx \log₄ 2 و 1.1610 \approx \log₄ 5.

نلاحظ أن 20 = 2^2 \times 5.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: \log₄ 20 = \log₄ (2^2 \times 5) = 2\log₄ 2 + \log₄ 5.

بالتعويض: \log₄ 20 \approx 2(0.5) + 1.1610 = 1 + 1.1610 = 2.1610.

7. log₄ (2/3):

باستخدام القيم المعطاة: 0.5 \approx \log₄ 2 و 0.7925 \approx \log₄ 3.

باستخدام خاصية القسمة: \log₄ \frac{2}{3} = \log₄ 2 - \log₄ 3.

بالتعويض: \log₄ \frac{2}{3} \approx 0.5 - 0.7925 = -0.2925.

8. log₄ (4/3):

باستخدام القيمة المعطاة: 0.7925 \approx \log₄ 3.

نلاحظ أن \frac{4}{3} = 4 \times 3^{-1}.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: \log₄ \frac{4}{3} = \log₄ 4 + \log₄ 3^{-1} = \log₄ 4 - \log₄ 3.

القيمة \log₄ 4 = 1.

بالتعويض: \log₄ \frac{4}{3} \approx 1 - 0.7925 = 0.2075.

9. log₄ 9:

باستخدام القيمة المعطاة: 0.7925 \approx \log₄ 3.

نلاحظ أن 9 = 3^2.

باستخدام خاصية القوة: \log₄ 9 = \log₄ 3^2 = 2\log₄ 3.

بالتعويض: \log₄ 9 \approx 2(0.7925) = 1.5850.

10. log₄ 8:

باستخدام القيمة المعطاة: 0.5 \approx \log₄ 2.

نلاحظ أن 8 = 2^3.

باستخدام خاصية القوة: \log₄ 8 = \log₄ 2^3 = 3\log₄ 2.

بالتعويض: \log₄ 8 \approx 3(0.5) = 1.5.

11. تسلق الجبال:

العلاقة المعطاة هي: a = 15500(5 - \log_{10} P)، حيث a هو الارتفاع بالمتر و P هو الضغط بالباسكال.

لإيجاد الضغط P عند ارتفاع معين، نعيد ترتيب العلاقة:

5 - \log_{10} P = \frac{a}{15500}

\log_{10} P = 5 - \frac{a}{15500}

P = 10^{(5 - \frac{a}{15500})}

باستخدام هذه الصيغة لحساب الضغط لكل قمة:

* إفرست (a=8850):

\log_{10} P = 5 - \frac{8850}{15500} \approx 5 - 0.57097 \approx 4.42903

P \approx 10^{4.42903} \approx 26860 باسكال.

* تريسونتي (a=7074):

\log_{10} P = 5 - \frac{7074}{15500} \approx 5 - 0.45639 \approx 4.54361

P \approx 10^{4.54361} \approx 34970 باسكال.

* بونيتي (a=6872):

\log_{10} P = 5 - \frac{6872}{15500} \approx 5 - 0.44335 \approx 4.55665

P \approx 10^{4.55665} \approx 36040 باسكال.

12. log₅ 25:

نلاحظ أن 25 = 5^2.

بالتالي: \log₅ 25 = \log₅ 5^2 = 2.

13. log₅ 49:

باستخدام القيم المعطاة: 1.2091 \approx \log₅ 7.

نلاحظ أن 49 = 7^2.

باستخدام خاصية القوة: \log₅ 49 = \log₅ 7^2 = 2\log₅ 7.

بالتعويض: \log₅ 49 \approx 2(1.2091) = 2.4182.

14. log₆ 48:

باستخدام القيم المعطاة: 1.1606 \approx \log₆ 8 و 1.465 \approx \log₆ 3.

نلاحظ أن 48 = 8 \times 6. نحتاج أيضاً إلى \log₆ 6 = 1.

باستخدام خاصية الضرب: \log₆ 48 = \log₆ (8 \times 6) = \log₆ 8 + \log₆ 6.

بالتعويض: \log₆ 48 \approx 1.1606 + 1 = 2.1606.

15. log₇ 81:

باستخدام القيم المعطاة: 1.1292 \approx \log₇ 9.

نلاحظ أن 81 = 9^2.

باستخدام خاصية القوة: \log₇ 81 = \log₇ 9^2 = 2\log₇ 9.

بالتعويض: \log₇ 81 \approx 2(1.1292) = 2.2584.

16. log₆ 512:

باستخدام القيم المعطاة: 1.1606 \approx \log₆ 8.

نلاحظ أن 512 = 8^3.

باستخدام خاصية القوة: \log₆ 512 = \log₆ 8^3 = 3\log₆ 8.

بالتعويض: \log₆ 512 \approx 3(1.1606) = 3.4818.

17. log₇ 729:

باستخدام القيم المعطاة: 1.1292 \approx \log₇ 9.

نلاحظ أن 729 = 9^3.

باستخدام خاصية القوة: \log₇ 729 = \log₇ 9^3 = 3\log₇ 9.

بالتعويض: \log₇ 729 \approx 3(1.1292) = 3.3876.

18. log₅ √25:

نلاحظ أن \sqrt{25} = 5.

بالتالي: \log₅ \sqrt{25} = \log₅ 5 = 1.

19. log₅ √32:

نلاحظ أن \sqrt{32} = 32^{1/2} و 32 = 2^5.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: \log₅ \sqrt{32} = \log₅ 32^{1/2} = \frac{1}{2} \log₅ 32.

نحتاج إلى \log₅ 32. بما أن 32 = 2^5، و 2 = 5^{\log₅ 2}، لكن القيمة غير معطاة مباشرة. البيانات غير كافية لحساب قيمة رقمية دقيقة دون معلومات إضافية عن \log₅ 2.

20. 3 log₇ √49:

نلاحظ أن \sqrt{49} = 7.

بالتالي: 3 \log₇ \sqrt{49} = 3 \log₇ 7 = 3(1) = 3.

21. 4 log₂ √8:

نلاحظ أن \sqrt{8} = 8^{1/2} و 8 = 2^3.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: 4 \log₂ \sqrt{8} = 4 \log₂ 8^{1/2} = 4 \times \frac{1}{2} \log₂ 8 = 2 \log₂ 8.

بما أن 8 = 2^3، فإن \log₂ 8 = 3.

بالتالي: 2 \log₂ 8 = 2(3) = 6.

22. 50 log₅ √125:

نلاحظ أن \sqrt{125} = 125^{1/2} و 125 = 5^3.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: 50 \log₅ \sqrt{125} = 50 \log₅ 125^{1/2} = 50 \times \frac{1}{2} \log₅ 125 = 25 \log₅ 125.

بما أن 125 = 5^3، فإن \log₅ 125 = 3.

بالتالي: 25 \log₅ 125 = 25(3) = 75.

23. log₃ √243:

نلاحظ أن \sqrt{243} = 243^{1/2} و 243 = 3^5.

باستخدام خواص اللوغاريتمات: \log₃ \sqrt{243} = \log₃ 243^{1/2} = \frac{1}{2} \log₃ 243.

بما أن 243 = 3^5، فإن \log₃ 243 = 5.

بالتالي: \frac{1}{2} \log₃ 243 = \frac{1}{2}(5) = 2.5.

24. log₉ 6x³y⁵z:

باستخدام خاصية الضرب: \log₉ 6x³y⁵z = \log₉ 6 + \log₉ x³ + \log₉ y⁵ + \log₉ z.

باستخدام خاصية القوة: = \log₉ 6 + 3\log₉ x + 5\log₉ y + \log₉ z.

25. log₁₁ ab⁻⁴c¹²d⁷:

باستخدام خاصية الضرب: \log₁₁ ab⁻⁴c¹²d⁷ = \log₁₁ a + \log₁₁ b⁻⁴ + \log₁₁ c¹² + \log₁₁ d⁷.

باستخدام خاصية القوة: = \log₁₁ a - 4\log₁₁ b + 12\log₁₁ c + 7\log₁₁ d.

26. log₇ h²j¹¹k⁻⁵:

باستخدام خاصية الضرب: \log₇ h²j¹¹k⁻⁵ = \log₇ h² + \log₇ j¹¹ + \log₇ k⁻⁵.

باستخدام خاصية القوة: = 2\log₇ h + 11\log₇ j - 5\log₇ k.

27. log₄ 10t²uv⁻³:

باستخدام خاصية الضرب: \log₄ 10t²uv⁻³ = \log₄ 10 + \log₄ t² + \log₄ u + \log₄ v⁻³.

باستخدام خاصية القوة: = \log₄ 10 + 2\log₄ t + \log₄ u - 3\log₄ v.

28. log₅ a⁶b⁻³c⁴:

باستخدام خاصية الضرب: \log₅ a⁶b⁻³c⁴ = \log₅ a⁶ + \log₅ b⁻³ + \log₅ c⁴.

باستخدام خاصية القوة: = 6\log₅ a - 3\log₅ b + 4\log₅ c.

29. log₂ (3x+2)/√(1-5x):

باستخدام خاصية القسمة: \log₂ \frac{3x+2}{\sqrt{1-5x}} = \log₂ (3x+2) - \log₂ \sqrt{1-5x}.

نلاحظ أن \sqrt{1-5x} = (1-5x)^{1/2}.

باستخدام خاصية القوة: = \log₂ (3x+2) - \frac{1}{2} \log₂ (1-5x).

30. 3 log₅ x - (1/2) log₅ (6-x):

باستخدام خاصية القوة: $$3 \log₅ x - \frac{1}{2} \log₅ (6-x) = \log₅ x³ - \log

30. 3 log₅ x - (1/2) log₅ (6-x):

باستخدام خاصية القوة: 3 \log₅ x - \frac{1}{2} \log₅ (6-x) = \log₅ x³ - \log₅ (6-x)^{1/2}.

باستخدام خاصية القسمة: = \log₅ \frac{x³}{(6-x)^{1/2}} أو \log₅ \frac{x³}{\sqrt{6-x}}.

31. 5 log₇ (2x) - (1/3) log₇ (5x+1):

باستخدام خاصية القوة: 5 \log₇ (2x) - \frac{1}{3} \log₇ (5x+1) = \log₇ (2x)^5 - \log₇ (5x+1)^{1/3}.

= \log₇ (32x⁵) - \log₇ \sqrt[3]{5x+1}.

باستخدام خاصية القسمة: = \log₇ \frac{32x⁵}{\sqrt[3]{5x+1}}.

32. 7 log₃ a + log₃ b - 2 log₃ (8c):

باستخدام خاصية القوة: 7 \log₃ a + \log₃ b - 2 \log₃ (8c) = \log₃ a⁷ + \log₃ b - \log₃ (8c)².

= \log₃ a⁷ + \log₃ b - \log₃ (64c²).

باستخدام خواص الضرب والقسمة معاً: = \log₃ \frac{a⁷ \cdot b}{64c²}.

33. 2 log₈ (9x) - log₈ (2x-5):

باستخدام خاصية القوة: 2 \log₈ (9x) - \log₈ (2x-5) = \log₈ (9x)² - \log₈ (2x-5).

= \log₈ (81x²) - \log₈ (2x-5).

باستخدام خاصية القسمة: = \log₈ \frac{81x²}{2x-5}.

34. 2 log₆ (5a) + log₆ b + 7 log₆ c:

باستخدام خاصية القوة: 2 \log₆ (5a) + \log₆ b + 7 \log₆ c = \log₆ (5a)² + \log₆ b + \log₆ c⁷.

= \log₆ (25a²) + \log₆ b + \log₆ c⁷.

باستخدام خاصية الضرب: = \log₆ (25a² \cdot b \cdot c⁷).

35. log₂ x - log₂ y - 3 log₂ z:

باستخدام خاصية القوة: \log₂ x - \log₂ y - 3 \log₂ z = \log₂ x - \log₂ y - \log₂ z³.

باستخدام خواص القسمة والضرب: = \log₂ \frac{x}{y} - \log₂ z³ = \log₂ \frac{x}{y \cdot z³} أو \log₂ \frac{x}{yz³}.

36. كيمياء:

أ) صيغة ثابت التأين: K_w = [H^+][OH^-].

بأخذ اللوغاريتم للأساس 10 للطرفين: \log_{10} K_w = \log_{10} ([H^+][OH^-]).

باستخدام خاصية الضرب: \log_{10} K_w = \log_{10} [H^+] + \log_{10} [OH^-].

ب) إذا كانت K_w = 1 \times 10^{-14}، فإن:

\log_{10} (1 \times 10^{-14}) = \log_{10} [H^+] + \log_{10} [OH^-].

\log_{10} 1 + \log_{10} 10^{-14} = \log_{10} [H^+] + \log_{10} [OH^-].

0 + (-14) = \log_{10} [H^+] + \log_{10} [OH^-].

\log_{10} [H^+] + \log_{10} [OH^-] = -14.

ج) إذا كان [H^+] = 1 \times 10^{-9} مول/لتر، فإن:

باستخدام العلاقة K_w = [H^+][OH^-] = 1 \times 10^{-14}.

[OH^-] = \frac{K_w}{[H^+]} = \frac{1 \times 10^{-14}}{1 \times 10^{-9}} = 1 \times 10^{-5} مول/لتر.

استعمل 0.7925 ≈ 3 log₄ و 1.1610 ≈ 5 log₄ لتقريب قيمة كل مما يأتي: (المثالان 1, 2)

log₄ 15

log₄ (5/2)

log₄ (3/4)

log₄ 0.6

استعمل 0.5 ≈ 2 log₄ و 1.1610 ≈ 5 log₄ لتقريب قيمة كل مما يأتي: (المثالان 1, 2)

log₄ 30

log₄ 20

log₄ (2/3)

log₄ (4/3)

log₄ 9

log₄ 8

تسلق الجبال: يتناقص الضغط الجوي مع زيادة الارتفاع، ويمكن إيجاد قيمة الضغط الجوي عند الارتفاع a متر باستعمال العلاقة (P = 15500(5 - log₁₀ P = a ، حيث P الضغط بالباسكال. أوجد قيمة الضغط الجوي بالباسكال عند قمم الجبال المذكورة في الجدول أدناه. (مثال 3)

إذا كان 1.1606 ≈ 8 log₅ و 1.2091 ≈ 7 log₅ و 1.465 ≈ 3 log₅ و 1.1292 ≈ 9 log₅ ، فقرب قيمة كل مما يأتي: (مثال 4)

log₅ 25

log₅ 49

log₆ 48

log₇ 81

log₆ 512

log₇ 729

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: (مثال 5)

log₅ √25

log₅ √32

3 log₇ √49

4 log₂ √8

50 log₅ √125

log₃ √243

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المطولة: (مثال 6)

log₉ 6x³y⁵z

log₁₁ ab⁻⁴c¹²d⁷

log₇ h²j¹¹k⁻⁵

log₄ 10t²uv⁻³

log₅ a⁶b⁻³c⁴

log₂ (3x+2)/√(1-5x)

اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المختصرة: (مثال 7)

3 log₅ x - (1/2) log₅ (6-x)

5 log₇ (2x) - (1/3) log₇ (5x+1)

7 log₃ a + log₃ b - 2 log₃ (8c)

2 log₈ (9x) - log₈ (2x-5)

2 log₆ (5a) + log₆ b + 7 log₆ c

log₂ x - log₂ y - 3 log₂ z

كيمياء: ثابت التأين للماء Kw هو حاصل ضرب تركيز أيونات الهيدروجين [H⁺] في تركيز أيونات الهيدروكسيد [OH⁻].

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

110 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية

استعمل 0.7925 ≈ 3 log₄ و 1.1610 ≈ 5 log₄ لتقريب قيمة كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) --- SECTION: 1 --- log₄ 15 --- SECTION: 2 --- log₄ (5/2) --- SECTION: 3 --- log₄ (3/4) --- SECTION: 4 --- log₄ 0.6 استعمل 0.5 ≈ 2 log₄ و 1.1610 ≈ 5 log₄ لتقريب قيمة كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) --- SECTION: 5 --- log₄ 30 --- SECTION: 6 --- log₄ 20 --- SECTION: 7 --- log₄ (2/3) --- SECTION: 8 --- log₄ (4/3) --- SECTION: 9 --- log₄ 9 --- SECTION: 10 --- log₄ 8 --- SECTION: 11 --- تسلق الجبال: يتناقص الضغط الجوي مع زيادة الارتفاع، ويمكن إيجاد قيمة الضغط الجوي عند الارتفاع a متر باستعمال العلاقة (P = 15500(5 - log₁₀ P = a ، حيث P الضغط بالباسكال. أوجد قيمة الضغط الجوي بالباسكال عند قمم الجبال المذكورة في الجدول أدناه. (مثال 3) إذا كان 1.1606 ≈ 8 log₅ و 1.2091 ≈ 7 log₅ و 1.465 ≈ 3 log₅ و 1.1292 ≈ 9 log₅ ، فقرب قيمة كل مما يأتي: (مثال 4) --- SECTION: 12 --- log₅ 25 --- SECTION: 13 --- log₅ 49 --- SECTION: 14 --- log₆ 48 --- SECTION: 15 --- log₇ 81 --- SECTION: 16 --- log₆ 512 --- SECTION: 17 --- log₇ 729 دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: (مثال 5) --- SECTION: 18 --- log₅ √25 --- SECTION: 19 --- log₅ √32 --- SECTION: 20 --- 3 log₇ √49 --- SECTION: 21 --- 4 log₂ √8 --- SECTION: 22 --- 50 log₅ √125 --- SECTION: 23 --- log₃ √243 اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المطولة: (مثال 6) --- SECTION: 24 --- log₉ 6x³y⁵z --- SECTION: 25 --- log₁₁ ab⁻⁴c¹²d⁷ --- SECTION: 26 --- log₇ h²j¹¹k⁻⁵ --- SECTION: 27 --- log₄ 10t²uv⁻³ --- SECTION: 28 --- log₅ a⁶b⁻³c⁴ --- SECTION: 29 --- log₂ (3x+2)/√(1-5x) اكتب كل عبارة لوغاريتمية فيما يأتي بالصورة المختصرة: (مثال 7) --- SECTION: 30 --- 3 log₅ x - (1/2) log₅ (6-x) --- SECTION: 31 --- 5 log₇ (2x) - (1/3) log₇ (5x+1) --- SECTION: 32 --- 7 log₃ a + log₃ b - 2 log₃ (8c) --- SECTION: 33 --- 2 log₈ (9x) - log₈ (2x-5) --- SECTION: 34 --- 2 log₆ (5a) + log₆ b + 7 log₆ c --- SECTION: 35 --- log₂ x - log₂ y - 3 log₂ z --- SECTION: 36 --- كيمياء: ثابت التأين للماء Kw هو حاصل ضرب تركيز أيونات الهيدروجين [H⁺] في تركيز أيونات الهيدروكسيد [OH⁻]. a. أي أن صيغة ثابت التأين للماء هي Kw = [H⁺][OH⁻] حيث تشير الأقواس إلى التركيز بالمول لكل لتر. (a) عبر عن Kw بدلالة log₁₀ [H⁺] و log₁₀ [OH⁻]. b. بسط المعادلة في الفرع a إذا علمت أن قيمة الثابت Kw هي 1 × 10⁻¹⁴. c. إذا كان تركيز أيونات الهيدروجين في عينة من الماء 10⁻⁹ × 1 مول لكل لتر، فما تركيز أيونات الهيدروكسيد؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 110 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: القمة الجبلية والارتفاع (m) Description: A table listing mountain peaks and their corresponding altitudes in meters. Table Structure: Headers: القمة الجبلية | الارتفاع (m) Rows: Row 1: إفرست | 8850 Row 2: تريسونتي | 7074 Row 3: بونيتي | 6872 Calculation needed: The altitudes are used in question 11 to calculate atmospheric pressure using a given logarithmic formula. Data: The table provides three entries for mountain peaks with their altitudes. Context: This table provides the necessary data for solving the real-world application problem in question 11, which involves calculating atmospheric pressure at different altitudes using a logarithmic function. **DIAGRAM**: تأين جزيء الماء Description: A diagram illustrating the autoionization of a water molecule. On the left, an H₂O molecule is shown, labeled 'جزيء ماء غير متأين' (Unionized water molecule). It consists of one large red sphere representing Oxygen (O) bonded to two smaller blue spheres representing Hydrogen (H). An arrow points to the right, indicating the process 'بعد التأين' (After ionization). On the right side, the H₂O molecule has split into two ions: an OH⁻ ion (hydroxide ion) and an H⁺ ion (hydrogen ion). The OH⁻ ion is depicted as a large red sphere (Oxygen) bonded to one small blue sphere (Hydrogen), with a negative charge indicated. It is labeled 'أيون الهيدروكسيد' (Hydroxide ion). The H⁺ ion is depicted as a single small blue sphere (Hydrogen), with a positive charge indicated. It is labeled 'أيون الهيدروجين' (Hydrogen ion). Context: This diagram visually explains the chemical process of water autoionization, which is fundamental to understanding the ionization constant of water (Kw) and solving the related calculations in question 36.