حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

يمكنك استعمال الخاصية الآتية لحل متباينات تتضمن عبارتين لوغاريتميتين لهما الأساس نفسه في كلا الطرفين. استثن من حلّك القيم التي ينتج عن تعويضها في المتباينة الأصلية لأحد اللوغاريتمات لأعداد أقل من أو تساوي الصفر. --- SECTION: مفهوم أساسي --- خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية الرموز: إذا كان 1 < b ، فإن log_b x > log_b y إذا وفقط إذا كان y > x و 0 < x, y. مثال: إذا كان log_6 35 > log_6 x ، فإن 35 > x. تتحقق هذه الخاصية أيضًا إذا احتوت المتباينة رمزي التباين ≤ ، ≥. --- SECTION: مثال 5 --- حل متباينات تتضمن عبارتين لوغاريتميتين لهما الأساس نفسه أوجد مجموعة حل المتباينة (1 + 2x) log₄ > (3 + x) log₄ ، ثم تحقق من صحة حلّك. المتباينة الأساسية log₄ (x + 3) > log₄ (2x + 1) خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية x + 3 > 2x + 1 اطرح 1 + x من كلا الطرفين 2 > x ثم استثن قيم x التي تجعل 0 ≤ 3 + x أو 0 ≤ 1 + 2x أو (x ≤ -3 أو x ≤ -1/2). إذن مجموعة الحل هي {x | -1/2 < x < 2, x ∈ R} التحقق: عوّض بعدد يقع في الفترة (2, -1/2)، وآخر يقع خارج الفترة (2, -1/2). x = 1 log₄ (1+3) > log₄ (2+1) log₄ 4 > log₄ 3 log₄ 4 > log₄ 3 ✓ إذن الحل صحيح. الدالة اللوغاريتمية متزايدة عندما تكون قيمة الأساس أكبر من 1 x = 3 log₄ (3+3) > log₄ (2×3+1) log₄ 6 > log₄ 7 log₄ 6 > log₄ 7 X الدالة اللوغاريتمية متزايدة عندما تكون قيمة الأساس أكبر من 1 --- SECTION: 5 --- 5) أوجد مجموعة حل المتباينة (4 + x) log₅ ≤ (1 + 2x) log₅ ، ثم تحقق من صحة حلّك. وزارة التعليم الدرس 5-2 حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية 115 of 115 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Number Line for Solution Set Description: A horizontal number line illustrating the solution set of the inequality. It shows integers from -4 to 4. There are open circles at -1/2 and 2, indicating these points are not included in the solution. The region between -1/2 and 2 is shaded, representing the interval (-1/2, 2). X-axis: x Y-axis: EMPTY Key Values: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, Open circle at -1/2, Open circle at 2, Shaded region between -1/2 and 2 Context: This number line visually represents the solution set {x | -1/2 < x < 2, x ∈ R} derived from solving the logarithmic inequality in Example 5, showing the valid range for x.