تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص صفحة 116: تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 1)

1. log₈ x = 4/3

الحل: باستخدام الصورة الأسية: x = 8^{4/3} = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16

التحقق: log₈ 16 = log₈ (2^4) = log₈ ((2^3)^{4/3}) = \frac{4}{3}

2. log₁₆ x = 4/3

الحل: باستخدام الصورة الأسية: x = 16^{4/3} = (2^4)^{4/3} = 2^{16/3}

التحقق: log₁₆ (2^{16/3}) = \frac{16/3}{4} = \frac{4}{3}

3. log₈₁ x = 3/4

الحل: باستخدام الصورة الأسية: x = 81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^3 = 27

التحقق: log₈₁ 27 = log₈₁ (3^3) = \frac{3}{4}

4. log₂₅ x = 5/2

الحل: باستخدام الصورة الأسية: x = 25^{5/2} = (5^2)^{5/2} = 5^5 = 3125

التحقق: log₂₅ 3125 = log₂₅ (5^5) = \frac{5}{2}

5. log₈ (1/2) = x

الحل: باستخدام الصورة الأسية: 8^x = \frac{1}{2}

(2^3)^x = 2^{-1}

2^{3x} = 2^{-1}

3x = -1

x = -\frac{1}{3}

التحقق: log₈ (1/2) = log₈ (2^{-1}) = -\frac{1}{3}

6. log₃₆ (1/6) = x

الحل: باستخدام الصورة الأسية: 36^x = \frac{1}{6}

(6^2)^x = 6^{-1}

6^{2x} = 6^{-1}

2x = -1

x = -\frac{1}{2}

التحقق: log₃₆ (1/6) = log₃₆ (6^{-1}) = -\frac{1}{2}

7. log_x 32 = 5/2

الحل: باستخدام الصورة الأسية: x^{5/2} = 32

x^{5/2} = 2^5

(x^{1/2})^5 = 2^5

x^{1/2} = 2

x = 4

التحقق: log₄ 32 = log₄ (2^5) = \frac{5}{2}

8. log_x 27 = 3/2

الحل: باستخدام الصورة الأسية: x^{3/2} = 27

x^{3/2} = 3^3

(x^{1/2})^3 = 3^3

x^{1/2} = 3

x = 9

التحقق: log₉ 27 = log₉ (3^3) = \frac{3}{2}

حل كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (المثالان 3, 2)

9. 5 log₂ x = log₂ 32

الحل: log₂ x^5 = log₂ 32

x^5 = 32

x^5 = 2^5

x = 2

التحقق: 5 log₂ 2 = 5(1) = 5 و log₂ 32 = 5

10. 3 log₂ x = log₂ 8

الحل: log₂ x^3 = log₂ 8

x^3 = 8

x^3 = 2^3

x = 2

التحقق: 3 log₂ 2 = 3(1) = 3 و log₂ 8 = 3

11. log₄ 48 - log₄ n = log₄ 6

الحل: باستخدام خاصية قسمة اللوغاريتمات: log₄ \frac{48}{n} = log₄ 6

\frac{48}{n} = 6

n = 8

التحقق: log₄ 48 - log₄ 8 = log₄ (48/8) = log₄ 6

12. log₃ 2x + log₃ 7 = log₃ 28

الحل: باستخدام خاصية ضرب اللوغاريتمات: log₃ (2x \cdot 7) = log₃ 28

log₃ (14x) = log₃ 28

14x = 28

x = 2

التحقق: log₃ (2*2) + log₃ 7 = log₃ 4 + log₃ 7 = log₃ 28

13. log₂ (4x) + log₂ 5 = log₂ 40

الحل: باستخدام خاصية ضرب اللوغاريتمات: log₂ (4x \cdot 5) = log₂ 40

log₂ (20x) = log₂ 40

20x = 40

x = 2

التحقق: log₂ (4*2) + log₂ 5 = log₂ 8 + log₂ 5 = log₂ 40

14. log₇ (x-3) + log₇ (x-2) = log₇ (2x+24)

الحل: باستخدام خاصية ضرب اللوغاريتمات: log₇ [(x-3)(x-2)] = log₇ (2x+24)

(x-3)(x-2) = 2x + 24

x^2 - 5x + 6 = 2x + 24

x^2 - 7x - 18 = 0

(x-9)(x+2) = 0

x = 9 أو x = -2

نستبعد x = -2 لأنه يجعل (x-3) = -5 و (x-2) = -4 (قيم سالبة داخل اللوغاريتم).

الحل المقبول: x = 9

التحقق: log₇ (9-3) + log₇ (9-2) = log₇ 6 + log₇ 7 = log₇ 42 و log₇ (2*9+24) = log₇ 42

15. log₂ n = (1/3) log₂ 27 + log₂ 36

الحل: log₂ n = log₂ 27^{1/3} + log₂ 36

log₂ n = log₂ 3 + log₂ 36

log₂ n = log₂ (3 \cdot 36)

log₂ n = log₂ 108

n = 108

التحقق: (1/3) log₂ 27 + log₂ 36 = log₂ 3 + log₂ 36 = log₂ 108

16. 3 log₁₀ 8 - (1/2) log₁₀ 36 = log₁₀ x

الحل: log₁₀ 8^3 - log₁₀ 36^{1/2} = log₁₀ x

log₁₀ 512 - log₁₀ 6 = log₁₀ x

log₁₀ \frac{512}{6} = log₁₀ x

log₁₀ \frac{256}{3} = log₁₀ x

x = \frac{256}{3}

التحقق: 3 log₁₀ 8 - (1/2) log₁₀ 36 = log₁₀ 512 - log₁₀ 6 = log₁₀ (512/6) = log₁₀ (256/3)

أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 4)

17. log₅ x > 3

الحل: باستخدام الصورة الأسية (لأن الأساس 5 > 1): x > 5^3

x > 125

مجموعة الحل: \{ x | x > 125, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 126 : log₅ 126 > log₅ 125 = 3 (صحيح). عوض بـ x = 125 : log₅ 125 = 3 (غير محقق).

18. log₈ x ≤ -2

الحل: باستخدام الصورة الأسية (لأن الأساس 8 > 1): x ≤ 8^{-2}

x ≤ \frac{1}{64}

مع مراعاة أن x > 0 (شرط اللوغاريتم).

مجموعة الحل: \{ x | 0 < x ≤ \frac{1}{64}, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 1/64 : log₈ (1/64) = -2 (محقق). عوض بـ x = 1/128 : log₈ (1/128) < -2 (محقق). عوض بـ x = 1 : log₈ 1 = 0 (غير محقق).

19. log₆ x < -3

الحل: باستخدام الصورة الأسية (لأن الأساس 6 > 1): x < 6^{-3}

x < \frac{1}{216}

مع مراعاة أن x > 0 .

مجموعة الحل: \{ x | 0 < x < \frac{1}{216}, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 1/216 : log₆ (1/216) = -3 (غير محقق). عوض بـ x = 1/300 : log₆ (1/300) < -3 (صحيح).

20. log₄ x ≥ 4

الحل: باستخدام الصورة الأسية (لأن الأساس 4 > 1): x ≥ 4^4

x ≥ 256

مجموعة الحل: \{ x | x ≥ 256, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 256 : log₄ 256 = 4 (محقق). عوض بـ x = 300 : log₄ 300 > 4 (صحيح).

21. log₃ x ≥ -4

الحل: باستخدام الصورة الأسية (لأن الأساس 3 > 1): x ≥ 3^{-4}

x ≥ \frac{1}{81}

مع مراعاة أن x > 0 .

مجموعة الحل: \{ x | x ≥ \frac{1}{81}, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 1/81 : log₃ (1/81) = -4 (محقق). عوض بـ x = 1 : log₃ 1 = 0 (محقق).

22. log₂ x ≤ -2

الحل: باستخدام الصورة الأسية (لأن الأساس 2 > 1): x ≤ 2^{-2}

x ≤ \frac{1}{4}

مع مراعاة أن x > 0 .

مجموعة الحل: \{ x | 0 < x ≤ \frac{1}{4}, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 1/4 : log₂ (1/4) = -2 (محقق). عوض بـ x = 1/8 : log₂ (1/8) = -3 (محقق). عوض بـ x = 1 : log₂ 1 = 0 (غير محقق).

أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 5)

23. log₄ (2x + 5) ≤ log₄ (4x - 3)

الحل: باستخدام خاصية التباين (لأن الأساس 4 > 1): 2x + 5 ≤ 4x - 3

5 + 3 ≤ 4x - 2x

8 ≤ 2x

x ≥ 4

نأخذ في الاعتبار شروط اللوغاريتم:

2x + 5 > 0 \Rightarrow x > -2.5

4x - 3 > 0 \Rightarrow x > 0.75

تقاطع هذه الشروط مع x ≥ 4 يعطي: x ≥ 4

مجموعة الحل: \{ x | x ≥ 4, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 4 : log₄ (13) ≤ log₄ (13) (محقق). عوض بـ x = 5 : log₄ (15) ≤ log₄ (17) (صحيح). عوض بـ x = 3 : log₄ (11) ≤ log₄ (9) (غير صحيح).

24. log₈ (2x) > log₈ (6x - 8)

الحل: باستخدام خاصية التباين (لأن الأساس 8 > 1): 2x > 6x - 8

8 > 4x

x < 2

نأخذ في الاعتبار شروط اللوغاريتم:

2x > 0 \Rightarrow x > 0

6x - 8 > 0 \Rightarrow x > 4/3

تقاطع هذه الشروط مع x < 2 يعطي: \frac{4}{3} < x < 2

مجموعة الحل: \{ x | \frac{4}{3} < x < 2, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 1.5 : log₈ (3) > log₈ (1) (صحيح). عوض بـ x = 1 : log₈ (2) > log₈ (-2) (غير معرف). عوض بـ x = 2.5 : log₈ (5) > log₈ (7) (غير صحيح).

25. log₂ (4x - 6) > log₂ (2x + 8)

الحل: باستخدام خاصية التباين (لأن الأساس 2 > 1): 4x - 6 > 2x + 8

2x > 14

x > 7

نأخذ في الاعتبار شروط اللوغاريتم:

4x - 6 > 0 \Rightarrow x > 1.5

2x + 8 > 0 \Rightarrow x > -4

تقاطع هذه الشروط مع x > 7 يعطي: x > 7

مجموعة الحل: \{ x | x > 7, x \in \mathbb{R} \}

التحقق: عوض بـ x = 8 : log₂ (26) > log₂ (24) (صحيح). عوض بـ x = 6 : log₂ (18) > log₂ (20) (غير صحيح).

26. log₇ (x + 2) ≥ log₇ (6x - 3)

الحل: باستخدام خاصية التباين (لأن الأساس 7 > 1): x + 2 ≥ 6x - 3

2 + 3 ≥ 6x - x

5 ≥ 5x

x ≤ 1

نأخذ في الاعتبار شروط اللوغاريتم:

x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2

6x - 3 > 0 \Rightarrow x > 0.5

تقاطع هذه الشروط مع x ≤ 1 يعطي: 0.5 < x ≤ 1

مجموعة الحل: $$ \{ x | 0.5 < x ≤ 1, x \in \mathbb

27. صوت: يعطى ارتفاع الصوت L بالصيغة L = 10 \log_{10} R ، حيث R هي شدة الصوت. احسب شدة صوت منبه ارتفاع صوته 80 ديسيبل.

الحل: 80 = 10 \log_{10} R

8 = \log_{10} R

R = 10^8

شدة الصوت: 10^8

28. علوم: تُقاس قوة الهزات الأرضية بمقياس لوغاريتمي ذي درجات يُسمى مقياس ريختر، وتُعطى قوة الهزة الأرضية M بالمعادلة M = 1 + \log_{10} x ، حيث x تمثل شدة الهزة الأرضية.

a) كم تبلغ شدة هزة أرضية سجلت 7 درجات على مقياس ريختر؟

b) كم مرة تبلغ شدة هزة أرضية قوتها 8 درجات بمقياس ريختر مقارنة بشدة هزة أرضية قوتها 5 درجات على المقياس نفسه؟

⚠️ تحليل الحلول:

البيانات المقدمة لا تحتوي على حلول طلابية (لينا أو ريم) لتقييمها. لذلك، لا يمكن تحديد من لديه الحل الصحيح أو شرح الخطأ. لحل هذا السؤال، يلزم وجود الحلول المقترحة من الطلاب كما هو مطلوب في التعليمات.

29. تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة العلاقة بين الدالتين y = \log x و y = \log_{1/4} x .

a) تحليليًا: قارن بين منحنيي الدالتين من حيث خطوط التقارب ومقاطع المحور x؟

b) لفظيًا: صف العلاقة بين منحنيي الدالتين.

c) تحليليًا: صف العلاقة بين كل من الدالتين y = \log_4 x و y = -1(\log_4 x) وما مجال ومدى كل منهما؟

⚠️ تحليل الحلول:

البيانات المقدمة تحتوي على وصف للرسم البياني ولكنها لا تحتوي على حلول طلابية (لينا أو ريم) لتقييمها. لذلك، لا يمكن تحديد من لديه الحل الصحيح أو شرح الخطأ. لحل هذا السؤال، يلزم وجود الحلول المقترحة من الطلاب كما هو مطلوب في التعليمات.

30. علوم: تُعطى سرعة الرياح w بالميل لكل ساعة قرب مركز الإعصار بالمعادلة w = 93 \log_{10} d + 65 ، حيث d المسافة التي يقطعها الإعصار بالميل.

a) اكتب المعادلة بصورة أسية.

الحل: لإعادة كتابة المعادلة بصورة أسية، نعزل حد اللوغاريتم:

w = 93 \log_{10} d + 65

w - 65 = 93 \log_{10} d

\frac{w - 65}{93} = \log_{10} d

الصورة الأسية: d = 10^{\frac{w - 65}{93}}

b) ما سرعة الرياح قرب مركز إعصار قطع مسافة 525 ميلاً؟

الحل: عوض d = 525 في المعادلة الأصلية:

w = 93 \log_{10} 525 + 65

w ≈ 93 (2.720) + 65

w ≈ 252.96 + 65

w ≈ 317.96

سرعة الرياح ≈ 318 ميلاً في الساعة.

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 1)

1. log_8 x = 4/3

2. log_16 x = 4/3

3. log_81 x = 3/4

4. log_25 x = 5/2

5. log_8 (1/2) = x

6. log_36 (1/6) = x

7. log_x 32 = 5/2

8. log_x 27 = 3/2

حل كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (المثالان 3, 2)

9. 5 log_2 x = log_2 32

10. 3 log_2 x = log_2 8

11. log_4 48 - log_4 n = log_4 6

12. log_3 2x + log_3 7 = log_3 28

13. log_2 (4x) + log_2 5 = log_2 40

14. log_7 (x-3) + log_7 (x-2) = log_7 (2x+24)

15. log_2 n = (1/3) log_2 27 + log_2 36

16. 3 log_10 8 - (1/2) log_10 36 = log_10 x

أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 4)

17. log_5 x > 3

18. log_8 x <= -2

19. log_6 x < -3

20. log_4 x >= 4

21. log_3 x >= -4

22. log_2 x <= -2

أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 5)

23. log_4 (2x + 5) <= log_4 (4x - 3)

24. log_8 (2x) > log_8 (6x - 8)

25. log_2 (4x - 6) > log_2 (2x + 8)

26. log_7 (x + 2) >= log_7 (6x - 3)

27. صوت: يعطى ارتفاع الصوت L بالصيغة R L=10log_10 ، حيث R هي شدة الصوت. احسب شدة صوت منبه ارتفاع صوته 80 ديسيبل.

28. علوم: تُقاس قوة الهزات الأرضية بمقياس لوغاريتمي ذي درجات يُسمى مقياس ريختر، وتُعطى قوة الهزة الأرضية M بالمعادلة x M = 1 + log_10 ، حيث x تمثل شدة الهزة الأرضية. a) كم تبلغ شدة هزة أرضية سجلت 7 درجات على مقياس ريختر؟ b) كم مرة تبلغ شدة هزة أرضية قوتها 8 درجات بمقياس ريختر مقارنة بشدة هزة أرضية قوتها 5 درجات على المقياس نفسه؟

29. تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة العلاقة بين الدالتين y = log x و y = log_1/4 x . a) تحليليًا: قارن بين منحنيي الدالتين من حيث خطوط التقارب ومقاطع المحور x؟ b) لفظيًا: صف العلاقة بين منحنيي الدالتين. c) تحليليًا: صف العلاقة بين كل من الدالتين y = log_4 x و y = -1(log_4 x) وما مجال ومدى كل منهما؟

30. علوم: تُعطى سرعة الرياح w بالميل لكل ساعة قرب مركز الإعصار بالمعادلة d w = 93 log_10 + 65 ، حيث d المسافة التي يقطعها الإعصار بالميل. a) اكتب المعادلة بصورة أسية. b) ما سرعة الرياح قرب مركز إعصار قطع مسافة 525 ميلاً؟

116 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية

Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: حل المعادلات --- حل كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- 1. log_8 x = 4/3 --- SECTION: 2 --- 2. log_16 x = 4/3 --- SECTION: 3 --- 3. log_81 x = 3/4 --- SECTION: 4 --- 4. log_25 x = 5/2 --- SECTION: 5 --- 5. log_8 (1/2) = x --- SECTION: 6 --- 6. log_36 (1/6) = x --- SECTION: 7 --- 7. log_x 32 = 5/2 --- SECTION: 8 --- 8. log_x 27 = 3/2 --- SECTION: حل المعادلات --- حل كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (المثالان 3, 2) --- SECTION: 9 --- 9. 5 log_2 x = log_2 32 --- SECTION: 10 --- 10. 3 log_2 x = log_2 8 --- SECTION: 11 --- 11. log_4 48 - log_4 n = log_4 6 --- SECTION: 12 --- 12. log_3 2x + log_3 7 = log_3 28 --- SECTION: 13 --- 13. log_2 (4x) + log_2 5 = log_2 40 --- SECTION: 14 --- 14. log_7 (x-3) + log_7 (x-2) = log_7 (2x+24) --- SECTION: 15 --- 15. log_2 n = (1/3) log_2 27 + log_2 36 --- SECTION: 16 --- 16. 3 log_10 8 - (1/2) log_10 36 = log_10 x --- SECTION: حل المتباينات --- أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 4) --- SECTION: 17 --- 17. log_5 x > 3 --- SECTION: 18 --- 18. log_8 x <= -2 --- SECTION: 19 --- 19. log_6 x < -3 --- SECTION: 20 --- 20. log_4 x >= 4 --- SECTION: 21 --- 21. log_3 x >= -4 --- SECTION: 22 --- 22. log_2 x <= -2 --- SECTION: حل المتباينات --- أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك: (مثال 5) --- SECTION: 23 --- 23. log_4 (2x + 5) <= log_4 (4x - 3) --- SECTION: 24 --- 24. log_8 (2x) > log_8 (6x - 8) --- SECTION: 25 --- 25. log_2 (4x - 6) > log_2 (2x + 8) --- SECTION: 26 --- 26. log_7 (x + 2) >= log_7 (6x - 3) --- SECTION: 27 --- 27. صوت: يعطى ارتفاع الصوت L بالصيغة R L=10log_10 ، حيث R هي شدة الصوت. احسب شدة صوت منبه ارتفاع صوته 80 ديسيبل. --- SECTION: 28 --- 28. علوم: تُقاس قوة الهزات الأرضية بمقياس لوغاريتمي ذي درجات يُسمى مقياس ريختر، وتُعطى قوة الهزة الأرضية M بالمعادلة x M = 1 + log_10 ، حيث x تمثل شدة الهزة الأرضية. a) كم تبلغ شدة هزة أرضية سجلت 7 درجات على مقياس ريختر؟ b) كم مرة تبلغ شدة هزة أرضية قوتها 8 درجات بمقياس ريختر مقارنة بشدة هزة أرضية قوتها 5 درجات على المقياس نفسه؟ a. كم تبلغ شدة هزة أرضية سجلت 7 درجات على مقياس ريختر؟ b. كم مرة تبلغ شدة هزة أرضية قوتها 8 درجات بمقياس ريختر مقارنة بشدة هزة أرضية قوتها 5 درجات على المقياس نفسه؟ --- SECTION: 29 --- 29. تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة العلاقة بين الدالتين y = log x و y = log_1/4 x . a) تحليليًا: قارن بين منحنيي الدالتين من حيث خطوط التقارب ومقاطع المحور x؟ b) لفظيًا: صف العلاقة بين منحنيي الدالتين. c) تحليليًا: صف العلاقة بين كل من الدالتين y = log_4 x و y = -1(log_4 x) وما مجال ومدى كل منهما؟ a. تحليليًا: قارن بين منحنيي الدالتين من حيث خطوط التقارب ومقاطع المحور x؟ b. لفظيًا: صف العلاقة بين منحنيي الدالتين. c. تحليليًا: صف العلاقة بين كل من الدالتين y = log_4 x و y = -1(log_4 x) وما مجال ومدى كل منهما؟ --- SECTION: 30 --- 30. علوم: تُعطى سرعة الرياح w بالميل لكل ساعة قرب مركز الإعصار بالمعادلة d w = 93 log_10 + 65 ، حيث d المسافة التي يقطعها الإعصار بالميل. a) اكتب المعادلة بصورة أسية. b) ما سرعة الرياح قرب مركز إعصار قطع مسافة 525 ميلاً؟ a. اكتب المعادلة بصورة أسية. b. ما سرعة الرياح قرب مركز إعصار قطع مسافة 525 ميلاً؟ --- SECTION: Page Footer --- 116 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية --- SECTION: Ministry of Education Logo --- Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Graph 110 Description: The graph displays two logarithmic functions. Both functions pass through the point (1, 0). The y-axis (x=0) acts as a vertical asymptote for both curves. f1(x) is an increasing function, while f2(x) is a decreasing function. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows two logarithmic curves. f1(x) starts from negative infinity near x=0 and increases towards positive infinity. f2(x) starts from positive infinity near x=0 and decreases towards negative infinity. Both curves intersect at (1,0). Context: This graph illustrates the behavior of logarithmic functions with different bases. f1(x) has a base greater than 1 (implied base 10 or e), showing increasing behavior. f2(x) has a base between 0 and 1 (1/4), showing decreasing behavior. Both share a common x-intercept at (1,0) and a vertical asymptote at x=0.