تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص الصفحة 122

استعمال صيغة تغيير الأساس

يتم عرض تطبيق عملي لصيغة تغيير الأساس في سياق تحليل الخوارزميات الحاسوبية.

مثال 6: حواسيب

الزمن اللازم بالثواني (R) لتحليل خوارزمية مكونة من n خطوة يُعطى بالصيغة: R = \log_2 n.

لتحديد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة:

عوّض n = 240 في الصيغة: R = \log_2 240.

طبّق صيغة تغيير الأساس لتحويل اللوغاريتم إلى الأساس 10: R = \frac{\log 240}{\log 2}.

باستخدام الحاسبة: R \approx 7.9 ثانية.

تحقق من فهمك

6. حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 160 خطوة.

* الصيغة: R = \log_2 160.

* بتطبيق صيغة تغيير الأساس: R = \frac{\log 160}{\log 2}.

* باستخدام الحاسبة: R \approx 7.3219 ثانية.

تدرب وحل المسائل

استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف:

1. \log 5

* باستخدام الحاسبة: \log 5 \approx 0.6990.

2. \log 21

* باستخدام الحاسبة: \log 21 \approx 1.3222.

3. \log 0.4

* باستخدام الحاسبة: \log 0.4 \approx -0.3979.

4. \log 3

* باستخدام الحاسبة: \log 3 \approx 0.4771.

5. \log 11

* باستخدام الحاسبة: \log 11 \approx 1.0414.

6. \log 3.2

* باستخدام الحاسبة: \log 3.2 \approx 0.5051.

7. \log 8.2

* باستخدام الحاسبة: \log 8.2 \approx 0.9138.

8. \log 0.9

* باستخدام الحاسبة: \log 0.9 \approx -0.0458.

9. \log 0.04

* باستخدام الحاسبة: \log 0.04 \approx -1.3979.

10. علوم: ترتبط كمية الطاقة E (بالإيرج) التي تطلقها الأرض مع قوة الهزة M (على مقياس ريختر) بالمعادلة: \log E = 11.8 + 1.5M. أوجد كمية الطاقة عند هزة أرضية بقوة 8.5 درجات.

* عوّض M = 8.5 في المعادلة: \log E = 11.8 + 1.5(8.5).

* احسب: \log E = 11.8 + 12.75 = 24.55.

* حول إلى الصورة الأسية: E = 10^{24.55}.

* باستخدام الحاسبة: E \approx 3.5481 \times 10^{24} إيرج.

11. صوت: ارتفاع الصوت L (بالديسيبل) يُعطى بالعلاقة: L = 10 \log (\frac{I}{m})، حيث I شدة الصوت، و m = 1 (أدنى شدة صوت مسموعة).

* أ) قبل إغلاق النوافذ: L = 85 dB.

* المعادلة: 85 = 10 \log I.

* اقسم على 10: 8.5 = \log I.

* الصورة الأسية: I = 10^{8.5}.

* باستخدام الحاسبة: I \approx 316227766.

* شدة الصوت قبل الإغلاق تساوي تقريباً 3.16 \times 10^8 مرة من شدة أدنى صوت.

* ب) بعد إغلاق النوافذ: L = 73 dB.

* المعادلة: 73 = 10 \log I.

* اقسم على 10: 7.3 = \log I.

* الصورة الأسية: I = 10^{7.3}.

* باستخدام الحاسبة: I \approx 19952623.

* شدة الصوت بعد الإغلاق تساوي تقريباً 2.00 \times 10^7 مرة من شدة أدنى صوت.

* نسبة انخفاض شدة الصوت = \frac{3.16 \times 10^8}{2.00 \times 10^7} \approx 15.81 مرة.

حل كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف:

12. 6^x = 40

* خذ اللوغاريتم للطرفين: \log 6^x = \log 40.

* طبّق خاصية القوة: x \log 6 = \log 40.

* حل من أجل x: x = \frac{\log 40}{\log 6}.

* باستخدام الحاسبة: x \approx 2.0588.

13. 2.1^a + 2 = 8.25

* اطرح 2 من الطرفين: 2.1^a = 6.25.

* خذ اللوغاريتم للطرفين: \log 2.1^a = \log 6.25.

* طبّق خاصية القوة: a \log 2.1 = \log 6.25.

* حل من أجل a: a = \frac{\log 6.25}{\log 2.1}.

* باستخدام الحاسبة: a \approx 2.5006.

14. 7^{x^2} = 20.42

* خذ اللوغاريتم للطرفين: \log 7^{x^2} = \log 20.42.

* طبّق خاصية القوة: x^2 \log 7 = \log 20.42.

* حل من أجل x^2: x^2 = \frac{\log 20.42}{\log 7}.

* باستخدام الحاسبة: x^2 \approx \frac{1.3100}{0.8451} \approx 1.5500.

* خذ الجذر التربيعي: x \approx \pm \sqrt{1.5500} \approx \pm 1.2448.

15. 11^b - 3 = 5^b

* أضف 3 للطرفين: 11^b = 5^b + 3.

* هذه المعادلة لا يمكن حلها جبرياً بسهولة باستخدام اللوغاريتمات البسيطة. يتطلب حلها استخدام طرق عددية (مثل التجريب والخطأ أو الحاسبة الرسومية) غير موضحة في نص السؤال. البيانات غير كافية للحل بالطريقة المطلوبة.

16. 8^x = 40

* خذ اللوغاريتم للطرفين: \log 8^x = \log 40.

* طبّق خاصية القوة: x \log 8 = \log 40.

* حل من أجل x: x = \frac{\log 40}{\log 8}.

* باستخدام الحاسبة: x \approx 1.7740.

17. 9^b - 1 = 7^b

* أضف 1 للطرفين: 9^b = 7^b + 1.

* هذه المعادلة لا يمكن حلها جبرياً بسهولة باستخدام اللوغاريتمات البسيطة. يتطلب حلها استخدام طرق عددية غير موضحة في نص السؤال. البيانات غير كافية للحل بالطريقة المطلوبة.

18. 15^{x^2} = 110

* خذ اللوغاريتم للطرفين: \log 15^{x^2} = \log 110.

* طبّق خاصية القوة: x^2 \log 15 = \log 110.

* حل من أجل x^2: x^2 = \frac{\log 110}{\log 15}.

* باستخدام الحاسبة: x^2 \approx \frac{2.0414}{1.1761} \approx 1.7357.

* خذ الجذر التربيعي: x \approx \pm \sqrt{1.7357} \approx \pm 1.3174.

19. 2^y = \sqrt{3y - 1}

* هذه المعادلة أسية-جذرية ولا يمكن حلها بالطرق الجبرية البسيطة الموضحة. يتطلب حلها استخدام طرق عددية أو رسومية غير موضحة في نص السؤال. البيانات غير كافية للحل بالطريقة المطلوبة.

استعمال صيغة تغيير الأساس

مثال 6 حواسيب: البرامج الحاسوبية عبارة عن مجموعة من التعليمات تسمى خوارزميات، ولتنفيذ مهمة في برنامج حاسوبي يجب تحليل ترميز الخوارزمية، ويعطى الزمن اللازم بالثواني R لتحليل خوارزمية مكونة من n خطوة بالصيغة R = log₂ n . استعملا صيغة تغيير الأساس حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة. المعادلة الأصلية R = log₂ n n = 240 = log₂ 240 صيغة تغيير الأساس = log 240 / log 2 بسط ≈ 7.9 الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة يساوي 7.9 ثوان تقريبًا.

تحقق من فهمك

6) حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 160 خطوة.

تدرب وحل المسائل

استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 1)

log 5 (1

log 21 (2

log 0.4 (3

log 3 (4

log 11 (5

log 3.2 (6

log 8.2 (7

log 0.9 (8

log 0.04 (9

10) علوم: ترتبط كمية الطاقة E المقيسة بوحدة الإيرج التي تطلقها الأرض مع قوة الهزة على مقياس ريختر M بالمعادلة log E = 11.8 + 1.5M . استعمل المعادلة لإيجاد كمية الطاقة التي تطلقها الأرض عند هزة أرضية بقوة 8.5 درجات على مقياس ريختر. (مثال 2)

11) صوت: أغلقت حسن نوافذ سيارته فانخفضت ارتفاع الصوت من 85dB إلى 73dB. إذا علمت أن ارتفاع الصوت L بالديسيبل يُعطى بالعلاقة L = 10 log (I/m) حيث I شدة الصوت، m أدنى حد من شدة الصوت تسمعها أذن الإنسان. (مثال 2)

حل كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 3)

12) 6ˣ = 40

13) 2.1ᵃ + 2 = 8.25

14) 7ˣ² = 20.42

15) 11ᵇ - 3 = 5ᵇ

16) 8ˣ = 40

17) 9ᵇ - 1 = 7ᵇ

18) 15ˣ² = 110

19) 2ʸ = √3y - 1

الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية

122

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

استعمال صيغة تغيير الأساس --- SECTION: مثال 6 --- مثال 6 حواسيب: البرامج الحاسوبية عبارة عن مجموعة من التعليمات تسمى خوارزميات، ولتنفيذ مهمة في برنامج حاسوبي يجب تحليل ترميز الخوارزمية، ويعطى الزمن اللازم بالثواني R لتحليل خوارزمية مكونة من n خطوة بالصيغة R = log₂ n . استعملا صيغة تغيير الأساس حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة. المعادلة الأصلية R = log₂ n n = 240 = log₂ 240 صيغة تغيير الأساس = log 240 / log 2 بسط ≈ 7.9 الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة يساوي 7.9 ثوان تقريبًا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 6 --- 6) حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 160 خطوة. --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 1) --- استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- log 5 (1 --- SECTION: 2 --- log 21 (2 --- SECTION: 3 --- log 0.4 (3 --- SECTION: 4 --- log 3 (4 --- SECTION: 5 --- log 11 (5 --- SECTION: 6 --- log 3.2 (6 --- SECTION: 7 --- log 8.2 (7 --- SECTION: 8 --- log 0.9 (8 --- SECTION: 9 --- log 0.04 (9 --- SECTION: 10 --- 10) علوم: ترتبط كمية الطاقة E المقيسة بوحدة الإيرج التي تطلقها الأرض مع قوة الهزة على مقياس ريختر M بالمعادلة log E = 11.8 + 1.5M . استعمل المعادلة لإيجاد كمية الطاقة التي تطلقها الأرض عند هزة أرضية بقوة 8.5 درجات على مقياس ريختر. (مثال 2) --- SECTION: 11 --- 11) صوت: أغلقت حسن نوافذ سيارته فانخفضت ارتفاع الصوت من 85dB إلى 73dB. إذا علمت أن ارتفاع الصوت L بالديسيبل يُعطى بالعلاقة L = 10 log (I/m) حيث I شدة الصوت، m أدنى حد من شدة الصوت تسمعها أذن الإنسان. (مثال 2) --- SECTION: حل كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 3) --- حل كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 3) --- SECTION: 12 --- 12) 6ˣ = 40 --- SECTION: 13 --- 13) 2.1ᵃ + 2 = 8.25 --- SECTION: 14 --- 14) 7ˣ² = 20.42 --- SECTION: 15 --- 15) 11ᵇ - 3 = 5ᵇ --- SECTION: 16 --- 16) 8ˣ = 40 --- SECTION: 17 --- 17) 9ᵇ - 1 = 7ᵇ --- SECTION: 18 --- 18) 15ˣ² = 110 --- SECTION: 19 --- 19) 2ʸ = √3y - 1 --- SECTION: الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية --- الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية --- SECTION: 122 --- 122 --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: وزارة التعليم Description: Logo of the Ministry of Education with Arabic and English text 'وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447'. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: N/A Context: Non-educational branding element.