حل كلاً مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 4) - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص الأسئلة والحلول

20. حل المتباينة 5^{4n} > 33 وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

لحل المتباينة الأسية، نأخذ اللوغاريتم العشري للطرفين:

5^{4n} > 33

\log(5^{4n}) > \log(33)

4n \cdot \log(5) > \log(33)

n > \frac{\log(33)}{4 \cdot \log(5)}

باستخدام الحاسبة:

\log(33) \approx 1.5185

\log(5) \approx 0.6990

n > \frac{1.5185}{4 \times 0.6990} \approx \frac{1.5185}{2.796} \approx 0.5431

الحل: n > 0.5431 تقريباً.

---

21. حل المتباينة 6^{p-1} \le 4^p وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

\log(6^{p-1}) \le \log(4^p)

(p-1) \cdot \log(6) \le p \cdot \log(4)

p \cdot \log(6) - \log(6) \le p \cdot \log(4)

p \cdot \log(6) - p \cdot \log(4) \le \log(6)

p (\log(6) - \log(4)) \le \log(6)

p \cdot \log\left(\frac{6}{4}\right) \le \log(6)

p \cdot \log(1.5) \le \log(6)

p \le \frac{\log(6)}{\log(1.5)}

باستخدام الحاسبة:

\log(6) \approx 0.7782

\log(1.5) \approx 0.1761

p \le \frac{0.7782}{0.1761} \approx 4.4197

الحل: p \le 4.4197 تقريباً.

---

22. حل المتباينة 3^{y-1} \le 4^y وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

\log(3^{y-1}) \le \log(4^y)

(y-1) \cdot \log(3) \le y \cdot \log(4)

y \cdot \log(3) - \log(3) \le y \cdot \log(4)

y \cdot \log(3) - y \cdot \log(4) \le \log(3)

y (\log(3) - \log(4)) \le \log(3)

y \cdot \log\left(\frac{3}{4}\right) \le \log(3)

y \cdot \log(0.75) \le \log(3)

لاحظ أن \log(0.75) قيمة سالبة (≈ -0.1249)، لذا عند القسمة عليها تنعكس إشارة المتباينة:

y \ge \frac{\log(3)}{\log(0.75)}

باستخدام الحاسبة:

\log(3) \approx 0.4771

\log(0.75) \approx -0.1249

y \ge \frac{0.4771}{-0.1249} \approx -3.8207

الحل: y \ge -3.8207 تقريباً.

---

23. حل المتباينة 5^{p-2} \ge 2^p وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

\log(5^{p-2}) \ge \log(2^p)

(p-2) \cdot \log(5) \ge p \cdot \log(2)

p \cdot \log(5) - 2\log(5) \ge p \cdot \log(2)

p \cdot \log(5) - p \cdot \log(2) \ge 2\log(5)

p (\log(5) - \log(2)) \ge 2\log(5)

p \cdot \log\left(\frac{5}{2}\right) \ge 2\log(5)

p \cdot \log(2.5) \ge 2\log(5)

p \ge \frac{2\log(5)}{\log(2.5)}

باستخدام الحاسبة:

2\log(5) \approx 2 \times 0.6990 = 1.3980

\log(2.5) \approx 0.3979

p \ge \frac{1.3980}{0.3979} \approx 3.5134

الحل: p \ge 3.5134 تقريباً.

---

24. حل المتباينة 2^{4x} \le 20 وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

\log(2^{4x}) \le \log(20)

4x \cdot \log(2) \le \log(20)

x \le \frac{\log(20)}{4 \cdot \log(2)}

باستخدام الحاسبة:

\log(20) \approx 1.3010

\log(2) \approx 0.3010

x \le \frac{1.3010}{4 \times 0.3010} \approx \frac{1.3010}{1.204} \approx 1.0806

الحل: x \le 1.0806 تقريباً.

---

25. حل المتباينة 6^{3n} > 36 وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

لاحظ أن 36 = 6^2، لذا:

6^{3n} > 6^2

بما أن الأساس (6) أكبر من 1، فإن الدالة الأسية تزايدية، وبالتالي:

3n > 2

n > \frac{2}{3} \approx 0.6667

الحل: n > 0.6667 تقريباً.

---

26. اكتب \log_7 26 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

باستخدام صيغة تغيير الأساس:

\log_7 26 = \frac{\log_{10} 26}{\log_{10} 7}

باستخدام الحاسبة:

\log(26) \approx 1.4150

\log(7) \approx 0.8451

\log_7 26 \approx \frac{1.4150}{0.8451} \approx 1.6744

القيمة: 1.6744 تقريباً.

---

27. اكتب \log_2 16 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

باستخدام صيغة تغيير الأساس:

\log_2 16 = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 2}

لاحظ أن 16 = 2^4، لذا \log_2 16 = 4.

يمكن التحقق باستخدام الحاسبة:

\log(16) \approx 1.2041

\log(2) \approx 0.3010

\frac{1.2041}{0.3010} \approx 4.0000

القيمة: 4.0000.

---

28. اكتب \log_4 9 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

\log_4 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 4}

باستخدام الحاسبة:

\log(9) \approx 0.9542

\log(4) \approx 0.6021

\log_4 9 \approx \frac{0.9542}{0.6021} \approx 1.5850

القيمة: 1.5850 تقريباً.

---

29. اكتب \log_3 21 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

\log_3 21 = \frac{\log_{10} 21}{\log_{10} 3}

باستخدام الحاسبة:

\log(21) \approx 1.3222

\log(3) \approx 0.4771

\log_3 21 \approx \frac{1.3222}{0.4771} \approx 2.7711

القيمة: 2.7711 تقريباً.

---

30. اكتب \log_5 (2.7)^2 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

باستخدام خاصية لوغاريتم القوة: \log_5 (2.7)^2 = 2 \cdot \log_5 (2.7)

ثم نستخدم صيغة تغيير الأساس:

2 \cdot \log_5 (2.7) = 2 \cdot \frac{\log_{10} (2.7)}{\log_{10} 5}

باستخدام الحاسبة:

\log(2.7) \approx 0.4314

\log(5) \approx 0.6990

2 \cdot \frac{0.4314}{0.6990} \approx 2 \times 0.6172 \approx 1.2344

القيمة: 1.2344 تقريباً.

---

31. اكتب \log_7 \sqrt{5} بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

لاحظ أن \sqrt{5} = 5^{1/2}.

باستخدام خاصية لوغاريتم القوة: \log_7 (5^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_7 5

ثم نستخدم صيغة تغيير الأساس:

\frac{1}{2} \cdot \log_7 5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 7}

باستخدام الحاسبة:

\log(5) \approx 0.6990

\log(7) \approx 0.8451

\frac{1}{2} \cdot \frac{0.6990}{0.8451} \approx \frac{1}{2} \times 0.8271 \approx 0.4136

القيمة: 0.4136 تقريباً.

---

32. شحن:

المعادلة المعطاة: t = \log_{(1-r)} \left( \frac{V}{P} \right) حيث:

• t: عدد السنوات.
• P: سعر الشراء = 168000 ريال.
• V: السعر الحالي.
• r: المعدل السنوي لانخفاض السعر (كنسبة عشرية).

a) V = 120000 ريال، r = 15\% = 0.15.

1 - r = 0.85.

t = \log_{0.85} \left( \frac{120000}{168000} \right) = \log_{0.85} \left( \frac{5}{7} \right) \approx \log_{0.85} (0.7143)

باستخدام صيغة تغيير الأساس:

t = \frac{\log(0.7143)}{\log(0.85)}

\log(0.7143) \approx -0.1461

\log(0.85) \approx -0.0706

t \approx \frac{-0.1461}{-0.0706} \approx 2.069

تقريباً لأقرب سنة: t \approx 2 سنة.

b) V = 102000 ريال، r = 10\% = 0.10.

1 - r = 0.90.

t = \log_{0.90} \left( \frac{102000}{168000} \right) = \log_{0.90} \left( \frac{17}{28} \right) \approx \log_{0.90} (0.6071)

t = \frac{\log(0.6071)}{\log(0.90)}

\log(0.6071) \approx -0.2167

\log(0.90) \approx -0.0458

t \approx \frac{-0.2167}{-0.0458} \approx 4.731

تقريباً لأقرب سنة: t \approx 5 سنوات.

---

33. علوم البيئة:

a) القانون المعطى: [H^+] = -\log(pH). هذا غير صحيح. العلاقة الصحيحة هي: pH = -\log[H^+].

إذا كان تركيز أيون الهيدروجين [H^+] = 1.25 \times 10^{-11}، فإن:

pH = -\log(1.25 \times 10^{-11}) = -(\log(1.25) + \log(10^{-11}))

\log(1.25) \approx 0.0969

\log(10^{-11}) = -11

pH = -(0.0969 - 11) = -(-10.9031) = 10.9031

بما أن pH \approx 10.9 وهو أكبر من 9.5، فهذا يعني أن الرقم الهيدروجيني مرتفع، وبالتالي الماء غير صالح للشرب حسب الشرط المعطى.

b) كتلة الزرنيخ = 1 ملليغرام (mg) = 1 \times 10^{-3} جرام.

حجم العينة = 3 لتر (L). بما أن 1 كجم من الماء ≈ 1 لتر، فإن كتلة الماء ≈ 3 كجم = 3000 جرام.

التركيز بوحدة ppm (جزء في المليون) = (كتلة المادة بالملليغرام) / (كتلة الماء بالكيلوجرام).

كتلة الزرنيخ = 1 ملليغرام.

كتلة الماء = 3 كيلوجرام.

التركيز = \frac{1 \text{ mg}}{3 \text{ kg}} \approx 0.333 \text{ ppm}.

المعدل الطبيعي هو 0.025 ppm. التركيز المُقاس (0.333 ppm) أكبر بكثير من 0.025 ppm، وبالتالي الماء مُلوث وغير صالح للشرب.

c) تركيز أيون الهيدروجين الذي يقابل pH = 9.5:

pH = -\log[H^+]

9.5 = -\log[H^+]

\log[H^+] = -9.5

[H^+] = 10^{-9.5} \approx 3.1623 \times 10^{-10}

التركيز: [H^+] \approx 3.16 \times 10^{-10} مول/لتر.

---

34. هزات أرضية:

المعادلة: \log\left(\frac{E}{10^{14}}\right) = \frac{2}{3} M.

a) باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

\log\left(\frac{E}{10^{14}}\right) = \log(E) - \log(10^{14}) = \log(E) - 14

لذا، يمكن كتابة المعادلة بالصورة المطولة:

\log(E) - 14 = \frac{2}{3} M

أو

\log(E) = 14 + \frac{2}{3} M

b) E = 7.94 \times 10^{11} جول.

\log(E) = \log(7.94 \times 10^{11}) = \log(7.94) + \log(10^{11}) \approx 0.8998 + 11 = 11.8998

بالتعويض في المعادلة المطولة:

11.8998 - 14 = \frac{2}{3} M

-2.1002 = \frac{2}{3} M

M = -2.1002 \times \frac{3}{2} \approx -3.1503

قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر: M \approx -3.15 درجة. (قيمة سالبة تشير إلى هزة ضعيفة جداً).

c)

* لزلزال ألوم روك: E_1 = 4.47 \times 10^{12} جول.

\log(E_1) = \log(4.47 \times 10^{12}) \approx \log(4.47) + 12 \approx 0.6503 + 12 = 12.6503

$$M_1 = \frac{3}{2} (\log(E_1) - 14) = \

M_1 = \frac{3}{2} (12.6503 - 14) = \frac{3}{2} \times (-1.3497) \approx -2.0246

* لزلزال أنكورج: E_2 = 1.58 \times 10^{18} جول.

\log(E_2) = \log(1.58 \times 10^{18}) \approx \log(1.58) + 18 \approx 0.1987 + 18 = 18.1987

M_2 = \frac{3}{2} (18.1987 - 14) = \frac{3}{2} \times 4.1987 \approx 6.2981

* عدد المرات التي تفوق فيها قوة زلزال أنكورج قوة زلزال ألوم روك:

الفرق في القوة على مقياس ريختر: M_2 - M_1 \approx 6.2981 - (-2.0246) \approx 8.3227

بما أن كل زيادة بمقدار درجة واحدة على مقياس ريختر تعني زيادة في الطاقة بمقدار 10^{1.5} مرة (حيث \log(E) \propto 1.5M)، فإن عدد المرات = 10^{1.5 \times (M_2 - M_1)} = 10^{1.5 \times 8.3227} = 10^{12.48405} \approx 3.05 \times 10^{12} مرة.

d) قوة الهزة M = 3 درجات.

باستخدام المعادلة الأصلية:

\log\left(\frac{E}{10^{14}}\right) = \frac{2}{3} \times 3 = 2

\frac{E}{10^{14}} = 10^2 = 100

E = 100 \times 10^{14} = 10^{16} جول.

الطاقة الزلزالية: E = 1 \times 10^{16} جول.

---

35. تمثيلات متعددة: حل المعادلة 13 = 4^x.

a) جدوليًّا:

باستخدام الحاسبة البيانية لإنشاء جدول للدالة y = 4^x بتغيير x بمقدار 0.1:

عند x = 1.8: 4^{1.8} \approx 12.1257 (أقل من 13)

عند x = 1.9: 4^{1.9} \approx 13.9288 (أكبر من 13)

إذن، قيمة x المقابلة لـ y=13 تقع بين x = 1.8 و x = 1.9.

b) بيانيًّا:

تمثيل الدالة y = 4^x والمستقيم y = 13 بيانياً. باستخدام أمر التقاطع (intersect) على الحاسبة البيانية، نجد أن نقطة التقاطع تقع عند x \approx 1.8502.

c) عدديًّا (جبريًّا):

4^x = 13

\log(4^x) = \log(13)

x \cdot \log(4) = \log(13)

x = \frac{\log(13)}{\log(4)}

\log(13) \approx 1.1139

\log(4) \approx 0.6021

x \approx \frac{1.1139}{0.6021} \approx 1.8502

نعم، الطريقتان (البيانية والجبرية) تعطيان النتيجة نفسها تقريباً (x \approx 1.8502)، حيث أن الحل الجبري دقيق، والطريقة البيانية تعطي تقديراً قريباً جداً منه باستخدام الحاسبة.

حل كلاً مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 4)

5⁴ⁿ > 33 (20)

6ᵖ⁻¹ ≤ 4ᵖ (21)

3ʸ⁻¹ ≤ 4ʸ (22)

5ᵖ⁻² ≥ 2ᵖ (23)

2⁴ˣ ≤ 20 (24)

6³ⁿ > 36 (25)

اكتب كلاً مما يأتي بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 5)

log₇ 26

log₂ 16 (27)

log₄ 9 (28)

log₃ 21 (29)

log₅ (2.7)² (30)

log₇ √5 (31)

32) شحن: اشترت إحدى شركات خدمة الشحن سيارة شحن جديدة بسعر 168000 ريال. افترض أن t = log(1-r) (V/P) حيث t عدد السنوات التي مرت منذ الشراء، P سعر الشراء، V السعر الحالي، r المعدل السنوي لانخفاض السعر. (مثال 6)

33) علوم البيئة: يقوم مهندس بيئي بفحص مياه الشرب في أحد الآبار الجوفية؛ للتأكد من عدم تلوثها بمادة الزرنيخ، والتي يُقدر معدلها الطبيعي في ماء الشرب بـ 0.025 ppm (حيث ppm تعني جزءًا من المليون)، كما أن الرقم الهيدروجيني pH لمادة الزرنيخ يجب أن يقل عن 9.5، حتى يكون الماء صالحًا للشرب.

34) هزات أرضية: يمكن تحديد قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر M باستعمال المعادلة log(E/10^14) = 2/3 M، حيث E كمية الطاقة الزلزالية التي تطلقها الأرض عند حدوث الهزة الأرضية مقيسة بوحدة الجول.

35) تمثيلات متعددة: ستحل في هذه المسألة المعادلة الأسية 13 = 4ˣ.

وزارة التعليم

الدرس 6-2 اللوغاريتمات العشرية 123 of M

2025 - 1447

--- SECTION: حل كلاً مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 4) --- حل كلاً مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 4) --- SECTION: 20 --- 5⁴ⁿ > 33 (20) --- SECTION: 21 --- 6ᵖ⁻¹ ≤ 4ᵖ (21) --- SECTION: 22 --- 3ʸ⁻¹ ≤ 4ʸ (22) --- SECTION: 23 --- 5ᵖ⁻² ≥ 2ᵖ (23) --- SECTION: 24 --- 2⁴ˣ ≤ 20 (24) --- SECTION: 25 --- 6³ⁿ > 36 (25) --- SECTION: اكتب كلاً مما يأتي بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 5) --- اكتب كلاً مما يأتي بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: (مثال 5) --- SECTION: 26 --- log₇ 26 --- SECTION: 27 --- log₂ 16 (27) --- SECTION: 28 --- log₄ 9 (28) --- SECTION: 29 --- log₃ 21 (29) --- SECTION: 30 --- log₅ (2.7)² (30) --- SECTION: 31 --- log₇ √5 (31) --- SECTION: 32 --- 32) شحن: اشترت إحدى شركات خدمة الشحن سيارة شحن جديدة بسعر 168000 ريال. افترض أن t = log(1-r) (V/P) حيث t عدد السنوات التي مرت منذ الشراء، P سعر الشراء، V السعر الحالي، r المعدل السنوي لانخفاض السعر. (مثال 6) a. a) إذا كان السعر الحالي للشاحنة 120000 ريال، وانخفض سعرها بمعدل 15% سنويًّا، فما عدد السنوات التي مرت منذ شرائها لأقرب سنة؟ b. b) إذا كان السعر الحالي للشاحنة 102000 ريال، وانخفض سعرها بمعدل 10% سنويًّا، فما عدد السنوات التي مرت منذ شرائها لأقرب سنة؟ --- SECTION: 33 --- 33) علوم البيئة: يقوم مهندس بيئي بفحص مياه الشرب في أحد الآبار الجوفية؛ للتأكد من عدم تلوثها بمادة الزرنيخ، والتي يُقدر معدلها الطبيعي في ماء الشرب بـ 0.025 ppm (حيث ppm تعني جزءًا من المليون)، كما أن الرقم الهيدروجيني pH لمادة الزرنيخ يجب أن يقل عن 9.5، حتى يكون الماء صالحًا للشرب. a. a) إذا كان تركيز أيون الهيدروجين في الماء 1.25 × 10⁻¹¹، فهل يعني ذلك ارتفاع الرقم الهيدروجيني لمادة الزرنيخ علمًا بأن قانون تركيز أيون الهيدروجين هو [H⁺] = -log pH؟ b. b) إذا وجد المهندس 1mg من الزرنيخ في عينة حجمها 3L من ماء بئر، فهل هذا الماء صالح للشرب؟ (إرشاد: 1kg من الماء يعادل 1L تقريبًا. 1ppm = 1 mg/kg) c. c) ما تركيز أيون الهيدروجين الذي يقابل الرقم الهيدروجيني 9.5 = pH والذي يجعل الماء غير صالح للشرب؟ --- SECTION: 34 --- 34) هزات أرضية: يمكن تحديد قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر M باستعمال المعادلة log(E/10^14) = 2/3 M، حيث E كمية الطاقة الزلزالية التي تطلقها الأرض عند حدوث الهزة الأرضية مقيسة بوحدة الجول. a. a) استعمل خصائص اللوغاريتمات لتكتب المعادلة بالصورة المطولة. b. b) أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها 7.94 × 10¹¹ جول عند حدوث هزة أرضية. كم قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر؟ c. c) أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها 4.47 × 10¹² جول عند حدوث زلزال ألوم روك في كاليفورنيا عام 2007م. كما أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها 1.58 × 10¹⁸ جول عند حدوث زلزال أنكورج في ألاسكا عام 1964. كم مرة تفوق قوة زلزال أنكورج قوة زلزال ألوم روك على مقياس ريختر؟ d. d) بصورة عامة، لا يمكن الشعور بالهزة الأرضية إلا إذا بلغت قوتها 3 درجات على مقياس ريختر أو أكثر. ما الطاقة الزلزالية بالجول التي تطلقها الأرض عند حدوث هزة أرضية لها هذه القوة على مقياس ريختر؟ --- SECTION: 35 --- 35) تمثيلات متعددة: ستحل في هذه المسألة المعادلة الأسية 13 = 4ˣ. a. a) جدوليًّا: أدخل الدالة 4ˣ = y في الحاسبة البيانية وأنشئ جدول قيم للدالة، وذلك بتغيير قيم x بمقدار 0.1 في كل مرة. وابحث عن قيمتين تقع بينهما قيمة x المقابلة للقيمة 13 = y في الجدول. b. b) بيانيًّا: مثل بيانيًّا المعادلة 4ˣ = y والمستقيم 13 = y على الشاشة نفسها، واستعمل أمر intersect لإيجاد نقطة تقاطع التمثيلين البيانيين. c. c) عدديًّا: حل المعادلة جبريًّا. هل طريقتنا الحل تعطيان النتيجة نفسها؟ فسر إجابتك. وزارة التعليم الدرس 6-2 اللوغاريتمات العشرية 123 of M 2025 - 1447