المتطابقات المثلثية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

3-1 المتطابقات المثلثية Trigonometric Identities --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- درست كيفية إيجاد قيم الدوال المثلثية. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- أستعمل المتطابقات المثلثية لإيجاد قيم الدوال المثلثية. أستعمل المتطابقات المثلثية لتبسيط العبارات. --- SECTION: المفردات --- المتطابقة identity المتطابقة المثلثية trigonometric identity المتطابقات النسبية quotient identities متطابقات المقلوب reciprocal identities متطابقات فيثاغورس pythagorean identities متطابقات الزاويتين المتتامتين cofunction identities متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية odd-even identities --- SECTION: لماذا؟ --- تُسمى كمية الضوء الساقطة من مصدر ضوئي على سطح، الاستضاءة (E). وتقاس الاستضاءة بوحدة قدم / شمعة، وترتبط بالمسافة R مقيسة بالأقدام بين المصدر الضوئي والسطح بالعلاقة E = sec θ / R² ، حيث θ شدة إضاءة المصدر مقيسة بالشمعة، و θ هي الزاوية بين شعاع الضوء والمستقيم العمودي على السطح (الشاشة)، وتستعمل هذه العلاقة في التطبيقات الضوئية والبصرية كالإضاءة والتصوير. --- SECTION: مفهوم أساسي --- المتطابقات المثلثية الأساسية: تكون المعادلة متطابقة إذا تساوى طرفاها لجميع قيم المتغيرات فيها. فمثلاً: (x + 3) (x - 3) = x² - 9 متطابقة؛ لأن طرفيها متساويان لجميع قيم x. والمتطابقة المثلثية هي متطابقة تحوي دوال مثلثية. وإذا وجدت مثالاً مضاداً يثبت خطأ المعادلة، فالمعادلة عندئذ لا تكون متطابقة. --- SECTION: المتطابقات المثلثية الأساسية --- This section contains a table of trigonometric identities. See 'visual_elements' for detailed table structure and content. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- متطابقات الزاويتين المتتامتين: يمكن كتابة متطابقات الزاويتين المتتامتين بالدرجات كما يلي: sin (90° - θ) = cos θ الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 136 وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram illustrating the relationship between a light source (مصباح كهربائي) and a screen (شاشة). A light ray travels from the source to the screen. R represents the distance from the source to the screen, and θ is the angle between the light ray and the normal to the screen. This diagram visually supports the 'لماذا؟' section explaining light intensity (E) and its relation to R and θ. Key Values: R: distance, θ: angle Context: Illustrates the physical setup for the light intensity formula E = sec θ / R². **TABLE**: المتطابقات المثلثية الأساسية Description: A comprehensive table listing fundamental trigonometric identities, categorized into Quotient, Reciprocal, Pythagorean, Cofunction, and Odd-Even Identities. Table Structure: Headers: المتطابقات النسبية: | متطابقات المقلوب: | متطابقات فيثاغورس: | متطابقات الزاويتين المتتامتين: | متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية: Rows: Row 1: tan θ = sin θ / cos θ, cos θ ≠ 0 | csc θ = 1 / sin θ, sin θ ≠ 0 | cos² θ + sin² θ = 1 | sin (π/2 - θ) = cos θ | sin (-θ) = -sin θ Row 2: cot θ = cos θ / sin θ, sin θ ≠ 0 | sec θ = 1 / cos θ, cos θ ≠ 0 | tan² θ + 1 = sec² θ | cos (π/2 - θ) = sin θ | cos (-θ) = cos θ Row 3: EMPTY | cot θ = 1 / tan θ, tan θ ≠ 0 | cot² θ + 1 = csc² θ | tan (π/2 - θ) = cot θ | tan (-θ) = -tan θ Empty cells: The first cell in the third row is empty. Calculation needed: No calculations are needed; this table provides definitions and relationships. Data: The table presents various trigonometric identities, showing relationships between sine, cosine, tangent, cotangent, secant, and cosecant functions. It includes conditions for denominators not being zero. Context: Serves as a reference for fundamental trigonometric identities used in solving and simplifying trigonometric expressions. **DIAGRAM**: Untitled Description: A unit circle diagram in the Cartesian plane showing an angle θ in the first quadrant. A right-angled triangle is formed with the origin, a point on the circle (cos θ, sin θ), and the projection of this point onto the x-axis. The hypotenuse is the radius (1), the adjacent side is cos θ, and the opposite side is sin θ. The caption below the diagram states 'حسب نظرية فيثاغورس cos² θ + sin² θ = 1'. X-axis: x Y-axis: y Key Values: (cos θ, sin θ), sin θ, cos θ, 1 (radius), θ Context: Visually demonstrates the Pythagorean identity cos² θ + sin² θ = 1 using the unit circle and a right triangle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle with vertices at the origin, (x, 0), and (x, y). The hypotenuse is labeled r. The angle θ is shown at the origin, and the complementary angle (π/2 - θ) is at the top vertex. The sides are labeled x (adjacent to θ), y (opposite to θ). Formulas are shown next to the diagram: sin θ = y/r, cos θ = x/r, tan θ = y/x. Key Values: r (hypotenuse), x (adjacent), y (opposite), θ, π/2 - θ, sin θ = y/r, cos θ = x/r, tan θ = y/x Context: Illustrates the basic definitions of sine, cosine, and tangent in a right-angled triangle and sets the context for cofunction identities. **DIAGRAM**: Untitled Description: A unit circle diagram in the Cartesian plane showing two angles, θ and -θ. The angle θ is in the first quadrant, with the point on the circle labeled (x, y). The angle -θ is in the fourth quadrant, with the point on the circle labeled (x, -y). The origin is labeled O. Formulas are shown next to the diagram: sin θ = y, cos θ = x, sin (-θ) = -y, cos (-θ) = x. X-axis: x Y-axis: y Key Values: (x, y), (x, -y), θ, -θ, sin θ = y, cos θ = x, sin (-θ) = -y, cos (-θ) = x Context: Visually demonstrates the properties of odd and even trigonometric functions (sine is odd, cosine is even) using the unit circle.