تدرب وحل المسائل في المتطابقات المثلثية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل --- SECTION: أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية: (مثال 1) --- أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- 1) tan θ ، إذا كان 2 = cot θ ، 0° < θ < 90° --- SECTION: 2 --- 2) csc θ ، إذا كان 3/2 = cos θ ، 0° < θ < 90° --- SECTION: 3 --- 3) sin θ ، إذا كان 13/5 = cos θ ، 270° < θ < 360° --- SECTION: 4 --- 4) tan θ ، إذا كان 1- = sec θ ، 270° < θ < 360° --- SECTION: 5 --- 5) tan θ ، إذا كان 3- = sec θ ، 180° < θ < 270° --- SECTION: 6 --- 6) csc θ ، إذا كان 4/1 = cot θ ، 180° < θ < 270° --- SECTION: 7 --- 7) cos θ ، إذا كان 9/5 = sin θ ، 90° < θ < 180° --- SECTION: 8 --- 8) cot θ ، إذا كان 2/- = sec θ ، sin θ < 0 --- SECTION: بسّط كل عبارة مما يأتي: (مثال 2) --- بسّط كل عبارة مما يأتي: (مثال 2) --- SECTION: 9 --- 9) tan θ cos² θ --- SECTION: 10 --- 10) csc² θ – cot² θ --- SECTION: 11 --- 11) cos θ csc θ / tan θ --- SECTION: 12 --- 12) sec θ tan² θ + sec θ --- SECTION: 13 --- 13) sin θ (1 + cot² θ) --- SECTION: 14 --- 14) sin (π/2 – θ) sec θ --- SECTION: 15 --- 15) cos (–θ) / sin (–θ) --- SECTION: 16 --- 16) (1 + sin θ)(1 – sin θ) --- SECTION: 17 --- 17) 2 – 2 sin² θ --- SECTION: 18 --- 18) csc θ – cos θ cot θ --- SECTION: 19) بصريات: --- 19) بصريات: عندما يمر الضوء من خلال عدسة مستقطبة للضوء، فإن شدة الضوء المار بهذه العدسة سيقل بمقدار النصف، ثم إذا مر الضوء بعدسة أخرى بحيث يكون محور هذه العدسة يصنع زاوية قياسها θ مع محور العدسة الأولى، فإن شدة الضوء تقل مرة أخرى. يمكننا إيجاد شدة الضوء باستعمال الصيغة I = I₀ / csc² θ ، حيث I₀ شدة الضوء القادمة من العدسة الأولى المستقطبة، و I هي شدة الضوء الخارجة من العدسة الثانية، و θ الزاوية بين محوري العدستين. (مثال 3) --- SECTION: a --- a) بسّط الصيغة بدلالة cos θ --- SECTION: b --- b) استعمل الصيغة المبسّطة لمعرفة شدة الضوء المار بالعدسة الثانية بدلالة شدة الضوء قبل المرور بها إذا كان محور العدسة الثانية يصنع زاوية قياسها 30° مع محور العدسة الأولى. --- SECTION: 20) الشمس: --- 20) الشمس: ترتبط قدرة كل جسم على امتصاص الطاقة بعامل e يُسمى قابلية الامتصاص للجسم. ويمكن حساب قابلية الامتصاص باستعمال العلاقة W = eAS / t ، حيث W معدل امتصاص جسم الإنسان للطاقة من الشمس، و S مقدار الطاقة المنبعثة من الشمس بالواط لكل متر مربع، و A المساحة السطحية المعرضة لأشعة الشمس، و θ الزاوية بين أشعة الشمس والخط العمودي على الجسم. --- SECTION: a --- a) حل المعادلة بالنسبة لـ W. --- SECTION: b --- b) أوجد W إذا كانت 0.75 = A ، 40° = θ ، 0.80 = e ، و S = 1000 W/m². (قرّب إلى أقرب جزء من مئة). --- SECTION: 21) تمثيلات متعددة: --- 21) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستعمل الحاسبة البيانية؛ لتحدد ما إذا كانت معادلة ما تمثل متطابقة مثلثية أم لا. هل تمثل المعادلة: tan² θ – sin² θ = tan² θ sin² θ متطابقة؟ --- SECTION: a --- a) جدولياً: أكمل الجدول الآتي. --- SECTION: b --- b) بيانياً: استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلاً من طرفي المعادلة tan² θ – sin² θ = tan² θ sin² θ كدالة، بيانياً. --- SECTION: c --- c) تحليلياً: "إذا كان التمثيلان البيانيان لدالتين متطابقين؛ فإن المعادلة تمثل متطابقة". هل التمثيلان البيانيان في الفرع (b) متطابقان؟ --- SECTION: d --- d) تحليلياً: استعمل الحاسبة البيانية لمعرفة ما إذا كانت المعادلة: sec² x – sin² x = 1 – sec² x تمثل متطابقة أم لا. (تأكد أن الحاسبة البيانية بنظام الدرجات) --- SECTION: 22) التزلج على الجليد: --- 22) التزلج على الجليد: يتزلج شخص كتلته m في اتجاه أسفل هضبة ثلجية بزاوية قياسها θ درجة وبسرعة ثابتة. عند تطبيق قانون نيوتن في مثل هذه الحالة ينتج نظام المعادلات الآتي: --- SECTION: Formulas for Skiing --- F_n – mg cos θ = 0, mg sin θ – μ_k F_n = 0 ، حيث g تسارع الجاذبية الأرضية، و F_n القوة العمودية المؤثرة في المتزلج، و μ_k معامل الاحتكاك. استعمل هذا النظام لتكتب μ_k كدالة في θ. --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم --- SECTION: الدرس 1-3 المتطابقات المثلثية --- الدرس 1-3 المتطابقات المثلثية --- SECTION: Page Number and Year --- 139 of E 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: جدول لإكمال قيم الدوال المثلثية Description: A table with angles 0°, 30°, 45°, 60° and two rows for trigonometric expressions tan² θ – sin² θ and tan² θ sin² θ, to be filled in. Table Structure: Headers: θ | 0° | 30° | 45° | 60° Rows: Row 1: tan² θ – sin² θ | EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY Row 2: tan² θ sin² θ | EMPTY | EMPTY | EMPTY | EMPTY Empty cells: All cells under 0°, 30°, 45°, 60° for both expressions are empty and need to be calculated. Calculation needed: Calculate the values of tan² θ – sin² θ and tan² θ sin² θ for the given angles (0°, 30°, 45°, 60°). Context: Used to numerically test if the identity tan² θ – sin² θ = tan² θ sin² θ holds true for specific angles. **DIAGRAM**: الضوء المستقطب Description: A diagram illustrating light passing through two polarizing lenses. An unpolarized light source (الضوء غير المستقطب) emits light towards the first lens (العدسة 1). After passing through العدسة 1, the light is partially polarized. It then passes through a second lens (العدسة 2) which is rotated by an angle θ relative to the first lens. An eye is shown observing the light after the second lens. The axes of the lenses are labeled 'المحور 1' and 'المحور 2'. Key Values: θ: angle between the axes of the two lenses Context: Illustrates the concept of light polarization and how light intensity changes when passing through two polarizers at an angle, related to Malus's Law (I = I₀ cos² θ, which is I = I₀ / csc² θ in the problem). **FIGURE**: متزلج على هضبة ثلجية Description: An illustration of a person skiing down a snowy slope. The slope makes an angle θ with the horizontal. The skier is wearing a blue jacket and yellow pants, holding ski poles. The skis are visible on the snow. The angle θ is explicitly marked between the slope and the horizontal. Key Values: θ: angle of the slope Context: Provides a visual context for the physics problem involving forces on a skier on an inclined plane, used to derive equations of motion and friction.