إثبات صحة المتطابقات المثلثية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

3-2 --- SECTION: فيما سبق: --- درست كيفية استعمال العبارات المثلثية لإيجاد قيم العبارات المثلثية وتبسيطها. (الدرس 1-3) --- SECTION: والآن: --- ▪ أثبت صحة المتطابقة المثلثية بتحويل أحد طرفيها إلى الآخر. ▪ أثبت صحة المتطابقة المثلثية بتحويل كلا طرفيها إلى العبارة نفسها. إثبات صحة المتطابقات المثلثية Verifying Trigonometric Identities رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- عندما ركض عبدالله في مسار دائري نصف قطره R ، لاحظ أن جسمه لا يكون عمودياً على الأرض، بل يميل عن الخط العمودي بزاوية حادة غير سالبة هي θ. تُسمى زاوية الميل، ويمكن وصفها بالمعادلة: tan θ = v²/gR ، حيث g تسارع الجاذبية الأرضية، و v سرعة العداء. كما توجد معادلات أخرى يمكن أن تصف زاوية الميل بدلالة دوال مثلثية أخرى، كالمعادلة: sin θ = v²/gR cos θ ، حيث 0° < θ < 90°. هل تختلف هاتان المعادلتان كلياً عن بعضهما بعضاً، أم أنهما صيغتان للعلاقة نفسها؟ --- SECTION: تحويل أحد طرفي المتطابقة --- لإثبات صحة المتطابقة، يمكن استعمال المتطابقات المثلثية الأساسية بالإضافة إلى تعريف الدوال المثلثية لإثبات صحة المتطابقات. وجدير بالذكر أن إثبات صحة المتطابقة المثلثية، يعني إثبات صحتها لقيم θ جميعها. --- SECTION: مفهوم أساسي --- إثبات صحة متطابقة من خلال تحويل أحد طرفيها بسط أحد طرفي المتطابقة حتى يصبح الطرفان متساويين. وفي العادة يكون من الأسهل البدء بالطرف الأكثر تعقيداً. --- SECTION: مثال 1 --- إثبات صحة المتطابقة من خلال تحويل أحد طرفيها أثبت صحة المتطابقة sin²θ / (1 - cos θ) = 1 + cos θ الطرف الأيسر sin²θ / (1 - cos θ) اضرب كلاً من البسط والمقام في 1 + cos θ = sin²θ (1 + cos θ) / (1 - cos θ)(1 + cos θ) (1 + cos θ)(1 - cos θ) = 1 - cos²θ = sin²θ (1 + cos θ) / (1 - cos²θ) sin²θ = 1 - cos²θ = sin²θ (1 + cos θ) / sin²θ = 1 + cos θ ✓ الطرف الأيمن = --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إثبات صحة متطابقة توجد حلول أخرى لإثبات أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن في المثال رقم (1). --- SECTION: تحقق من فهمك --- 1) cot²θ - cos²θ = cot²θ cos²θ الدرس 2-3 إثبات صحة المتطابقات المثلثية 141 of 144 وزارة التعليم 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: رابط الدرس الرقمي Description: A QR code that links to the digital lesson content. Context: Provides quick access to supplementary digital learning materials. **IMAGE**: صورة طالب يركض في مسار دائري Description: An image of a male student running in a circular path. A dashed line illustrates the circular trajectory, and an arrow indicates a downward force. The student's body is shown leaning, illustrating the concept of an angle of inclination (θ) relative to the vertical, as described in the 'لماذا؟' section. Context: Visually represents the real-world application of trigonometric concepts, specifically the angle of inclination in circular motion, which is discussed in the 'لماذا؟' section.