إثبات صحة المتطابقات المثلثية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تحويل طرفي المتطابقة: في بعض الأحيان يكون من الأسهل أن تحول كل طرف في المتطابقة بصورة منفصلة إلى صورة مشتركة. والاقتراحات الآتية ربما تكون مفيدة في إثبات صحة المتطابقات المثلثية: --- SECTION: مفهوم أساسي --- اقتراحات لإثبات صحة المتطابقات • بسط العبارة بالإفادة من المتطابقات المثلثية الأساسية. • حلل أو اضرب كلاً من البسط والمقام بالعبارة المثلثية نفسها. • اكتب كل طرف بدلالة كل من الجيب، وجيب التمام فقط، ثم بسط كل طرف قدر المستطاع. • لا تنفذ أي عملية (جمع، طرح، ضرب، قسمة) على طرفي المعادلة التي يطلب إثبات أنها متطابقة؛ لأن خصائص المساواة لا تنطبق على المتطابقات كما تنطبق على المعادلات. --- SECTION: تنبيه! --- تبسيط الطرفين تشبه عملية إثبات صحة المتطابقة، عملية التحقق من حل المعادلة. ومن هنا يمكنك استعمال عملية التحقق في تبسيط أحد الطرفين أو كليهما للحصول على العبارة ذاتها. --- SECTION: مثال 3 --- إثبات صحة المتطابقات من خلال تحويل كلا طرفيها --- SECTION: أثبت صحة المتطابقة cos θ cot θ = csc θ – sin θ --- نبسط الطرف الأيسر cos θ cot θ = cos θ . cos θ / sin θ اضرب = cos² θ / sin θ نبسط الطرف الأيمن csc θ – sin θ = 1 / sin θ – sin θ اطرح = (1 – sin² θ) / sin θ sin² θ + cos² θ = 1 = cos² θ / sin θ بما أن الطرفين يساويان المقدار نفسه، فالطرفان متساويان. --- SECTION: 3 --- csc² θ – cot² θ = cot θ tan θ --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 1) 1. cos² θ + tan² θ cos² θ = 1 2. cot θ (cot θ + tan θ) = csc² θ 3. 1 + sec² θ sin² θ = sec² θ 4. sin θ sec θ cot θ = 1 5. (1 – cos θ) / (1 + cos θ) = (csc θ – cot θ)² 6. (1 – 2 cos² θ) / (sin θ cos θ) = tan θ – cot θ 7. tan θ = sec θ / csc θ 8. cos θ = sin θ cot θ 9. (sin θ – 1)(tan θ + sec θ) = –cos θ 10. cos θ cos (–θ) – sin θ sin (–θ) = 1 --- SECTION: 11 --- اختيار من متعدد: أي عبارة مما يأتي تكافئ العبارة (tan² θ + 1) / tan² θ ؟ (مثال 2) Options: A. sin² θ B. tan² θ C. cos² θ D. csc² θ وزارة التعليم الدرس 3-2 إثبات صحة المتطابقات المثلثية 143 of 2025 - 1447