📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: Section Number ---
3-3
--- SECTION: رابط الدرس الرقمي ---
رابط الدرس الرقمي
www.ien.edu.sa
--- SECTION: فيما سبق؟ ---
درست إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا.
(مهارة سابقة)
--- SECTION: والآن ---
أجد قيم الجيب، وجيب التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما.
أثبت صحة المتطابقات المثلثية باستعمال متطابقات المجموع والفرق.
المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما
Sum and Difference of Angles Identities
--- SECTION: لماذا؟ ---
هل استعملت مزود الإنترنت اللاسلكي وفقدت الإشارة بينما كنت تستعمله؟
--- SECTION: تُسبب الموجات التي تمر من المكان نفسه، وفي الوقت نفسه تداخلاً. ---
ويحدث التداخل عندما تتلاقى موجتان فينتج عن ذلك موجة سعتها قد تكون أكبر من سعة كل من الموجتين المكونتين لها أو أصغر منهما.
لاحظ أن المعادلة الثانية الموضحة في الشكل أعلاه، تتضمن جمع الزاويتين x, π/4. وفي الغالب يكون من المفيد استعمال المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين أو الفرق بينهما في إيجاد القيم المثلثية لزوايا محددة. فمثلاً يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لـ sin 15° من خلال إيجاد: (60° - 45°) sin.
--- SECTION: مفهوم أساسي ---
متطابقات المجموع والفرق
متطابقات الفرق
• sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
• cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A - B) = tan A - tan B / 1 + tan A tan B
متطابقات المجموع
• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
• tan (A + B) = tan A + tan B / 1 - tan A tan B
--- SECTION: مثال 1 ---
إيجاد القيم المثلثية
دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:
a) sin 105°
بما أن مجموع الزاويتين 45° و 60° يساوي 105°، وكلا منهما زاوية خاصة معلومة قيم الدوال المثلثية لها، لذا يمكن استعمالهما لإيجاد قيمة 105° sin وذلك باستعمال المتطابقة:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 105° = sin (60° + 45°)
105° = 60° + 45°
= sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
(متطابقة المجموع)
= (√3/2) • (√2/2) + (1/2) • (√2/2)
(عوض)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2) / 4
(بسط)
b) cos (-120°)
اختر زاويتين من الزوايا الخاصة، بحيث يكون الفرق بينهما 120- ، ثم استعمل المتطابقة:
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
cos (-120°) = cos (60° - 180°)
-120° = 60° - 180°
= cos 60° cos 180° + sin 60° sin 180°
(متطابقة الفرق)
= (1/2) • (-1) + (√3/2) • 0
(عوض)
= -1/2
(بسط)
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
1A sin 15°
1B cos (-15°)
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
كون قائمة:
كون قائمة بقياسات الزوايا الناتجة عن جمع أو طرح زاويتين من الزوايا الخاصة بين 0°, 360°، حيث تستطيع إيجاد النسب المثلثية لكثير منها باستعمال متطابقات المجموع والفرق. استعمل هذه القائمة مرجعًا لك.
--- SECTION: Ministry of Education Info ---
وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
--- SECTION: Chapter and Page Number ---
الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية
146
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Trigonometric Functions Graph
Description: A graph showing three trigonometric functions: y = sin x (blue wave), y = sin (x + π/4) (green wave, shifted left), and y = 2sin (x - π/4) (red wave, shifted right and amplitude doubled). The x-axis is labeled with π/2, π, 3π/2, 2π. The y-axis is labeled with -1, 1, 2.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The graph displays three sinusoidal waves. The blue wave represents y = sin x, starting at (0,0) and completing one cycle at 2π. The green wave, y = sin (x + π/4), is a phase-shifted version of sin x, shifted π/4 units to the left. The red wave, y = 2sin (x - π/4), is also phase-shifted, π/4 units to the right, and has its amplitude doubled to 2.
Key Values: x-axis: 0, π/2, π, 3π/2, 2π, y-axis: -1, 1, 2
Context: Illustrates the effects of phase shifts (x ± c) and amplitude changes (a sin x) on trigonometric functions, specifically sine waves, which relates to the concept of wave interference mentioned in the text.
**IMAGE**: رابط الدرس الرقمي
Description: A QR code linking to the digital lesson content, with the URL www.ien.edu.sa displayed below it.
Context: Provides a digital resource for students to access additional lesson materials or interactive content.