تدريب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص صفحة 148 - تدريب وحل مسائل

تدريب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (مثال 1)

1. cos 165°:

يمكن كتابة 165° كمجموع زاويتين خاصتين: 120° + 45°.

باستخدام متطابقة مجموع جيب التمام:

cos(120° + 45°) = cos 120° cos 45° - sin 120° sin 45°

= (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})

= -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

2. cos 105°:

يمكن كتابة 105° كمجموع زاويتين خاصتين: 60° + 45°.

باستخدام متطابقة مجموع جيب التمام:

cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°

= (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})

= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

3. cos 75°:

يمكن كتابة 75° كمجموع زاويتين خاصتين: 45° + 30°.

باستخدام متطابقة مجموع جيب التمام:

cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30°

= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})

= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

4. cos π/12:

يمكن كتابة π/12 كفرق بين زاويتين خاصتين: π/3 - π/4.

باستخدام متطابقة فرق جيب التمام:

cos(\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} + sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{4}

= (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})

= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

5. sin 135°:

يمكن كتابة 135° كمجموع زاويتين خاصتين: 90° + 45°.

باستخدام متطابقة مجموع الجيب:

sin(90° + 45°) = sin 90° cos 45° + cos 90° sin 45°

= (1)(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (0)(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

6. sin (-210°):

يمكن كتابة -210° كمجموع زاويتين خاصتين: -180° - 30°.

باستخدام متطابقة فرق الجيب:

sin(-180° - 30°) = sin(-180°) cos 30° - cos(-180°) sin 30°

= (0)(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

7. cos 135°:

يمكن كتابة 135° كمجموع زاويتين خاصتين: 90° + 45°.

باستخدام متطابقة مجموع جيب التمام:

cos(90° + 45°) = cos 90° cos 45° - sin 90° sin 45°

= (0)(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (1)(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

8. tan 195°:

يمكن كتابة 195° كمجموع زاويتين خاصتين: 135° + 60°.

باستخدام متطابقة مجموع الظل:

tan(135° + 60°) = \frac{tan 135° + tan 60°}{1 - tan 135° tan 60°}

= \frac{(-1) + (\sqrt{3})}{1 - (-1)(\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

بضرب البسط والمقام في مرافق المقام (√3 - 1):

= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

9. كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار C بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة C = 2sin(120°t):

a) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين.

يمكن كتابة 120°t كمجموع زاويتين خاصتين: 90°t + 30°t.

C = 2 sin(90°t + 30°t)

b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

عندما t = 1، تصبح المعادلة: C = 2 sin(90° + 30°)

باستخدام متطابقة مجموع الجيب:

C = 2[sin 90° cos 30° + cos 90° sin 30°]

= 2[(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (0)(\frac{1}{2})] = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}

إذن شدة التيار بعد ثانية واحدة تساوي √3 أمبير.

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 3)

10. sin (90° + θ) = cos θ:

الطرف الأيسر: sin (90° + θ)

باستخدام متطابقة مجموع الجيب:

= sin 90° cos θ + cos 90° sin θ

= (1) cos θ + (0) sin θ = cos θ

الطرف الأيمن: cos θ ✓

11. cos (3π/2 - θ) = -sin θ:

الطرف الأيسر: cos (3π/2 - θ)

باستخدام متطابقة فرق جيب التمام:

= cos \frac{3π}{2} cos θ + sin \frac{3π}{2} sin θ

= (0) cos θ + (-1) sin θ = -sin θ

الطرف الأيمن: -sin θ ✓

12. tan (θ + π/2) = -cot θ:

الطرف الأيسر: tan (θ + π/2)

باستخدام متطابقة مجموع الظل:

= \frac{tan θ + tan \frac{π}{2}}{1 - tan θ tan \frac{π}{2}}

بما أن tan(π/2) غير معرف، نستخدم تعريف الظل بدلالة الجيب وجيب التمام:

tan(θ + \frac{π}{2}) = \frac{sin(θ + \frac{π}{2})}{cos(θ + \frac{π}{2})}

باستخدام متطابقات المجموع:

= \frac{sin θ cos \frac{π}{2} + cos θ sin \frac{π}{2}}{cos θ cos \frac{π}{2} - sin θ sin \frac{π}{2}}

= \frac{sin θ (0) + cos θ (1)}{cos θ (0) - sin θ (1)} = \frac{cos θ}{-sin θ} = -cot θ

الطرف الأيمن: -cot θ ✓

13. sin (θ + π) = -sin θ:

الطرف الأيسر: sin (θ + π)

باستخدام متطابقة مجموع الجيب:

= sin θ cos π + cos θ sin π

= sin θ (-1) + cos θ (0) = -sin θ

الطرف الأيمن: -sin θ ✓

14. cos (π/2 + θ) = -sin θ:

الطرف الأيسر: cos (π/2 + θ)

باستخدام متطابقة مجموع جيب التمام:

= cos \frac{π}{2} cos θ - sin \frac{π}{2} sin θ

= (0) cos θ - (1) sin θ = -sin θ

الطرف الأيمن: -sin θ ✓

15. tan (θ + 45°) = (1 + tan θ) / (1 - tan θ):

الطرف الأيسر: tan (θ + 45°)

باستخدام متطابقة مجموع الظل:

= \frac{tan θ + tan 45°}{1 - tan θ tan 45°}

= \frac{tan θ + 1}{1 - tan θ (1)} = \frac{1 + tan θ}{1 - tan θ}

الطرف الأيمن: (1 + tan θ) / (1 - tan θ) ✓

16. إلكترونيات:

إذا علمت أن كلاً من الدالتين: y₁ = 10 sin (2t + 210°), y₂ = 10 sin (2t + 30°) تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين.

باستخدام متطابقة مجموع الجيب:

y₁ + y₂ = 10 sin(2t + 210°) + 10 sin(2t + 30°)

نلاحظ أن الزاويتين (2t+210°) و (2t+30°) لهما نفس الجزء المتغير (2t) وفرق ثابت قدره 180°.

باستخدام متطابقة تحويل مجموع الجيب إلى حاصل ضرب:

= 10[2 sin(\frac{(2t+210°)+(2t+30°)}{2}) cos(\frac{(2t+210°)-(2t+30°)}{2})]

= 20[sin(2t + 120°) cos(90°)]

= 20[sin(2t + 120°) (0)] = 0

التفسير: مجموع الدالتين يساوي صفرًا، مما يعني أن الموجتين تتداخلان تداخلاً هدامًا كاملاً. عندما تتلاقى الموجتان، تلغي إحداهما الأخرى، وتكون سعة الموجة الناتجة صفرًا.

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

17. tan 165°:

يمكن كتابة 165° كمجموع زاويتين خاصتين: 120° + 45°.

باستخدام متطابقة مجموع الظل:

tan(120° + 45°) = \frac{tan 120° + tan 45°}{1 - tan 120° tan 45°}

= \frac{(-\sqrt{3}) + (1)}{1 - (-\sqrt{3})(1)} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}

بضرب البسط والمقام في مرافق المقام (√3 - 1):

= \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-\sqrt{3} + 1 + 3 - \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

18. sec 1275°:

أولاً، نجد الزاوية المرجعية لـ 1275°.

1275° ÷ 360° = 3 × 360° + 195°، إذن الزاوية المرجعية هي 195°.

sec 1275° = sec 195°.

يمكن كتابة 195° كمجموع زاويتين خاصتين: 135° + 60°.

sec 195° = 1 / cos 195°.

cos 195° = cos(135° + 60°) = cos 135° cos 60° - sin 135° sin 60°

= (-\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

إذن، sec 1275° = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}} = -\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}

بضرب البسط والمقام في مرافق المقام (√6 - √2):

= -\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = -\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = -\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = -(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{6}

19. sin 735°:

أولاً، نجد الزاوية المرجعية لـ 735°.

735° ÷ 360° = 2 × 360° + 15°، إذن الزاوية المرجعية هي 15°.

sin 735° = sin 15°.

يمكن كتابة 15° كفرق بين زاويتين خاصتين: 45° - 30°.

باستخدام متطابقة فرق الجيب:

sin(45° - 30°) = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30°

= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

20. tan 23π/12:

يمكن كتابة 23π/12 كفرق بين زاويتين خاصتين: 2π - π/12.

tan(2π - π/12) = -tan(π/12) لأن الظل دالة فردية ودورية.

يمكن كتابة π/12 كفرق بين زاويتين خاصتين: π/3 - π/4.

باستخدام متطابقة فرق الظل:

tan(\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{tan \frac{π}{3} - tan \frac{π}{4}}{1 + tan \frac{π}{3} tan \frac{π}{4}}

= \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + (\sqrt{3})(1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

إذن، tan \frac{23π}{12} = - \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}

بضرب البسط والمقام في مرافق المقام (√3 - 1):

= -\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = -\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2

21. csc 5π/12:

csc(5π/12) = 1 / sin(5π/12).

يمكن كتابة 5π/12 كمجموع زاويتين خاصتين: π/4 + π/6.

باستخدام متطابقة مجموع الجيب:

sin(\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) = sin \frac{π}{4} cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{4} sin \frac{π}{6}

$$= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\

22. cot 113π/12:

أولاً، نجد الزاوية المرجعية لـ 113π/12.

113π/12 ÷ (2π) = (113π/12) ÷ (24π/12) = 113/24 ≈ 4.708، أي 4 دورات كاملة وباقي.

113π/12 - 4 × (2π) = 113π/12 - 96π/12 = 17π/12.

cot(113π/12) = cot(17π/12).

يمكن كتابة 17π/12 كمجموع زاويتين خاصتين: π + 5π/12.

cot(π + 5π/12) = cot(5π/12) لأن ظل التمام دالة دورية بدورة π.

cot(5π/12) = 1 / tan(5π/12).

يمكن كتابة 5π/12 كمجموع زاويتين خاصتين: π/4 + π/6.

باستخدام متطابقة مجموع الظل:

tan(\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) = \frac{tan \frac{π}{4} + tan \frac{π}{6}}{1 - tan \frac{π}{4} tan \frac{π}{6}}

= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - (1)(\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}

بضرب البسط والمقام في √3:

= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

إذن، cot \frac{113π}{12} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

بضرب البسط والمقام في مرافق المقام (√3 - 1):

= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

23. بين أنه يمكن كتابة المقدار sin A + tan θ cos A / cos A - tan θ sin A على الصورة tan (A + θ):

نبدأ بالمقدار الأيسر:

\frac{sin A + tan θ cos A}{cos A - tan θ sin A}

نعوض عن tan θ بـ sin θ / cos θ:

= \frac{sin A + \frac{sin θ}{cos θ} cos A}{cos A - \frac{sin θ}{cos θ} sin A}

نضرب البسط والمقام في cos θ:

= \frac{sin A cos θ + sin θ cos A}{cos A cos θ - sin θ sin A}

نلاحظ أن البسط هو صيغة sin(A + θ) والمقام هو صيغة cos(A + θ):

= \frac{sin(A + θ)}{cos(A + θ)}

وهذا يساوي tan(A + θ) حسب تعريف الظل.

إذن، \frac{sin A + tan θ cos A}{cos A - tan θ sin A} = tan(A + θ)

sin (θ + π/2) = cos θ (b) الطرف الأيسر sin (θ + π/2) = sin θ cos π/2 + cos θ sin π/2 متطابقة المجموع = sin θ • 0 + cos θ • 1 عوض = cos θ ✓ بسط الطرف الأيمن =

تحقق من فهمك

sin (90° - θ) = cos θ (3A)

tan (π/4 + θ) = (1 + tan θ) / (1 - tan θ) (3B)

تدريب وحل المسائل

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (مثال 1)

cos 165° (1)

cos 105° (2)

cos 75° (3)

cos π/12 (4)

sin 135° (5)

sin (-210°) (6)

cos 135° (7)

tan 195° (8)

9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار C بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة (C = 2sin(120°t) (مثال 2

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 3)

sin (90° + θ) = cos θ (10)

cos (3π/2 - θ) = -sin θ (11)

tan (θ + π/2) = -cot θ (12)

sin (θ + π) = -sin θ (13)

cos (π/2 + θ) = -sin θ (14)

tan (θ + 45°) = (1 + tan θ) / (1 - tan θ) (15)

16) إلكترونيات: ارجع إلى فقرة 'لماذا؟' في بداية الدرس. عندما تتلاقى موجتان وتنتج موجة سعتها أكبر من سعة كل من الموجتين يكون التداخل بناء، وبعكس ذلك يكون هدامًا. إذا علمت أن كلاً من الدالتين: y₁ = 10 sin (2t + 210°), y₂ = 10 sin (2t + 30°) تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين.

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

tan 165° (17)

sec 1275° (18)

sin 735° (19)

tan 23π/12 (20)

csc 5π/12 (21)

cot 113π/12 (22)

23) بين أنه يمكن كتابة المقدار sin A + tan θ cos A / cos A - tan θ sin A على الصورة tan (A + θ) ، حيث θ , A زاويتان حادتان.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 148

--- SECTION: b --- sin (θ + π/2) = cos θ (b) الطرف الأيسر sin (θ + π/2) = sin θ cos π/2 + cos θ sin π/2 متطابقة المجموع = sin θ • 0 + cos θ • 1 عوض = cos θ ✓ بسط الطرف الأيمن = --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3A --- sin (90° - θ) = cos θ (3A) --- SECTION: 3B --- tan (π/4 + θ) = (1 + tan θ) / (1 - tan θ) (3B) --- SECTION: تدريب وحل المسائل --- تدريب وحل المسائل دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- cos 165° (1) --- SECTION: 2 --- cos 105° (2) --- SECTION: 3 --- cos 75° (3) --- SECTION: 4 --- cos π/12 (4) --- SECTION: 5 --- sin 135° (5) --- SECTION: 6 --- sin (-210°) (6) --- SECTION: 7 --- cos 135° (7) --- SECTION: 8 --- tan 195° (8) --- SECTION: 9 --- 9) كهرباء: يمر تيار كهربائي متردد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا التيار C بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة (C = 2sin(120°t) (مثال 2 a. أ) أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين. b. b) استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزوايا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة. أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 3) --- SECTION: 10 --- sin (90° + θ) = cos θ (10) --- SECTION: 11 --- cos (3π/2 - θ) = -sin θ (11) --- SECTION: 12 --- tan (θ + π/2) = -cot θ (12) --- SECTION: 13 --- sin (θ + π) = -sin θ (13) --- SECTION: 14 --- cos (π/2 + θ) = -sin θ (14) --- SECTION: 15 --- tan (θ + 45°) = (1 + tan θ) / (1 - tan θ) (15) --- SECTION: 16 --- 16) إلكترونيات: ارجع إلى فقرة 'لماذا؟' في بداية الدرس. عندما تتلاقى موجتان وتنتج موجة سعتها أكبر من سعة كل من الموجتين يكون التداخل بناء، وبعكس ذلك يكون هدامًا. إذا علمت أن كلاً من الدالتين: y₁ = 10 sin (2t + 210°), y₂ = 10 sin (2t + 30°) تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين. دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: --- SECTION: 17 --- tan 165° (17) --- SECTION: 18 --- sec 1275° (18) --- SECTION: 19 --- sin 735° (19) --- SECTION: 20 --- tan 23π/12 (20) --- SECTION: 21 --- csc 5π/12 (21) --- SECTION: 22 --- cot 113π/12 (22) --- SECTION: 23 --- 23) بين أنه يمكن كتابة المقدار sin A + tan θ cos A / cos A - tan θ sin A على الصورة tan (A + θ) ، حيث θ , A زاويتان حادتان. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 148 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: تداخل بناء (Constructive Interference) Description: The graph visually represents constructive interference. Two individual sine waves (red and blue) are depicted with equal amplitudes and wavelengths. They are shown to be largely in phase, meaning their peaks and troughs align closely. The third wave (darker blue/purple) represents the sum of the two individual waves. Its amplitude is visibly greater than the amplitude of either individual wave, demonstrating the amplification effect of constructive interference. The waves oscillate symmetrically around the x-axis. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: The visual shows that when two waves are largely in phase, their amplitudes add up, resulting in a wave with a larger amplitude. Context: This graph illustrates the concept of constructive interference in wave phenomena, where two waves combine to produce a resultant wave with a greater amplitude. This is relevant to the provided functions y₁ and y₂ in question 16. (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: تداخل هدام (Destructive Interference) Description: The graph visually represents destructive interference. Two individual sine waves (red and blue) are depicted with equal amplitudes and wavelengths. They are shown to be significantly out of phase, approximately 180 degrees (π radians), meaning the peaks of one wave align with the troughs of the other. The third wave (darker blue/purple) represents the sum of the two individual waves. Its amplitude is visibly smaller than the amplitude of either individual wave, demonstrating the cancellation effect of destructive interference. The waves oscillate symmetrically around the x-axis. Table Structure: Headers: N/A X-axis: x Y-axis: y Data: The visual shows that when two waves are significantly out of phase, their amplitudes partially cancel each other out, resulting in a wave with a smaller amplitude. Context: This graph illustrates the concept of destructive interference in wave phenomena, where two waves combine to produce a resultant wave with a smaller amplitude. This is relevant to the provided functions y₁ and y₂ in question 16. (Note: Some details are estimated)