المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: Page Number --- 3-4 --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق درست إيجاد قيم الجيب وجيب التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما. (الدرس 3-3) --- SECTION: والآن --- والآن • أجد قيم الجيب، وجيب التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية. • أجد قيم الجيب وجيب التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة --- SECTION: اشتقاق الصيغ --- اشتقاق الصيغ يمكنك استعمال متطابقة (A + B) sin في إيجاد جيب ضعف الزاوية 02، أو sin 20. كما يمكنك استعمال متطابقة (A + B) cos في إيجاد جيب تمام ضعف الزاوية 02، أو cos 20. --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها Double-Angle and Half-Angle Identities --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ تستعمل النوافير مضخات تضخ الماء بزوايا محددة فتصنع أقواسًا. ويعتمد مسار الماء على سرعة الضخ وزاويته. فعندما يتم ضخ الماء في الهواء بسرعة v، والزاوية مع الخط الأفقي مقدارها θ، فإن المعادلتين الآتيتين تحددان المسافة الأفقية D، وأقصى ارتفاع H: D = (v² sin 2θ) / g, H = (v² sin² θ) / (2g) حيث إن g تمثل تسارع الجاذبية الأرضية. إذا علمت أن نسبة H إلى D تساعد في تحديد ارتفاع النافورة، وعرضها. فعبر عن النسبة H/D كدالة في θ. المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية: من المفيد أحيانًا أن يكون لديك متطابقات تساعدك على إيجاد قيمة دالة مثلثية لضعف الزاوية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية --- SECTION: المتطابقات الآتية صحيحة لقيم θ جميعها: --- المتطابقات الآتية صحيحة لقيم θ جميعها: sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos² θ - sin² θ cos 2θ = 2 cos² θ - 1 cos 2θ = 1 - 2 sin² θ tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan² θ) ستبرهن هذه الصيغ في السؤال 30 --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية أوجد القيمة الدقيقة لـ 2θ sin إذا كان sin θ = 2/3، و 0° < θ < 90°. --- SECTION: الخطوة 1: استعمل المتطابقة 1 = sin² θ + cos² θ لإيجاد cos θ. --- الخطوة 1: استعمل المتطابقة 1 = sin² θ + cos² θ لإيجاد cos θ. cos² θ + sin² θ = 1 cos² θ = 1 - sin² θ عوض sin θ = 2/3 cos² θ = 1 - (2/3)² ربع ثم اطرح cos² θ = 1 - 4/9 cos² θ = 5/9 خذ الجذر التربيعي للطرفين cos θ = ±√(5/9) cos θ = ±√5 / 3 وبما أن θ تقع في الربع الأول، فإن cos θ موجب أي cos θ = √5 / 3. --- SECTION: الخطوة 2: أوجد sin 2θ. --- الخطوة 2: أوجد sin 2θ. حيث إن sin 2θ = 2 sin θ cos θ، فإننا نجد θ cos أولاً. sin 2θ = 2 sin θ cos θ متطابقة ضعف الزاوية = 2 (2/3) (√5 / 3) sin θ = 2/3, cos θ = √5 / 3 اضرب = 4√5 / 9 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- 1) أوجد القيمة الدقيقة لـ 2θ sin، إذا كان cos θ = -1/3، و 90° < θ < 180°. وزارة التعليم 151 of M 2025 - 1447 الدرس 4-3 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: رابط الدرس الرقمي Description: A QR code with the text 'رابط الدرس الرقمي' (Digital Lesson Link) above it and 'www.ien.edu.sa' below it. It is a square black and white pattern. Context: Provides a digital link to the lesson content for further resources. **IMAGE**: Untitled Description: An image showing multiple water fountains spraying water upwards, creating arcs. The background appears to be a modern building or structure with reflections in the water. Context: Illustrates the real-world application of projectile motion and angles, which is related to the 'لماذا؟' section discussing water trajectory from fountains and trigonometric functions.