الفصل 3 اختبار منتصف الفصل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

اختبار منتصف الفصل (الدروس 1-3 إلى 3-3)

1. بسط العبارة: cot θ sec θ

$$

\cot \theta \sec \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta

$$

2. بسط العبارة: 1 - cos² θ - sin² θ

$$

1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 - (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1 - 1 = 0

$$

3. بسط العبارة: (1 / cos θ) - (sin² θ / cos θ)

$$

\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} = \cos \theta

$$

4. بسط العبارة: cos (π/2 - θ) csc θ

$$

\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) \csc \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1

$$

5. أوجد sin θ، إذا كان cos θ = 3/5، و 0° < θ < 90°

$$

\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

$$

في الربع الأول، sin θ موجب.

$$

\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

$$

6. أوجد csc θ، إذا كان cot θ = -1/2، و 270° < θ < 360°

$$

\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = -\frac{1}{2}

$$

في الربع الرابع، sin θ سالب.

$$

1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

$$

$$

\csc^2 \theta = 1 + (-\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

$$

$$

\csc \theta = -\sqrt{\frac{5}{4}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}

$$

7. أوجد tan θ، إذا كان sec θ = 4/3، و 0° < θ < 90°

$$

\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos \theta = \frac{3}{4}

$$

$$

\sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

$$

في الربع الأول، sin θ موجب.

$$

\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}

$$

$$

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{7}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{7}}{3}

$$

8. اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة: cos θ / (1 - sin² θ)

الخيارات:

A. cos θ

B. sec θ

C. tan θ

D. csc θ

الحل:

$$

\frac{\cos \theta}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta

$$

الإجابة الصحيحة: B

9. مدينة ألعاب:

* a) إذا كان sin θ = 1/5، فأوجد زاوية ميله.

$$

\theta = \arcsin(\frac{1}{5}) \approx 11.54^\circ

$$

* b) أوجد سرعة دوران اللعبة.

نصف القطر R = 16 m / 2 = 8 m.

من العلاقة: tan θ = v² / (gR)

$$

v^2 = gR \tan \theta = 9.8 \times 8 \times \tan(11.54^\circ)

$$

$$

v^2 \approx 78.4 \times 0.204 \approx 16.0

$$

$$

v \approx \sqrt{16.0} \approx 4.0 \text{ m/s}

$$

10. أثبت صحة المتطابقة: cot² θ + 1 = cot θ / (cos θ sin θ)

الطرف الأيمن:

$$

\frac{\cot \theta}{\cos \theta \sin \theta} = \frac{\cos \theta / \sin \theta}{\cos \theta \sin \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}

$$

الطرف الأيسر:

$$

\cot^2 \theta + 1 = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} + 1 = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}

$$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

11. أثبت صحة المتطابقة: (cos θ csc θ) / cot θ = 1

الطرف الأيسر:

$$

\frac{\cos \theta \csc \theta}{\cot \theta} = \frac{\cos \theta \times \frac{1}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1

$$

12. أثبت صحة المتطابقة: (sin θ tan θ) / (1 - cos θ) = (1 + cos θ) sec θ

الطرف الأيسر:

$$

\frac{\sin \theta \tan \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta (1 - \cos \theta)}

$$

$$

= \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta (1 - \cos \theta)} = \frac{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{\cos \theta (1 - \cos \theta)} = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta}

$$

الطرف الأيمن:

$$

(1 + \cos \theta) \sec \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta}

$$

الطرف الأيسر = الطرف الأيمن.

13. أثبت صحة المتطابقة: tan θ (1 - sin θ) = (cos θ sin θ) / (1 + sin θ)

الطرف الأيسر:

$$

\tan \theta (1 - \sin \theta) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (1 - \sin \theta) = \frac{\sin \theta (1 - \sin \theta)}{\cos \theta}

$$

الطرف الأيمن:

$$

\frac{\cos \theta \sin \theta}{1 + \sin \theta}

$$

لإثبات التساوي، نضرب بسط ومقام الطرف الأيسر في (1 + sin θ):

$$

\frac{\sin \theta (1 - \sin \theta)}{\cos \theta} \times \frac{1 + \sin \theta}{1 + \sin \theta} = \frac{\sin \theta (1 - \sin^2 \theta)}{\cos \theta (1 + \sin \theta)} = \frac{\sin \theta \cos^2 \theta}{\cos \theta (1 + \sin \theta)} = \frac{\cos \theta \sin \theta}{1 + \sin \theta}

$$

الطرف الأيسر = الطرف الأيمن.

14. حاسوب:

* a) أوجد قيمة h.

باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم:

$$

h^2 + 12^2 = 15^2

$$

$$

h^2 = 225 - 144 = 81

$$

$$

h = 9 \text{ in}

$$

* b) بين أن cot θ = cos θ / sin θ

من الشكل:

$$

\cot \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{المقابل}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

$$

$$

\cos \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

$$

$$

\sin \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

$$

$$

\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} = \cot \theta

$$

15. أثبت صحة المتطابقة: (sin θ sec θ) / (sec θ - 1) = (sec θ + 1) cot θ

الطرف الأيسر:

$$

\frac{\sin \theta \sec \theta}{\sec \theta - 1} = \frac{\sin \theta \times \frac{1}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta} - 1} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}

$$

الطرف الأيمن:

$$

(\sec \theta + 1) \cot \theta = (\frac{1}{\cos \theta} + 1) \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}

$$

لإثبات تساوي الطرفين، نضرب بسط ومقام الطرف الأيسر في (1 + cos θ):

$$

\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \times \frac{1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{\sin^2 \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}

$$

الطرف الأيسر = الطرف الأيمن.

16. أثبت صحة المتطابقة: sin² θ tan² θ = tan² θ - sin² θ

الطرف الأيمن:

$$

\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta = \sin^2 \theta (\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1) = \sin^2 \theta (\frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}) = \sin^2 \theta (\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}) = \sin^2 \theta \tan^2 \theta

$$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

17. أثبت صحة المتطابقة: cot θ (1 - cos θ) = (cos θ sin θ) / (1 + cos θ)

الطرف الأيسر:

$$

\cot \theta (1 - \cos \theta) = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (1 - \cos \theta) = \frac{\cos \theta (1 - \cos \theta)}{\sin \theta}

$$

لإثبات التساوي مع الطرف الأيمن، نضرب بسط ومقام الطرف الأيسر في (1 + cos θ):

$$

\frac{\cos \theta (1 - \cos \theta)}{\sin \theta} \times \frac{1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\cos \theta (1 - \cos^2 \theta)}{\sin \theta (1 + \cos \theta)} = \frac{\cos \theta \sin^2 \theta}{\sin \theta (1 + \cos \theta)} = \frac{\cos \theta \sin \theta}{1 + \cos \theta}

$$

الطرف الأيسر = الطرف الأيمن.

18. أوجد القيمة الدقيقة لـ cos 105°

$$

\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ

$$

$$

= (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$$

19. أوجد القيمة الدقيقة لـ sin (-135°)

$$

\sin(-135^\circ) = -\sin(135^\circ) = -\sin(180^\circ - 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}

$$

20. أوجد القيمة الدقيقة لـ tan 15°

$$

\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}

$$

$$

= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

$$

بترشيد المقام:

$$

= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

$$

21. أوجد القيمة الدقيقة لـ cot 75°

$$

\cot 75^\circ = \frac{1}{\tan 75^\circ} = \frac{1}{\tan(45^\circ + 30^\circ)} = \frac{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}

$$

$$

= \frac{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

$$

بترشيد المقام:

$$

= \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

$$

22. اختيار من متعدد: ما قيمة cos (5π/12) ؟

الخيارات:

A. √2

B. (√6 + √2) / 2

C. (√6 - √2) / 4

D. (√6 + √2) / 4

الحل:

$$

\cos \frac{5\pi}{12} = \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ

$$

$$

= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$$

الإجابة الصحيحة: C

**23. أثبت صحة المتطابقة: cos 30

23. أثبت صحة المتطابقة: cos 30° cos θ + sin 30° sin θ = sin 60° cos θ + cos 60° sin θ

الطرف الأيسر:

$$

\cos 30^\circ \cos \theta + \sin 30^\circ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta

$$

الطرف الأيمن:

$$

\sin 60^\circ \cos \theta + \cos 60^\circ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta

$$

الطرف الأيسر = الطرف الأيمن.

الفصل 3 اختبار منتصف الفصل الدروس من 1-3 إلى 3-3

بسط كل عبارة مما يأتي: (الدرس 1-3)

1 cot θ sec θ

2 1 - cos² θ - sin² θ

3 (1 / cos θ) - (sin² θ / cos θ)

4 cos (π/2 - θ) csc θ

أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 1-3)

5 sin θ ، إذا كان cos θ = 3/5 ، و 0° < θ < 90°

6 csc θ ، إذا كان cot θ = -1/2 ، و 270° < θ < 360°

7 tan θ ، إذا كان sec θ = 4/3 ، و 0° < θ < 90°

8 اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة: cos θ / (1 - sin² θ) (الدرس 1-3)

9 مدينة ألعاب: ركب سلمان لعبة الأفعوانية الدوارة في مدينة الألعاب. إذا كان طول قطر دائرة هذه اللعبة 16m ، وظل زاوية ميل سلمان تعطى بالعلاقة tan θ = v² / gR ، حيث R نصف قطر المسار الدائري، v السرعة بالمتر لكل ثانية، و g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 9.8 m/s². (الدرس 2-3)

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (الدرس 2-3)

10 cot² θ + 1 = cot θ / (cos θ sin θ)

11 (cos θ csc θ) / cot θ = 1

12 (sin θ tan θ) / (1 - cos θ) = (1 + cos θ) sec θ

13 tan θ (1 - sin θ) = (cos θ sin θ) / (1 + sin θ)

14 حاسوب: تُصنّف شاشات الحاسوب عادة وفقًا لطول قطرها. استعمل الشكل أدناه للإجابة عما يأتي: (الدرس 1-3)

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (الدرس 2-3)

15 (sin θ sec θ) / (sec θ - 1) = (sec θ + 1) cot θ

16 sin² θ tan² θ = tan² θ - sin² θ

17 cot θ (1 - cos θ) = (cos θ sin θ) / (1 + cos θ)

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 3-3)

18 cos 105°

19 sin (-135°)

20 tan 15°

21 cot 75°

22 اختيار من متعدد: ما قيمة cos (5π/12) ؟ (الدرس 3-3)

23 أثبت صحة المتطابقة الآتية: cos 30° cos θ + sin 30° sin θ = sin 60° cos θ + cos 60° sin θ (الدرس 2-3)

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 150

--- SECTION: الفصل 3 اختبار منتصف الفصل --- الفصل 3 اختبار منتصف الفصل الدروس من 1-3 إلى 3-3 --- SECTION: بسط كل عبارة مما يأتي --- بسط كل عبارة مما يأتي: (الدرس 1-3) --- SECTION: 1 --- 1 cot θ sec θ --- SECTION: 2 --- 2 1 - cos² θ - sin² θ --- SECTION: 3 --- 3 (1 / cos θ) - (sin² θ / cos θ) --- SECTION: 4 --- 4 cos (π/2 - θ) csc θ --- SECTION: أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي --- أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 1-3) --- SECTION: 5 --- 5 sin θ ، إذا كان cos θ = 3/5 ، و 0° < θ < 90° --- SECTION: 6 --- 6 csc θ ، إذا كان cot θ = -1/2 ، و 270° < θ < 360° --- SECTION: 7 --- 7 tan θ ، إذا كان sec θ = 4/3 ، و 0° < θ < 90° --- SECTION: 8 --- 8 اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة: cos θ / (1 - sin² θ) (الدرس 1-3) --- SECTION: 9 --- 9 مدينة ألعاب: ركب سلمان لعبة الأفعوانية الدوارة في مدينة الألعاب. إذا كان طول قطر دائرة هذه اللعبة 16m ، وظل زاوية ميل سلمان تعطى بالعلاقة tan θ = v² / gR ، حيث R نصف قطر المسار الدائري، v السرعة بالمتر لكل ثانية، و g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 9.8 m/s². (الدرس 2-3) --- SECTION: أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية --- أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (الدرس 2-3) --- SECTION: 10 --- 10 cot² θ + 1 = cot θ / (cos θ sin θ) --- SECTION: 11 --- 11 (cos θ csc θ) / cot θ = 1 --- SECTION: 12 --- 12 (sin θ tan θ) / (1 - cos θ) = (1 + cos θ) sec θ --- SECTION: 13 --- 13 tan θ (1 - sin θ) = (cos θ sin θ) / (1 + sin θ) --- SECTION: 14 --- 14 حاسوب: تُصنّف شاشات الحاسوب عادة وفقًا لطول قطرها. استعمل الشكل أدناه للإجابة عما يأتي: (الدرس 1-3) --- SECTION: أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية --- أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (الدرس 2-3) --- SECTION: 15 --- 15 (sin θ sec θ) / (sec θ - 1) = (sec θ + 1) cot θ --- SECTION: 16 --- 16 sin² θ tan² θ = tan² θ - sin² θ --- SECTION: 17 --- 17 cot θ (1 - cos θ) = (cos θ sin θ) / (1 + cos θ) --- SECTION: دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي --- دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 3-3) --- SECTION: 18 --- 18 cos 105° --- SECTION: 19 --- 19 sin (-135°) --- SECTION: 20 --- 20 tan 15° --- SECTION: 21 --- 21 cot 75° --- SECTION: 22 --- 22 اختيار من متعدد: ما قيمة cos (5π/12) ؟ (الدرس 3-3) --- SECTION: 23 --- 23 أثبت صحة المتطابقة الآتية: cos 30° cos θ + sin 30° sin θ = sin 60° cos θ + cos 60° sin θ (الدرس 2-3) وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 150 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: شاشة حاسوب Description: A diagram of a computer monitor screen, depicted as a rectangle. A diagonal line is drawn across the screen, forming a right-angled triangle with the height and width of the screen. The width is labeled '12 in', the diagonal is labeled '15 in', and the height is labeled 'h'. An angle 'θ' is indicated at the bottom-right corner of the screen, between the width and the diagonal. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The diagram illustrates a right-angled triangle with sides 12 inches (adjacent to θ), h (opposite to θ), and a hypotenuse of 15 inches. This setup is used to find the height 'h' and to demonstrate trigonometric identities related to angle θ. Key Values: width = 12 in, diagonal = 15 in, height = h, angle = θ Context: This diagram is used to solve a geometry/trigonometry problem (question 14) involving the dimensions of a computer screen and the angle formed by its diagonal, likely requiring the Pythagorean theorem and trigonometric ratios.