تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها الموضحة بجانب كل منها: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- cos² θ + 2 cos θ + 1 = 0; 0° ≤ θ ≤ 360° --- SECTION: 2 --- 2 cos² θ + cos θ = 1; 0° ≤ θ ≤ 360° --- SECTION: 3 --- -2 sin² θ = 7 - 15 sin θ; 0° ≤ θ ≤ 360° --- SECTION: 4 --- cos θ + √3/2 = 0; 0° ≤ θ ≤ 240° حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها إذا كان قياس θ بالراديان: (مثال 2) --- SECTION: 5 --- 4 sin² θ - 1 = 0 --- SECTION: 6 --- 2 cos² θ = 1 --- SECTION: 7 --- sin θ/2 - 2sin² θ/2 = 0 --- SECTION: 8 --- 2 cos² θ + 4cos θ = -2 حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها إذا كان قياس θ بالدرجات: (مثال 2) --- SECTION: 9 --- cos 2θ - sin² θ + 2 = 0 --- SECTION: 10 --- sin² θ - sin θ = 0 --- SECTION: 11 --- 2 sin² θ - 1 = 0 --- SECTION: 12 --- cos θ - 2cos θ sin θ = 0 --- SECTION: 13 --- الليل والنهار: إذا كان عدد ساعات النهار في إحدى المدن هو d، ويمكن تمثيلها بالمعادلة d = 3 sin (2π/365 t + 12) + 12، حيث t عدد الأيام بعد 21 مارس، فأجب عما يأتي: (مثال 3) a. في أي يوم سيكون عدد ساعات النهار في المدينة h 10 تمامًا؟ b. باستعمال النتيجة في الفرع a، ما أيام السنة التي يكون فيها عدد ساعات النهار 10 ساعات على الأقل إذا علمت أن أطول نهار في السنة يحدث تقريبًا يوم 22 يونيو؟ فسر إجابتك. حل كل معادلة مما يأتي: (المثالين 4, 5) --- SECTION: 14 --- cos² 2θ + cos² θ = 0 إذا كان قياس θ بالدرجات. --- SECTION: 15 --- sin 2θ - cos θ = 0 إذا كان قياس θ بالدرجات. --- SECTION: 16 --- tan θ = 1 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات. --- SECTION: 17 --- cos² θ = 1/4; 0° ≤ θ ≤ 360° --- SECTION: 18 --- 2 sin² θ = 1; 90° < θ < 270° --- SECTION: 19 --- sin 2θ - cos θ = 0; 0 ≤ θ ≤ 2π --- SECTION: 20 --- 4 sin² θ - 1 = 0; 180° < θ < 360° --- SECTION: 21 --- tan θ - sin θ = 0 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات. --- SECTION: 22 --- 4 sin² θ = 4 sin θ - 1 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات. --- SECTION: 23 --- ناطحات سحاب: يبلغ ارتفاع برج الفيصلية في الرياض 876ft. أوجد θ إذا كان طول ظله في الشكل أدناه 685m؟ (مثال 1) --- SECTION: 24 --- أنهار: تمثل الدالة y = 3 sin [π/6 (x - 4)] + 8 عمق نهر خلال أحد الأيام؛ حيث 24 = x، 24 ,..., 2 ,1 ,0 = x تدل على الساعة الثانية عشرة عند منتصف الليل، 13 تدل على الساعة الواحدة بعد الظهر، وهكذا.... (مثال 2) a. ما أقصى عمق للنهر في ذلك اليوم؟ b. في أي وقت تحصل على أقصى عمق؟ حل كل معادلة مما يأتي، لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالراديان: --- SECTION: 25 --- (cos θ)(sin 2θ) - sin θ + 2 = 0 --- SECTION: 26 --- 2 sin² θ + (√2 - 1) sin θ = √2/2 --- SECTION: 27 --- 2 sin θ = sin 2θ حل المعادلتين الآتيتين، لقيم θ جميعها، إذا كان قياس θ بالدرجات: --- SECTION: 28 --- sin 2θ + √3/2 = √3 sin θ + cos θ --- SECTION: 29 --- 1 - sin² θ - cos θ = 3/4 --- SECTION: 30 --- ألماس: حسب قانون سنيل (snell's law) n₁ sin i = n₂ sin r، حيث n₁ معامل الانكسار للضوء في الوسط الذي يخرج منه الضوء، و n₂ معامل الانكسار للوسط الذي يدخل فيه الضوء، و i قياس زاوية السقوط، و r قياس زاوية الانكسار. a. إذا كان معامل الانكسار للألماس 2.42، ومعامل الانكسار للهواء 1، وقياس زاوية سقوط الضوء على حجر الألماس هو 35°، فما قياس زاوية الانكسار؟ b. اشرح كيف يستطيع بائع المجوهرات استعمال قانون سنيل؛ لمعرفة إذا كان هذا الألماس حقيقيًا ونقيًا أم لا. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 162 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: برج الفيصلية Description: A diagram illustrating Al Faisaliah Tower in Riyadh. The height of the tower is labeled as 876 ft. A shadow is cast by the tower, labeled 'الظل'. An angle θ is shown at the base of the shadow, representing the angle of elevation from the end of the shadow to the top of the tower. The length of the shadow is given as 685 m in the accompanying question. Key Values: Tower height: 876 ft, Shadow length: 685 m, Angle of elevation: θ Context: This figure is used to solve a trigonometry problem (Question 23) involving the height of a building, its shadow length, and the angle of elevation.